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Theorem fsuppun 7908
Description: The union of two finitely supported functions is finitely supported (but not necessarily a function!). (Contributed by AV, 3-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppun.f  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
fsuppun.g  |-  ( ph  ->  G finSupp  Z )
Assertion
Ref Expression
fsuppun  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )

Proof of Theorem fsuppun
StepHypRef Expression
1 cnvun 5261 . . . . . . 7  |-  `' ( F  u.  G )  =  ( `' F  u.  `' G )
21imaeq1i 5185 . . . . . 6  |-  ( `' ( F  u.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' F  u.  `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )
3 imaundir 5269 . . . . . 6  |-  ( ( `' F  u.  `' G ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )
42, 3eqtri 2458 . . . . 5  |-  ( `' ( F  u.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )
5 unexb 6605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  <->  ( F  u.  G )  e.  _V )
6 simpl 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
75, 6sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  u.  G )  e.  _V  ->  F  e.  _V )
8 suppimacnv 6936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  ( `' F " ( _V  \  { Z } ) ) )
97, 8sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( F supp  Z )  =  ( `' F " ( _V  \  { Z } ) ) )
109eqcomd 2437 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  =  ( F supp  Z ) )
1110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( F supp  Z ) )
12 fsuppun.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
1312fsuppimpd 7896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
1413adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
1511, 14eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )
16 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  _V  /\  G  e.  _V )  ->  G  e.  _V )
175, 16sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  u.  G )  e.  _V  ->  G  e.  _V )
18 suppimacnv 6936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( G supp  Z )  =  ( `' G " ( _V  \  { Z } ) ) )
1918eqcomd 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) )  =  ( G supp  Z ) )
2017, 19sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) )  =  ( G supp  Z ) )
2120adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( G supp  Z ) )
22 fsuppun.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G finSupp  Z )
2322fsuppimpd 7896 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
2423adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( G supp  Z )  e.  Fin )
2521, 24eqeltrd 2517 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' G " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )
26 unfi 7844 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin  /\  ( `' G " ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin )  -> 
( ( `' F " ( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
2715, 25, 26syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  u.  ( `' G "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
284, 27syl5eqel 2521 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  ( `' ( F  u.  G ) " ( _V  \  { Z }
) )  e.  Fin )
29 suppimacnv 6936 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  =  ( `' ( F  u.  G )
" ( _V  \  { Z } ) ) )
3029eleq1d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( ( F  u.  G ) supp  Z
)  e.  Fin  <->  ( `' ( F  u.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin ) )
3130adantr 466 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin  <->  ( `' ( F  u.  G )
" ( _V  \  { Z } ) )  e.  Fin ) )
3228, 31mpbird 235 . . 3  |-  ( ( ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  /\  ph )  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin )
3332ex 435 . 2  |-  ( ( ( F  u.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin ) )
34 supp0prc 6928 . . . 4  |-  ( -.  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  =  (/) )
35 0fin 7805 . . . 4  |-  (/)  e.  Fin
3634, 35syl6eqel 2525 . . 3  |-  ( -.  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
3736a1d 26 . 2  |-  ( -.  ( ( F  u.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ph  ->  (
( F  u.  G
) supp  Z )  e.  Fin ) )
3833, 37pm2.61i 167 1  |-  ( ph  ->  ( ( F  u.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440   (/)c0 3767   {csn 4002   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853   "cima 4857  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581  df-fsupp 7890
This theorem is referenced by:  fsuppunbi  7910  gsumzaddlem  17489
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