Theorem fsuppmapnn0ub 12081

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Distinct variable groups:   m, F, x   x, V   m, Z, x

Allowed substitution hints:   R( x, m)   V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> F finSupp Z )
2	1	fsuppimpd 7848	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> ( F supp Z ) e. Fin )
3	2	ex 434	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> ( F supp Z ) e. Fin ) )
4		elmapfn 7453	. . . . . 6 |- ( F e. ( R ^m NN0 ) -> F Fn NN0 )
5	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> F Fn NN0 )
6		nn0ex 10813	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> NN0 e. _V )
8		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> Z e. V )
9		suppvalfn 6920	. . . . 5 |- ( ( F Fn NN0 /\ NN0 e. _V /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
11	10	eleq1d 2536	. . 3 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin ) )
12		rabssnn0fi 12075	. . . 4 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) )
13		nne 2668	. . . . . . 7 |- ( -. ( F ` x ) =/= Z <-> ( F ` x ) = Z )
14	13	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
15	14	ralbii 2898	. . . . 5 |- ( A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
16	15	rexbii 2969	. . . 4 |- ( E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
17	12, 16	sylbb 197	. . 3 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
18	11, 17	syl6bi 228	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )
19	3, 18	syld 44	1 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913   ^m cmap 7432   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841   < clt 9640   NN0cn0 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12082  nn0gsumfz  16885  mptcoe1fsupp  18125  coe1ae0  18127  gsummoncoe1  18216  mptcoe1matfsupp  19172  mp2pm2mplem4  19179  pm2mp  19195  cayhamlem4  19258