MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0ub Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsuppmapnn0ub 12214
Description: If a function over the nonnegative integers is finitely supported, then there is an upper bound for the arguments resulting in nonzero values. (Contributed by AV, 6-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0ub  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Distinct variable groups:    m, F, x    x, V    m, Z, x
Allowed substitution hints:    R( x, m)    V( m)

Proof of Theorem fsuppmapnn0ub
StepHypRef Expression
1 simpr 463 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  F finSupp  Z )
21fsuppimpd 7895 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V
)  /\  F finSupp  Z )  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
32ex 436 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z )  e. 
Fin ) )
4 elmapfn 7499 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  F  Fn  NN0 )
54adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  F  Fn  NN0 )
6 nn0ex 10882 . . . . . 6  |-  NN0  e.  _V
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  NN0  e.  _V )
8 simpr 463 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  Z  e.  V )
9 suppvalfn 6926 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  NN0  /\  NN0 
e.  _V  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  {
x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }
)
105, 7, 8, 9syl3anc 1269 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F supp  Z )  =  { x  e. 
NN0  |  ( F `  x )  =/=  Z } )
1110eleq1d 2515 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  <->  { x  e.  NN0  |  ( F `
 x )  =/= 
Z }  e.  Fin ) )
12 rabssnn0fi 12205 . . . 4  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z ) )
13 nne 2630 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( F `  x
)  =/=  Z  <->  ( F `  x )  =  Z )
1413imbi2i 314 . . . . . 6  |-  ( ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x
)  =/=  Z )  <-> 
( m  <  x  ->  ( F `  x
)  =  Z ) )
1514ralbii 2821 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  NN0  ( m  <  x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1615rexbii 2891 . . . 4  |-  ( E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  -.  ( F `  x )  =/=  Z )  <->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1712, 16sylbb 201 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  | 
( F `  x
)  =/=  Z }  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) )
1811, 17syl6bi 232 . 2  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( ( F supp  Z
)  e.  Fin  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
193, 18syld 45 1  |-  ( ( F  e.  ( R  ^m  NN0 )  /\  Z  e.  V )  ->  ( F finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( m  < 
x  ->  ( F `  x )  =  Z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047   class class class wbr 4405    Fn wfn 5580   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   supp csupp 6919    ^m cmap 7477   Fincfn 7574   finSupp cfsupp 7888    < clt 9680   NN0cn0 10876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fz  12215  nn0gsumfz  17625  mptcoe1fsupp  18820  coe1ae0  18821  gsummoncoe1  18910  mptcoe1matfsupp  19838  mp2pm2mplem4  19845  pm2mp  19861  cayhamlem4  19924
  Copyright terms: Public domain W3C validator