Theorem fsuppmapnn0ub 12104

Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0ub	|- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Distinct variable groups:   m, F, x   x, V   m, Z, x

Allowed substitution hints:   R( x, m)   V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> F finSupp Z )
2	1	fsuppimpd 7854	. . 3 |- ( ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) /\ F finSupp Z ) -> ( F supp Z ) e. Fin )
3	2	ex 434	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> ( F supp Z ) e. Fin ) )
4		elmapfn 7460	. . . . . 6 |- ( F e. ( R ^m NN0 ) -> F Fn NN0 )
5	4	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> F Fn NN0 )
6		nn0ex 10822	. . . . . 6 |- NN0 e. _V
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> NN0 e. _V )
8		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> Z e. V )
9		suppvalfn 6924	. . . . 5 |- ( ( F Fn NN0 /\ NN0 e. _V /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
10	5, 7, 8, 9	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F supp Z ) = { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } )
11	10	eleq1d 2526	. . 3 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin <-> { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin ) )
12		rabssnn0fi 12098	. . . 4 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) )
13		nne 2658	. . . . . . 7 |- ( -. ( F ` x ) =/= Z <-> ( F ` x ) = Z )
14	13	imbi2i 312	. . . . . 6 |- ( ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
15	14	ralbii 2888	. . . . 5 |- ( A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
16	15	rexbii 2959	. . . 4 |- ( E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> -. ( F ` x ) =/= Z ) <-> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
17	12, 16	sylbb 197	. . 3 |- ( { x e. NN0 | ( F ` x ) =/= Z } e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) )
18	11, 17	syl6bi 228	. 2 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( ( F supp Z ) e. Fin -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )
19	3, 18	syld 44	1 |- ( ( F e. ( R ^m NN0 ) /\ Z e. V ) -> ( F finSupp Z -> E. m e. NN0 A. x e. NN0 ( m < x -> ( F ` x ) = Z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   < clt 9645   NN0cn0 10816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12105  nn0gsumfz  17139  mptcoe1fsupp  18382  coe1ae0  18384  gsummoncoe1  18473  mptcoe1matfsupp  19430  mp2pm2mplem4  19437  pm2mp  19453  cayhamlem4  19516