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Theorem fsuppmapnn0fiubex 12197
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Distinct variable groups:    f, M, m    R, f, m    f, V, m    f, Z, m

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10880 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  0  e. 
NN0 )
3 oveq2 6305 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
43sseq2d 3489 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
54ralbidv 2862 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  ( A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... m
)  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) ) )
65adantl 467 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  m  =  0 )  -> 
( A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
7 ral0 3899 . . . . . 6  |-  A. f  e.  (/)  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 )
8 raleq 3023 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  M  ->  ( A. f  e.  (/)  ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
97, 8mpbii 214 . . . . 5  |-  ( (/)  =  M  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
10 0ss 3788 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  (
0 ... 0 )
11 sseq1 3482 . . . . . . 7  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  (/)  C_  (
0 ... 0 ) ) )
1210, 11mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 ) )
1312ralimi 2816 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) )
149, 13jaoi 380 . . . 4  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
152, 6, 14rspcedvd 3184 . . 3  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
16152a1d 27 . 2  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
17 simplr 760 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )
18 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
19 ioran 492 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) ) )
20 oveq1 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
2120eqeq1d 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =  (/) ) )
2221cbvralv 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  <->  A. g  e.  M  (
g supp  Z )  =  (/) )
2322notbii 297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
2423anbi2i 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
2519, 24bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
26 rexnal 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
27 df-ne 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( g supp  Z
)  =  (/) )
2827bicomi 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
2928rexbii 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3029biimpi 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3126, 30sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3231adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3325, 32sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3433ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
35 iunn0 4353 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3634, 35sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3718, 36jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
38 oveq1 6304 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
3938cbviunv 4332 . . . . . 6  |-  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
40 eqid 2420 . . . . . 6  |-  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
4139, 40fsuppmapnn0fiublem 12195 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 ) )
4217, 37, 41sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 )
43 nfv 1751 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
(/)  =  M
44 nfra1 2804 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)
4543, 44nfor 1990 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
4645nfn 1955 . . . . . . . 8  |-  F/ f  -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  =  (/) )
47 nfv 1751 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
4846, 47nfan 1983 . . . . . . 7  |-  F/ f ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )
49 nfra1 2804 . . . . . . 7  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
5048, 49nfan 1983 . . . . . 6  |-  F/ f ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
51 nfv 1751 . . . . . 6  |-  F/ f  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
5250, 51nfan 1983 . . . . 5  |-  F/ f ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) )
53 oveq2 6305 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
) )
5453sseq2d 3489 . . . . . 6  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
5554adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
5652, 55ralbid 2857 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
57 rexnal 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
58 df-ne 2618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( f supp  Z
)  =  (/) )
5958bicomi 205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( f supp  Z
)  =/=  (/) )
6059rexbii 2925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6160biimpi 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6257, 61sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6362adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6419, 63sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6564ad2antrr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
66 iunn0 4353 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6720cbviunv 4332 . . . . . . . . 9  |-  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )
6867neeq1i 2707 . . . . . . . 8  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  =/=  (/)  <->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
6966, 68bitri 252 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
7065, 69sylib 199 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
7118, 70jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
7239, 40fsuppmapnn0fiub 12196 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
7317, 71, 72sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) )
7442, 56, 73rspcedvd 3184 . . 3  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
7574exp31 607 . 2  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  (
( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
7616, 75pm2.61i 167 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774    C_ wss 3433   (/)c0 3758   U_ciun 4293   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   supp csupp 6917    ^m cmap 7472   Fincfn 7569   finSupp cfsupp 7881   supcsup 7952   RRcr 9534   0cc0 9535    < clt 9671   NN0cn0 10865   ...cfz 11778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7882  df-sup 7954  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-nn 10606  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-fz 11779
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12198
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