Theorem fsuppmapnn0ub 12214

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Distinct variable groups:   m, F, x   x, V   m, Z, x

Allowed substitution hints:   R( x, m)   V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> F finSupp Z )
2	1	fsuppimpd 7895	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> ( F supp Z ) e. Fin )
3	2	ex 436	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> ( F supp Z ) e. Fin ) )
4		elmapfn 7499	. . . . . 6 |- ( F e. ( R ^m NN0 ) -> F Fn NN0 )
5	4	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> F Fn NN0 )
6		nn0ex 10882	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> NN0 e. _V )
8		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> Z e. V )
9		suppvalfn 6926	. . . . 5 |- ( ( F Fn NN0 /\ NN0 e. _V /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1269	. . . 4 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
11	10	eleq1d 2515	. . 3 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin ) )
12		rabssnn0fi 12205	. . . 4 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) )
13		nne 2630	. . . . . . 7 |- ( -. ( F ` x ) =/= Z <-> ( F ` x ) = Z )
14	13	imbi2i 314	. . . . . 6 |- ( ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
15	14	ralbii 2821	. . . . 5 |- ( A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
16	15	rexbii 2891	. . . 4 |- ( E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
17	12, 16	sylbb 201	. . 3 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
18	11, 17	syl6bi 232	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )
19	3, 18	syld 45	1 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047   class class class wbr 4405   Fn wfn 5580   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supp csupp 6919   ^m cmap 7477   Fincfn 7574   finSupp cfsupp 7888   < clt 9680   NN0cn0 10876

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12215  nn0gsumfz  17625  mptcoe1fsupp  18820  coe1ae0  18821  gsummoncoe1  18910  mptcoe1matfsupp  19838  mp2pm2mplem4  19845  pm2mp  19861  cayhamlem4  19924