MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptdm Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmptdm 7627
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdm.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
fsuppmptdm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsuppmptdm.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
fsuppmptdm.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdm  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fsuppmptdm
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdm.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
2 fsuppmptdm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
31, 2fmptd 5864 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> V )
4 fsuppmptdm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 fsuppmptdm.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
63, 4, 5fdmfifsupp 7626 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-supp 6690  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-fsupp 7617
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  16409  gsummptfidmsplit  16417  gsummptfidmsplitres  16418  gsummptshft  16421  gsummptfidminv  16437  gsumunsnd  16443  srgbinomlem3  16630  srgbinomlem4  16631  srgbinomlem  16632  psrass1  17456  mamuass  18265  mamuvs1  18268  mamuvs2  18269  mavmulass  18319  mdetrsca  18369  smadiadetlem3  18433  tsmsxplem1  19686  tsmsxplem2  19687  plypf1  21639  taylpfval  21789  lgseisenlem3  22649  lgseisenlem4  22650  esumpfinval  26460  dmatmul  30759
  Copyright terms: Public domain W3C validator