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Theorem fsuppunbi 7842
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  u.  G ) )
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
) )

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 7823 . . . . 5  |-  Rel finSupp
2 brrelex12 5026 . . . . 5  |-  ( ( Rel finSupp  /\  ( F  u.  G ) finSupp  Z )  -> 
( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
31, 2mpan 668 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ( F  u.  G )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
4 unexb 6573 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  <->  ( F  u.  G )  e.  _V )
5 fsuppimp 7827 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin ) )
6 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z
)  e.  Fin )
76adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )
8 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  G  e.  _V )
98suppun 6912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F supp  Z )  C_  (
( F  u.  G
) supp  Z ) )
10 ssfi 7733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin  /\  ( F supp 
Z )  C_  (
( F  u.  G
) supp  Z ) )  -> 
( F supp  Z )  e.  Fin )
117, 9, 10syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
12 fununfun 5614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G ) )
1312simpld 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  ->  Fun  F )
1413adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  Fun  F )
1514adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  Fun  F )
16 simprll 761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  F  e.  _V )
17 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
1817adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  Z  e.  _V )
19 funisfsupp 7826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  F  e.  _V  /\  Z  e. 
_V )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
)
2015, 16, 18, 19syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
)
2111, 20mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  F finSupp  Z )
22 uncom 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  u.  G )  =  ( G  u.  F
)
2322oveq1i 6280 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  u.  G ) supp 
Z )  =  ( ( G  u.  F
) supp  Z )
2423eleq1i 2531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin  <->  (
( G  u.  F
) supp  Z )  e.  Fin )
2524biimpi 194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin  ->  ( ( G  u.  F ) supp  Z )  e.  Fin )
2625adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( G  u.  F ) supp  Z
)  e.  Fin )
2726adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  (
( G  u.  F
) supp  Z )  e.  Fin )
2816suppun 6912 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( G supp  Z )  C_  (
( G  u.  F
) supp  Z ) )
29 ssfi 7733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  u.  F ) supp  Z )  e.  Fin  /\  ( G supp 
Z )  C_  (
( G  u.  F
) supp  Z ) )  -> 
( G supp  Z )  e.  Fin )
3027, 28, 29syl2anc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
3112simprd 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  ->  Fun  G )
3231adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  Fun  G )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  Fun  G )
34 funisfsupp 7826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  G  /\  G  e.  _V  /\  Z  e. 
_V )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
3533, 8, 18, 34syl3anc 1226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
3630, 35mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  G finSupp  Z )
3721, 36jca 530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) )
3837a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z ) ) )
3938ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) ) )
405, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) ) )
4140com12 31 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) ) )
424, 41sylanbr 471 . . . 4  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z ) ) ) )
433, 42mpcom 36 . . 3  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) )
4443com12 31 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) )
45 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  F finSupp  Z )
46 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  G finSupp  Z )
4745, 46fsuppun 7840 . . . . 5  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
4847adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
49 fsuppunbi.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  u.  G ) )
5049adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  Fun  ( F  u.  G ) )
511brrelexi 5029 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  Z  ->  F  e.  _V )
521brrelexi 5029 . . . . . . 7  |-  ( G finSupp  Z  ->  G  e.  _V )
53 unexg 6574 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  u.  G
)  e.  _V )
5451, 52, 53syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
5554adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
561brrelex2i 5030 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
5756adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  Z  e.  _V )
5857adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  Z  e.  _V )
59 funisfsupp 7826 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e. 
_V )  ->  (
( F  u.  G
) finSupp  Z  <->  ( ( F  u.  G ) supp  Z
)  e.  Fin )
)
6050, 55, 58, 59syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  <-> 
( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin ) )
6148, 60mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( F  u.  G ) finSupp  Z )
6261ex 432 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )  -> 
( F  u.  G
) finSupp  Z ) )
6344, 62impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    u. cun 3459    C_ wss 3461   class class class wbr 4439   Rel wrel 4993   Fun wfun 5564  (class class class)co 6270   supp csupp 6891   Fincfn 7509   finSupp cfsupp 7821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-fin 7513  df-fsupp 7822
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  7845
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