MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta Structured version   Unicode version

Theorem fta 22376
Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
fta  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Distinct variable groups:    z, F    z, S

Proof of Theorem fta
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2441 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
3 simpl 454 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 simpr 458 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  (deg `  F
)  e.  NN )
5 eqid 2441 . . . 4  |-  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  (
( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )  =  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_ 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
6 eqid 2441 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F
) `  (deg `  F
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6ftalem2 22370 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) ) )
8 simpll 748 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
9 simplr 749 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (deg `  F )  e.  NN )
10 eqid 2441 . . . 4  |-  { s  e.  CC  |  ( abs `  s )  <_  r }  =  { s  e.  CC  |  ( abs `  s
)  <_  r }
11 eqid 2441 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
12 simprl 750 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
13 simprr 751 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) )
14 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
1514breq2d 4301 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
r  <  ( abs `  y )  <->  r  <  ( abs `  x ) ) )
16 fveq2 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1716fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
1817breq2d 4301 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
1915, 18imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( r  <  ( abs `  y )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) ) )  <->  ( r  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
2019cbvralv 2945 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) )  <->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
2113, 20sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
221, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 21ftalem3 22371 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
237, 22rexlimddv 2843 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
24 simpll 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
25 simplr 749 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
(deg `  F )  e.  NN )
26 simprl 750 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
z  e.  CC )
27 simprr 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
( F `  z
)  =/=  0 )
281, 2, 24, 25, 26, 27ftalem7 22375 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
2928expr 612 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( F `
 z )  =/=  0  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
3029necon4ad 2670 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( F `  z )  =  0 ) )
3130reximdva 2826 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 ) )
3223, 31mpd 15 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   ifcif 3788   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   0cc0 9278   1c1 9279    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   RR+crp 10987   abscabs 12719   TopOpenctopn 14356  ℂfldccnfld 17777  Polycply 21611  coeffccoe 21613  degcdgr 21614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-cmp 18949  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-0p 21107  df-limc 21300  df-dv 21301  df-ply 21615  df-idp 21616  df-coe 21617  df-dgr 21618  df-log 21967  df-cxp 21968
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator