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Theorem fsuppmapnn0fiubex 12056
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Distinct variable groups:    f, M, m    R, f, m    f, V, m    f, Z, m

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3927 . . . . . . 7  |-  A. f  e.  (/)  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 )
2 raleq 3053 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =  M  ->  ( A. f  e.  (/)  ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
31, 2mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  M  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
4 0ss 3809 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0 ... 0 )
5 sseq1 3520 . . . . . . . 8  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  (/)  C_  (
0 ... 0 ) ) )
64, 5mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 ) )
76ralimi 2852 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) )
83, 7jaoi 379 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
9 0nn0 10801 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
109a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  0  e. 
NN0 )
11 oveq2 6285 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
1211sseq2d 3527 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
1312ralbidv 2898 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  ( A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... m
)  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) ) )
1413adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  m  =  0 )  -> 
( A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
1510, 14rspcedv 3213 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  (
0 ... 0 )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... m
) ) )
168, 15mpd 15 . . . 4  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
1716a1d 25 . . 3  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
1817a1dd 46 . 2  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
19 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )
20 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
21 ioran 490 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) ) )
22 rexnal 2907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
23 df-ne 2659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( f supp  Z
)  =  (/) )
2423bicomi 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( f supp  Z
)  =/=  (/) )
2524rexbii 2960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
2625biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
2722, 26sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
2827adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
2921, 28sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
31 iunn0 4380 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
32 oveq1 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
3332cbviunv 4359 . . . . . . . . 9  |-  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )
3433neeq1i 2747 . . . . . . . 8  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  =/=  (/)  <->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
3531, 34bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3630, 35sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3720, 36jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
38 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
3938cbviunv 4359 . . . . . 6  |-  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
40 eqid 2462 . . . . . 6  |-  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
4139, 40fsuppmapnn0fiub 12055 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
4219, 37, 41sylc 60 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) )
4332eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =  (/) ) )
4443cbvralv 3083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  <->  A. g  e.  M  (
g supp  Z )  =  (/) )
4544notbii 296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
4645anbi2i 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
4721, 46bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
48 rexnal 2907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
49 df-ne 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( g supp  Z
)  =  (/) )
5049bicomi 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
5150rexbii 2960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5251biimpi 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5348, 52sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5453adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5547, 54sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5655ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
57 iunn0 4380 . . . . . . . 8  |-  ( E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5856, 57sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
5920, 58jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
6039, 40fsuppmapnn0fiublem 12054 . . . . . 6  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 ) )
6119, 59, 60sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 )
62 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f
(/)  =  M
63 nfra1 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)
6462, 63nfor 1877 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
6564nfn 1844 . . . . . . . . 9  |-  F/ f  -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  =  (/) )
66 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
6765, 66nfan 1870 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )
68 nfra1 2840 . . . . . . . 8  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
6967, 68nfan 1870 . . . . . . 7  |-  F/ f ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
70 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ f  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
7169, 70nfan 1870 . . . . . 6  |-  F/ f ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) )
72 oveq2 6285 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
) )
7372sseq2d 3527 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
7473adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
7571, 74ralbid 2893 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
7661, 75rspcedv 3213 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
7742, 76mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
7877exp31 604 . 2  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  (
( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
7918, 78pm2.61i 164 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810    C_ wss 3471   (/)c0 3780   U_ciun 4320   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   supp csupp 6893    ^m cmap 7412   Fincfn 7508   finSupp cfsupp 7820   supcsup 7891   RRcr 9482   0cc0 9483    < clt 9619   NN0cn0 10786   ...cfz 11663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12057
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