Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fta1 23340
 Description: The easy direction of the Fundamental Theorem of Algebra: A nonzero polynomial has at most deg roots. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fta1.1
Assertion
Ref Expression
fta1 Poly deg

Proof of Theorem fta1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . 2 deg deg
2 dgrcl 23266 . . . . 5 Poly deg
32adantr 472 . . . 4 Poly deg
4 eqeq2 2482 . . . . . . 7 deg deg
54imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg
65ralbidv 2829 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
7 eqeq2 2482 . . . . . . 7 deg deg
87imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg
98ralbidv 2829 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
10 eqeq2 2482 . . . . . . 7 deg deg
1110imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg
1211ralbidv 2829 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
13 eqeq2 2482 . . . . . . 7 deg deg deg deg
1413imbi1d 324 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
1514ralbidv 2829 . . . . 5 deg Poly deg deg Poly deg deg deg
16 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . 11 Poly
1716adantr 472 . . . . . . . . . 10 Poly deg
18 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg deg
19 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly Poly
2019ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg Poly
21 0dgrb 23279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg deg
2318, 22mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
2423fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
2519adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly deg Poly
26 plyf 23231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Poly
27 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
28 fniniseg 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2925, 26, 27, 284syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Poly deg
3029biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly deg
3130simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
3230simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Poly deg
33 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3433fvconst2 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3532, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Poly deg
3624, 31, 353eqtr3rd 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Poly deg
3736sneqd 3971 . . . . . . . . . . . . . . 15 Poly deg
3837xpeq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg
3923, 38eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg
40 df-0p 22707 . . . . . . . . . . . . 13
4139, 40syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg
4241ex 441 . . . . . . . . . . 11 Poly deg
4342necon3ad 2656 . . . . . . . . . 10 Poly deg
4417, 43mpd 15 . . . . . . . . 9 Poly deg
4544eq0rdv 3773 . . . . . . . 8 Poly deg
4645ex 441 . . . . . . 7 Poly deg
47 dgrcl 23266 . . . . . . . . 9 Poly deg
48 nn0ge0 10919 . . . . . . . . 9 deg deg
4919, 47, 483syl 18 . . . . . . . 8 Poly deg
50 id 22 . . . . . . . . . . 11
51 0fin 7817 . . . . . . . . . . 11
5250, 51syl6eqel 2557 . . . . . . . . . 10
5352biantrurd 516 . . . . . . . . 9 deg deg
54 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
55 hash0 12586 . . . . . . . . . . 11
5654, 55syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10
5756breq1d 4405 . . . . . . . . 9 deg deg
5853, 57bitr3d 263 . . . . . . . 8 deg deg
5949, 58syl5ibrcom 230 . . . . . . 7 Poly deg
6046, 59syld 44 . . . . . 6 Poly deg deg
6160rgen 2766 . . . . 5 Poly deg deg
62 fveq2 5879 . . . . . . . . 9 deg deg
6362eqeq1d 2473 . . . . . . . 8 deg deg
64 cnveq 5013 . . . . . . . . . . 11
6564imaeq1d 5173 . . . . . . . . . 10
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
6765fveq2d 5883 . . . . . . . . . 10
6867, 62breq12d 4408 . . . . . . . . 9 deg deg
6966, 68anbi12d 725 . . . . . . . 8 deg deg
7063, 69imbi12d 327 . . . . . . 7 deg deg deg deg
7170cbvralv 3005 . . . . . 6 Poly deg deg Poly deg deg
7249ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg deg
7372, 58syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . 11 Poly deg deg
7473a1dd 46 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly deg deg deg
75 n0 3732 . . . . . . . . . . 11
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . 14
77 simplll 776 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg
78 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg Poly
79 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg deg
80 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg
81 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . 14 Poly deg Poly deg deg Poly deg deg
8276, 77, 78, 79, 80, 81fta1lem 23339 . . . . . . . . . . . . 13 Poly deg Poly deg deg deg
8382exp32 616 . . . . . . . . . . . 12 Poly deg Poly deg deg deg
8483exlimdv 1787 . . . . . . . . . . 11 Poly deg Poly deg deg deg
8575, 84syl5bi 225 . . . . . . . . . 10 Poly deg Poly deg deg deg
8674, 85pm2.61dne 2729 . . . . . . . . 9 Poly deg Poly deg deg deg
8786ex 441 . . . . . . . 8 Poly deg Poly deg deg deg
8887com23 80 . . . . . . 7 Poly Poly deg deg deg deg
8988ralrimdva 2812 . . . . . 6 Poly deg deg Poly deg deg
9071, 89syl5bi 225 . . . . 5 Poly deg deg Poly deg deg
916, 9, 12, 15, 61, 90nn0ind 11053 . . . 4 deg Poly deg deg deg
923, 91syl 17 . . 3 Poly Poly deg deg deg
93 plyssc 23233 . . . . 5 Poly Poly
9493sseli 3414 . . . 4 Poly Poly
95 eldifsn 4088 . . . . 5 Poly Poly
96 fveq2 5879 . . . . . . . 8 deg deg
9796eqeq1d 2473 . . . . . . 7 deg deg deg deg
98 cnveq 5013 . . . . . . . . . . 11
9998imaeq1d 5173 . . . . . . . . . 10
100 fta1.1 . . . . . . . . . 10
10199, 100syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9
102101eleq1d 2533 . . . . . . . 8
103101fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
104103, 96breq12d 4408 . . . . . . . 8 deg deg
105102, 104anbi12d 725 . . . . . . 7 deg deg
10697, 105imbi12d 327 . . . . . 6 deg deg deg deg deg deg
107106rspcv 3132 . . . . 5 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
10895, 107sylbir 218 . . . 4 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
10994, 108sylan 479 . . 3 Poly Poly deg deg deg deg deg deg
11092, 109mpd 15 . 2 Poly deg deg deg
1111, 110mpi 20 1 Poly deg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   cdif 3387  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cxp 4837  ccnv 4838  cima 4842   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cle 9694  cn0 10893  chash 12553  c0p 22706  Polycply 23217  degcdgr 23220 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-0p 22707  df-ply 23221  df-idp 23222  df-coe 23223  df-dgr 23224  df-quot 23323 This theorem is referenced by:  vieta1lem2  23343  vieta1  23344  plyexmo  23345  aannenlem1  23363  aalioulem2  23368  basellem4  24089  basellem5  24090  dchrfi  24262
 Copyright terms: Public domain W3C validator