MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptdm Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmptdm 7873
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdm.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
fsuppmptdm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsuppmptdm.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
fsuppmptdm.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdm  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fsuppmptdm
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdm.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
2 fsuppmptdm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
31, 2fmptd 6032 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> V )
4 fsuppmptdm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 fsuppmptdm.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
63, 4, 5fdmfifsupp 7872 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   Fincfn 7553   finSupp cfsupp 7862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-supp 6902  df-er 7347  df-en 7554  df-fin 7557  df-fsupp 7863
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  17264  gsummptfidmsplit  17271  gsummptfidmsplitres  17272  gsummptshft  17277  gsummptfidminv  17293  gsummptfidmsub  17296  gsumzunsnd  17301  gsummptf1o  17309  srgbinomlem3  17511  srgbinomlem4  17512  psrass1  18378  mamuass  19194  mamuvs1  19197  mamuvs2  19198  dmatmul  19289  mavmulass  19341  mdetrsca  19395  smadiadetlem3  19460  mat2pmatmul  19522  decpmatmul  19563  cpmadugsumlemB  19665  cpmadugsumlemC  19666  tsmsxplem1  20945  tsmsxplem2  20946  plypf1  22899  taylpfval  23050  lgseisenlem3  24005  lgseisenlem4  24006  gsummpt2d  28209  gsumvsca1  28211  gsumvsca2  28212  gsummptres  28213  esumpfinval  28508  aacllem  38841
  Copyright terms: Public domain W3C validator