MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptdm Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmptdm 7852
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdm.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
fsuppmptdm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsuppmptdm.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
fsuppmptdm.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdm  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fsuppmptdm
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdm.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
2 fsuppmptdm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
31, 2fmptd 6056 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> V )
4 fsuppmptdm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 fsuppmptdm.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
63, 4, 5fdmfifsupp 7851 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-supp 6914  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532  df-fsupp 7842
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  16813  gsummptfidmsplit  16821  gsummptfidmsplitres  16822  gsummptshft  16827  gsummptfidminv  16843  gsummptfidmsub  16848  gsumzunsnd  16853  gsummptf1o  16861  srgbinomlem3  17063  srgbinomlem4  17064  psrass1  17928  mamuass  18771  mamuvs1  18774  mamuvs2  18775  dmatmul  18866  mavmulass  18918  mdetrsca  18972  smadiadetlem3  19037  mat2pmatmul  19099  decpmatmul  19140  cpmadugsumlemB  19242  cpmadugsumlemC  19243  tsmsxplem1  20521  tsmsxplem2  20522  plypf1  22475  taylpfval  22625  lgseisenlem3  23490  lgseisenlem4  23491  gsumvsca1  27605  gsumvsca2  27606  esumpfinval  27913
  Copyright terms: Public domain W3C validator