MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fta Structured version   Unicode version

Theorem fta 23554
Description: The Fundamental Theorem of Algebra. Any polynomial with positive degree (i.e. non-constant) has a root. This is Metamath 100 proof #2. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
fta  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Distinct variable groups:    z, F    z, S

Proof of Theorem fta
Dummy variables  s 
r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . 4  |-  (coeff `  F )  =  (coeff `  F )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  (deg `  F )  =  (deg
`  F )
3 simpl 455 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  F  e.  (Poly `  S ) )
4 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  (deg `  F
)  e.  NN )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  if ( if ( 1  <_ 
s ,  s ,  1 )  <_  (
( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )  =  if ( if ( 1  <_  s ,  s ,  1 )  <_ 
( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) ) ,  ( ( abs `  ( F `  0
) )  /  (
( abs `  (
(coeff `  F ) `  (deg `  F )
) )  /  2
) ) ,  if ( 1  <_  s ,  s ,  1 ) )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( ( abs `  ( F `
 0 ) )  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F
) `  (deg `  F
) ) )  / 
2 ) )  =  ( ( abs `  ( F `  0 )
)  /  ( ( abs `  ( (coeff `  F ) `  (deg `  F ) ) )  /  2 ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6ftalem2 23548 . . 3  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. r  e.  RR+  A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) ) )
8 simpll 751 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  F  e.  (Poly `  S )
)
9 simplr 753 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  (deg `  F )  e.  NN )
10 eqid 2454 . . . 4  |-  { s  e.  CC  |  ( abs `  s )  <_  r }  =  { s  e.  CC  |  ( abs `  s
)  <_  r }
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
12 simprl 754 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  r  e.  RR+ )
13 simprr 755 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) )
14 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  y )  =  ( abs `  x
) )
1514breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
r  <  ( abs `  y )  <->  r  <  ( abs `  x ) ) )
16 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  x  ->  ( F `  y )  =  ( F `  x ) )
1716fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  ( abs `  ( F `  y ) )  =  ( abs `  ( F `  x )
) )
1817breq2d 4451 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) )  <->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
1915, 18imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( r  <  ( abs `  y )  -> 
( abs `  ( F `  0 )
)  <  ( abs `  ( F `  y
) ) )  <->  ( r  <  ( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) ) )
2019cbvralv 3081 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  CC  (
r  <  ( abs `  y )  ->  ( abs `  ( F ` 
0 ) )  < 
( abs `  ( F `  y )
) )  <->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
2113, 20sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  CC  ( r  < 
( abs `  x
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  x ) ) ) )
221, 2, 8, 9, 10, 11, 12, 21ftalem3 23549 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( r  e.  RR+  /\  A. y  e.  CC  ( r  < 
( abs `  y
)  ->  ( abs `  ( F `  0
) )  <  ( abs `  ( F `  y ) ) ) ) )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) )
237, 22rexlimddv 2950 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z ) )  <_ 
( abs `  ( F `  x )
) )
24 simpll 751 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  F  e.  (Poly `  S
) )
25 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
(deg `  F )  e.  NN )
26 simprl 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
z  e.  CC )
27 simprr 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  -> 
( F `  z
)  =/=  0 )
281, 2, 24, 25, 26, 27ftalem7 23553 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  ( z  e.  CC  /\  ( F `
 z )  =/=  0 ) )  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `
 z ) )  <_  ( abs `  ( F `  x )
) )
2928expr 613 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( F `
 z )  =/=  0  ->  -.  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) ) ) )
3029necon4ad 2674 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  /\  z  e.  CC )  ->  ( A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  ( F `  z )  =  0 ) )
3130reximdva 2929 . 2  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  ( E. z  e.  CC  A. x  e.  CC  ( abs `  ( F `  z )
)  <_  ( abs `  ( F `  x
) )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 ) )
3223, 31mpd 15 1  |-  ( ( F  e.  (Poly `  S )  /\  (deg `  F )  e.  NN )  ->  E. z  e.  CC  ( F `  z )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   ifcif 3929   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   RR+crp 11221   abscabs 13152   TopOpenctopn 14914  ℂfldccnfld 18618  Polycply 22750  coeffccoe 22752  degcdgr 22753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-ef 13888  df-sin 13890  df-cos 13891  df-pi 13893  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-0p 22246  df-limc 22439  df-dv 22440  df-ply 22754  df-idp 22755  df-coe 22756  df-dgr 22757  df-log 23113  df-cxp 23114
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator