MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmptdm Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmptdm 7650
Description: A mapping with a finite domain is finitely supported. (Contributed by AV, 7-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmptdm.f  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
fsuppmptdm.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsuppmptdm.y  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
fsuppmptdm.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
Assertion
Ref Expression
fsuppmptdm  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    F( x)    W( x)    Y( x)    Z( x)

Proof of Theorem fsuppmptdm
StepHypRef Expression
1 fsuppmptdm.y . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  Y  e.  V )
2 fsuppmptdm.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  Y )
31, 2fmptd 5886 . 2  |-  ( ph  ->  F : A --> V )
4 fsuppmptdm.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
5 fsuppmptdm.z . 2  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
63, 4, 5fdmfifsupp 7649 1  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   Fincfn 7329   finSupp cfsupp 7639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-supp 6710  df-er 7120  df-en 7330  df-fin 7333  df-fsupp 7640
This theorem is referenced by:  gsummptfidmadd  16435  gsummptfidmsplit  16443  gsummptfidmsplitres  16444  gsummptshft  16448  gsummptfidminv  16464  gsumzunsnd  16470  gsumunsnd  16471  srgbinomlem3  16659  srgbinomlem4  16660  srgbinomlem  16661  psrass1  17497  mamuass  18325  mamuvs1  18328  mamuvs2  18329  mavmulass  18379  mdetrsca  18429  smadiadetlem3  18493  tsmsxplem1  19746  tsmsxplem2  19747  plypf1  21699  taylpfval  21849  lgseisenlem3  22709  lgseisenlem4  22710  esumpfinval  26543  dmatmul  30899  pmatcollpw1dst  30924
  Copyright terms: Public domain W3C validator