Theorem fsuppmapnn0ub 30808

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Distinct variable groups:   m, F, x   x, V   m, Z, x

Allowed substitution hints:   R( x, m)   V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> F finSupp Z )
2	1	fsuppimpd 7639	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> ( F supp Z ) e. Fin )
3	2	ex 434	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> ( F supp Z ) e. Fin ) )
4		elmapfn 7247	. . . . . 6 |- ( F e. ( R ^m NN0 ) -> F Fn NN0 )
5	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> F Fn NN0 )
6		nn0ex 10597	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> NN0 e. _V )
8		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> Z e. V )
9		suppvalfn 6709	. . . . 5 |- ( ( F Fn NN0 /\ NN0 e. _V /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
11	10	eleq1d 2509	. . 3 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin ) )
12		rabssnn0fi 30759	. . . 4 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) )
13		nne 2624	. . . . . . 7 |- ( -. ( F ` x ) =/= Z <-> ( F ` x ) = Z )
14	13	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
15	14	ralbii 2751	. . . . 5 |- ( A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
16	15	rexbii 2752	. . . 4 |- ( E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
17	12, 16	sylbb 197	. . 3 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
18	11, 17	syl6bi 228	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )
19	3, 18	syld 44	1 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731   _Vcvv 2984   class class class wbr 4304   Fn wfn 5425   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supp csupp 6702   ^m cmap 7226   Fincfn 7322   finSupp cfsupp 7632   < clt 9430   NN0cn0 10591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  30809  nn0gsumfz  30816  coe1ae0  30844  mptcoe1fsupp  30845  gsummoncoe1  30855  mptcoe1matfsupp  30903  mp2pm2mplem4  30931