MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppres Structured version   Unicode version

Theorem fsuppres 7872
Description: The restriction of a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 14-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppres.s  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
fsuppres.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
Assertion
Ref Expression
fsuppres  |-  ( ph  ->  ( F  |`  X ) finSupp  Z )

Proof of Theorem fsuppres
StepHypRef Expression
1 fsuppres.s . . 3  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
2 fsuppimp 7853 . . . 4  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z )  e.  Fin ) )
3 relprcnfsupp 7850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  F  e.  _V  ->  -.  F finSupp  Z )
43con4i 130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F finSupp  Z  ->  F  e.  _V )
51, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
6 fsuppres.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  V )
75, 6jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  _V  /\  Z  e.  V ) )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Fun  F )  ->  ( F  e. 
_V  /\  Z  e.  V ) )
9 ressuppss 6937 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F  |`  X ) supp  Z )  C_  ( F supp  Z ) )
10 ssfi 7759 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F supp  Z )  e.  Fin  /\  (
( F  |`  X ) supp 
Z )  C_  ( F supp  Z ) )  -> 
( ( F  |`  X ) supp  Z )  e.  Fin )
1110expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  |`  X ) supp 
Z )  C_  ( F supp  Z )  ->  (
( F supp  Z )  e.  Fin  ->  ( ( F  |`  X ) supp  Z
)  e.  Fin )
)
128, 9, 113syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Fun  F )  ->  ( ( F supp 
Z )  e.  Fin  ->  ( ( F  |`  X ) supp  Z )  e.  Fin ) )
1312expcom 435 . . . . . 6  |-  ( Fun 
F  ->  ( ph  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  ->  ( ( F  |`  X ) supp 
Z )  e.  Fin ) ) )
1413com23 78 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  ( ( F supp  Z )  e.  Fin  ->  ( ph  ->  (
( F  |`  X ) supp 
Z )  e.  Fin ) ) )
1514imp 429 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  ( F supp  Z )  e.  Fin )  ->  ( ph  ->  ( ( F  |`  X ) supp 
Z )  e.  Fin ) )
162, 15syl 16 . . 3  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( ph  ->  ( ( F  |`  X ) supp 
Z )  e.  Fin ) )
171, 16mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  X ) supp  Z )  e.  Fin )
18 funres 5633 . . . . 5  |-  ( Fun 
F  ->  Fun  ( F  |`  X ) )
1918adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  ( F supp  Z )  e.  Fin )  ->  Fun  ( F  |`  X ) )
201, 2, 193syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  |`  X ) )
21 resexg 5326 . . . 4  |-  ( F  e.  _V  ->  ( F  |`  X )  e. 
_V )
221, 4, 213syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  |`  X )  e.  _V )
23 funisfsupp 7852 . . 3  |-  ( ( Fun  ( F  |`  X )  /\  ( F  |`  X )  e. 
_V  /\  Z  e.  V )  ->  (
( F  |`  X ) finSupp  Z 
<->  ( ( F  |`  X ) supp  Z )  e.  Fin ) )
2420, 22, 6, 23syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  |`  X ) finSupp  Z  <->  ( ( F  |`  X ) supp  Z
)  e.  Fin )
)
2517, 24mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( F  |`  X ) finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |` cres 5010   Fun wfun 5588  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-supp 6918  df-er 7329  df-en 7536  df-fin 7539  df-fsupp 7848
This theorem is referenced by:  dprdfadd  17187  frlmsplit2  18930  gsumle  27930  lindslinindimp2lem3  33205  lindslinindsimp2lem5  33207
  Copyright terms: Public domain W3C validator