MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmapnn0ub 12081
Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    m, F, x    x, V    m, Z, x
Allowed substitution hints:    R( x, m)    V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  F finSupp  Z )
21fsuppimpd 7848 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
32ex 434 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z )  e. 
Fin ) )
4 elmapfn 7453 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  F  Fn  NN0 )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  F  Fn  NN0 )
6 nn0ex 10813 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  NN0  e.  _V )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  V )
9 suppvalfn 6920 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  NN0 
e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  {
x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }
)
105, 7, 8, 9syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  { x  e. 
NN0  |  ( F `  x )  =/=  Z } )
1110eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  <->  { x  e.  NN0  |  ( F `
 x )  =/= 
Z }  e.  Fin ) )
12 rabssnn0fi 12075 . . . 4  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z ) )
13 nne 2668 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( F `  x
)  =/=  Z  <->  ( F `  x )  =  Z )
1413imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z )  <-> 
( m  <  x  ->  ( F `  x
)  =  Z ) )
1514ralbii 2898 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN0  ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1615rexbii 2969 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1712, 16sylbb 197 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1811, 17syl6bi 228 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
193, 18syld 44 1  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supp csupp 6913    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841    < clt 9640   NN0cn0 10807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12082  nn0gsumfz  16885  mptcoe1fsupp  18125  coe1ae0  18127  gsummoncoe1  18216  mptcoe1matfsupp  19172  mp2pm2mplem4  19179  pm2mp  19195  cayhamlem4  19258
  Copyright terms: Public domain W3C validator