MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptif Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmptif 7922
Description: A function mapping an argument to either a value of a finitely supported function or zero is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptif.f  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fsuppmptif.a  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fsuppmptif.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
fsuppmptif.s  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Assertion
Ref Expression
fsuppmptif  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) ) finSupp  Z
)
Distinct variable groups:    A, k    k, F    k, Z    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    D( k)    V( k)    W( k)

Proof of Theorem fsuppmptif
StepHypRef Expression
1 fvex 5891 . . . . 5  |-  ( F `
 k )  e. 
_V
2 fsuppmptif.z . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
32adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  Z  e.  W )
4 ifexg 3980 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z )  e.  _V )
51, 3, 4sylancr 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z
)  e.  _V )
6 eqid 2422 . . . 4  |-  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  Z ) )  =  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  Z ) )
75, 6fmptd 6061 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) ) : A --> _V )
8 ffun 5748 . . 3  |-  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z
) ) : A --> _V  ->  Fun  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  Z ) ) )
97, 8syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z ) ) )
10 fsuppmptif.s . . . 4  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
1110fsuppimpd 7899 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
12 fsuppmptif.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
13 ssid 3483 . . . . . . . 8  |-  ( F supp 
Z )  C_  ( F supp  Z )
1413a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z ) 
C_  ( F supp  Z
) )
15 fsuppmptif.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
1612, 14, 15, 2suppssr 6957 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  ( F supp  Z ) ) )  ->  ( F `  k )  =  Z )
1716ifeq1d 3929 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  ( F supp  Z ) ) )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z )  =  if ( k  e.  D ,  Z ,  Z ) )
18 ifid 3948 . . . . 5  |-  if ( k  e.  D ,  Z ,  Z )  =  Z
1917, 18syl6eq 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  ( F supp  Z ) ) )  ->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z )  =  Z )
2019, 15suppss2 6960 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z ) ) supp 
Z )  C_  ( F supp  Z ) )
21 ssfi 7801 . . 3  |-  ( ( ( F supp  Z )  e.  Fin  /\  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) ) supp  Z
)  C_  ( F supp  Z ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) ) supp  Z
)  e.  Fin )
2211, 20, 21syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z ) ) supp 
Z )  e.  Fin )
23 mptexg 6150 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z
) )  e.  _V )
2415, 23syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) )  e. 
_V )
25 isfsupp 7896 . . 3  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) )  e. 
_V  /\  Z  e.  W )  ->  (
( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) ) finSupp  Z  <->  ( Fun  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z ) )  /\  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  Z ) ) supp  Z )  e. 
Fin ) ) )
2624, 2, 25syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z ) ) finSupp  Z 
<->  ( Fun  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D , 
( F `  k
) ,  Z ) )  /\  ( ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `  k ) ,  Z
) ) supp  Z )  e.  Fin ) ) )
279, 22, 26mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  if ( k  e.  D ,  ( F `
 k ) ,  Z ) ) finSupp  Z
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    e. wcel 1872   _Vcvv 3080    \ cdif 3433    C_ wss 3436   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7580   finSupp cfsupp 7892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-supp 6926  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584  df-fsupp 7893
This theorem is referenced by:  cantnflem1d  8201  gsumzsplit  17559
  Copyright terms: Public domain W3C validator