MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Unicode version

Theorem fsuppmapnn0ub 12104
Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    m, F, x    x, V    m, Z, x
Allowed substitution hints:    R( x, m)    V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  F finSupp  Z )
21fsuppimpd 7854 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
32ex 434 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z )  e. 
Fin ) )
4 elmapfn 7460 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  F  Fn  NN0 )
54adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  F  Fn  NN0 )
6 nn0ex 10822 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  NN0  e.  _V )
8 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  V )
9 suppvalfn 6924 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  NN0 
e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  {
x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }
)
105, 7, 8, 9syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  { x  e. 
NN0  |  ( F `  x )  =/=  Z } )
1110eleq1d 2526 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  <->  { x  e.  NN0  |  ( F `
 x )  =/= 
Z }  e.  Fin ) )
12 rabssnn0fi 12098 . . . 4  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z ) )
13 nne 2658 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( F `  x
)  =/=  Z  <->  ( F `  x )  =  Z )
1413imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z )  <-> 
( m  <  x  ->  ( F `  x
)  =  Z ) )
1514ralbii 2888 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN0  ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1615rexbii 2959 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1712, 16sylbb 197 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1811, 17syl6bi 228 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
193, 18syld 44 1  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847    < clt 9645   NN0cn0 10816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12105  nn0gsumfz  17139  mptcoe1fsupp  18382  coe1ae0  18384  gsummoncoe1  18473  mptcoe1matfsupp  19430  mp2pm2mplem4  19437  pm2mp  19453  cayhamlem4  19516
  Copyright terms: Public domain W3C validator