MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppxpfi Structured version   Unicode version

Theorem fsuppxpfi 7636
Description: The cartesian product of two finitely supported functions is finite. (Contributed by AV, 17-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppxpfi  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  ( ( F supp  Z )  X.  ( G supp  Z ) )  e. 
Fin )

Proof of Theorem fsuppxpfi
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( F finSupp  Z  ->  F finSupp  Z )
21fsuppimpd 7626 . 2  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
3 id 22 . . 3  |-  ( G finSupp  Z  ->  G finSupp  Z )
43fsuppimpd 7626 . 2  |-  ( G finSupp  Z  ->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
5 xpfi 7582 . 2  |-  ( ( ( F supp  Z )  e.  Fin  /\  ( G supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( F supp 
Z )  X.  ( G supp  Z ) )  e. 
Fin )
62, 4, 5syl2an 477 1  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  ( ( F supp  Z )  X.  ( G supp  Z ) )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4291    X. cxp 4837  (class class class)co 6090   supp csupp 6689   Fincfn 7309   finSupp cfsupp 7619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-en 7310  df-fin 7313  df-fsupp 7620
This theorem is referenced by:  mplsubrglem  17516
  Copyright terms: Public domain W3C validator