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Theorem fsuppunbi 7857
Description: If the union of two classes/functions is a function, this union is finitely supported iff the two functions are finitely supported. (Contributed by AV, 18-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppunbi.u  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  u.  G ) )
Assertion
Ref Expression
fsuppunbi  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
) )

Proof of Theorem fsuppunbi
StepHypRef Expression
1 relfsupp 7838 . . . . 5  |-  Rel finSupp
2 brrelex12 4834 . . . . 5  |-  ( ( Rel finSupp  /\  ( F  u.  G ) finSupp  Z )  -> 
( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
31, 2mpan 674 . . . 4  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ( F  u.  G )  e. 
_V  /\  Z  e.  _V ) )
4 unexb 6549 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  <->  ( F  u.  G )  e.  _V )
5 fsuppimp 7842 . . . . . . 7  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin ) )
6 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z
)  e.  Fin )
76adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )
8 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  G  e.  _V )
98suppun 6890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F supp  Z )  C_  (
( F  u.  G
) supp  Z ) )
10 ssfi 7745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin  /\  ( F supp 
Z )  C_  (
( F  u.  G
) supp  Z ) )  -> 
( F supp  Z )  e.  Fin )
117, 9, 10syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
12 fununfun 5588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  ->  ( Fun  F  /\  Fun  G ) )
1312simpld 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  ->  Fun  F )
1413adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  Fun  F )
1514adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  Fun  F )
16 simprll 770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  F  e.  _V )
17 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  Z  e.  _V )
1817adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  Z  e.  _V )
19 funisfsupp 7841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  F  /\  F  e.  _V  /\  Z  e. 
_V )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
)
2015, 16, 18, 19syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F finSupp  Z  <->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
)
2111, 20mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  F finSupp  Z )
22 uncom 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  u.  G )  =  ( G  u.  F
)
2322oveq1i 6259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  u.  G ) supp 
Z )  =  ( ( G  u.  F
) supp  Z )
2423eleq1i 2497 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin  <->  (
( G  u.  F
) supp  Z )  e.  Fin )
2524biimpi 197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin  ->  ( ( G  u.  F ) supp  Z )  e.  Fin )
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( G  u.  F ) supp  Z
)  e.  Fin )
2726adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  (
( G  u.  F
) supp  Z )  e.  Fin )
2816suppun 6890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( G supp  Z )  C_  (
( G  u.  F
) supp  Z ) )
29 ssfi 7745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  u.  F ) supp  Z )  e.  Fin  /\  ( G supp 
Z )  C_  (
( G  u.  F
) supp  Z ) )  -> 
( G supp  Z )  e.  Fin )
3027, 28, 29syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
3112simprd 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun  ( F  u.  G
)  ->  Fun  G )
3231adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  Fun  G )
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  Fun  G )
34 funisfsupp 7841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  G  /\  G  e.  _V  /\  Z  e. 
_V )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
3533, 8, 18, 34syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( G finSupp  Z  <->  ( G supp  Z
)  e.  Fin )
)
3630, 35mpbird 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  G finSupp  Z )
3721, 36jca 534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) )
3837a1d 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )  /\  (
( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z ) ) )
3938ex 435 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) ) )
405, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) ) )
4140com12 32 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) ) )
424, 41sylanbr 475 . . . 4  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z ) ) ) )
433, 42mpcom 37 . . 3  |-  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) )
4443com12 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  ->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
) ) )
45 simpl 458 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  F finSupp  Z )
46 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  G finSupp  Z )
4745, 46fsuppun 7855 . . . . 5  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
4847adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
49 fsuppunbi.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  u.  G ) )
5049adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  Fun  ( F  u.  G ) )
511brrelexi 4837 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  Z  ->  F  e.  _V )
521brrelexi 4837 . . . . . . 7  |-  ( G finSupp  Z  ->  G  e.  _V )
53 unexg 6550 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( F  u.  G
)  e.  _V )
5451, 52, 53syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
5554adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( F  u.  G )  e.  _V )
561brrelex2i 4838 . . . . . . 7  |-  ( F finSupp  Z  ->  Z  e.  _V )
5756adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z
)  ->  Z  e.  _V )
5857adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  Z  e.  _V )
59 funisfsupp 7841 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( F  u.  G )  /\  ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e. 
_V )  ->  (
( F  u.  G
) finSupp  Z  <->  ( ( F  u.  G ) supp  Z
)  e.  Fin )
)
6050, 55, 58, 59syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  <-> 
( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin ) )
6148, 60mpbird 235 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
)  ->  ( F  u.  G ) finSupp  Z )
6261ex 435 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )  -> 
( F  u.  G
) finSupp  Z ) )
6344, 62impbid 193 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) finSupp  Z  <->  ( F finSupp  Z  /\  G finSupp  Z )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   _Vcvv 3022    u. cun 3377    C_ wss 3379   class class class wbr 4366   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538  (class class class)co 6249   supp csupp 6869   Fincfn 7524   finSupp cfsupp 7836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fsupp 7837
This theorem is referenced by:  funsnfsupp  7860
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