Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmapnn0ub 30808
Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    m, F, x    x, V    m, Z, x
Allowed substitution hints:    R( x, m)    V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  F finSupp  Z )
21fsuppimpd 7639 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
32ex 434 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z )  e. 
Fin ) )
4 elmapfn 7247 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  F  Fn  NN0 )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  F  Fn  NN0 )
6 nn0ex 10597 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  NN0  e.  _V )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  V )
9 suppvalfn 6709 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  NN0 
e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  {
x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }
)
105, 7, 8, 9syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  { x  e. 
NN0  |  ( F `  x )  =/=  Z } )
1110eleq1d 2509 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  <->  { x  e.  NN0  |  ( F `
 x )  =/= 
Z }  e.  Fin ) )
12 rabssnn0fi 30759 . . . 4  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z ) )
13 nne 2624 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( F `  x
)  =/=  Z  <->  ( F `  x )  =  Z )
1413imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z )  <-> 
( m  <  x  ->  ( F `  x
)  =  Z ) )
1514ralbii 2751 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN0  ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1615rexbii 2752 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1712, 16sylbb 197 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1811, 17syl6bi 228 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
193, 18syld 44 1  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731   _Vcvv 2984   class class class wbr 4304    Fn wfn 5425   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   supp csupp 6702    ^m cmap 7226   Fincfn 7322   finSupp cfsupp 7632    < clt 9430   NN0cn0 10591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-supp 6703  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fsupp 7633  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  30809  nn0gsumfz  30816  coe1ae0  30844  mptcoe1fsupp  30845  gsummoncoe1  30855  mptcoe1matfsupp  30903  mp2pm2mplem4  30931
  Copyright terms: Public domain W3C validator