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Theorem fsuppun 7848
Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
fsuppun.g  |-  ( ph  ->  G finSupp  Z )
Assertion
Ref Expression
fsuppun  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )

Proof of Theorem fsuppun
StepHypRef Expression
1 cnvun 5411 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  G )  =  ( `' F  u.  `' G )
21imaeq1i 5334 . . . . . 6  |-  ( `' ( F  u.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' F  u.  `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )
3 imaundir 5419 . . . . . 6  |-  ( ( `' F  u.  `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )
42, 3eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( `' ( F  u.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )
5 unexb 6584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  <->  ( F  u.  G )  e.  _V )
6 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
75, 6sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  u.  G )  e.  _V  ->  F  e.  _V )
8 suppimacnv 6912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  ( `' F " ( _V  \  { Z } ) ) )
97, 8sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  ( `' F " ( _V  \  { Z } ) ) )
109eqcomd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  =  ( F supp  Z ) )
1110adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( F supp  Z ) )
12 fsuppun.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
1312fsuppimpd 7836 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
1413adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
1511, 14eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )
16 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
175, 16sylbir 213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  u.  G )  e.  _V  ->  G  e.  _V )
18 suppimacnv 6912 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( G supp  Z )  =  ( `' G " ( _V  \  { Z } ) ) )
1918eqcomd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) )  =  ( G supp  Z ) )
2017, 19sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) )  =  ( G supp  Z ) )
2120adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( G supp  Z ) )
22 fsuppun.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G finSupp  Z )
2322fsuppimpd 7836 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
2423adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
2521, 24eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )
26 unfi 7787 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' G " ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' F " ( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
2715, 25, 26syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
284, 27syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' ( F  u.  G ) " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
29 suppimacnv 6912 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  =  ( `' ( F  u.  G )
" ( _V  \  { Z } ) ) )
3029eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( ( F  u.  G ) supp  Z
)  e.  Fin  <->  ( `' ( F  u.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin ) )
3130adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin  <->  ( `' ( F  u.  G )
" ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin ) )
3228, 31mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )
3332ex 434 . 2  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin ) )
34 supp0prc 6904 . . . 4  |-  ( -.  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  =  (/) )
35 0fin 7747 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
3634, 35syl6eqel 2563 . . 3  |-  ( -.  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
3736a1d 25 . 2  |-  ( -.  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin ) )
3833, 37pm2.61i 164 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   "cima 5002  (class class class)co 6284   supp csupp 6901   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fsupp 7830
This theorem is referenced by:  fsuppunbi  7850  gsumzaddlem  16737
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