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Theorem fsuppmapnn0fiubex 12052
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Distinct variable groups:    f, M, m    R, f, m    f, V, m    f, Z, m

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10771 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  0  e. 
NN0 )
3 oveq2 6242 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
43sseq2d 3469 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
54ralbidv 2842 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  ( A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... m
)  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) ) )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  m  =  0 )  -> 
( A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
7 ral0 3877 . . . . . . 7  |-  A. f  e.  (/)  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 )
8 raleq 3003 . . . . . . 7  |-  ( (/)  =  M  ->  ( A. f  e.  (/)  ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
97, 8mpbii 211 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  M  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
10 0ss 3767 . . . . . . . 8  |-  (/)  C_  (
0 ... 0 )
11 sseq1 3462 . . . . . . . 8  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  (/)  C_  (
0 ... 0 ) ) )
1210, 11mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 ) )
1312ralimi 2796 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) )
149, 13jaoi 377 . . . . 5  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
152, 6, 14rspcedvd 3164 . . . 4  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
1615a1d 25 . . 3  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
1716a1dd 44 . 2  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
18 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )
19 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
20 ioran 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) ) )
21 oveq1 6241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
2221eqeq1d 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =  (/) ) )
2322cbvralv 3033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  <->  A. g  e.  M  (
g supp  Z )  =  (/) )
2423notbii 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
2524anbi2i 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
2620, 25bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
27 rexnal 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
28 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( g supp  Z
)  =  (/) )
2928bicomi 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
3029rexbii 2905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3130biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3227, 31sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3332adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3426, 33sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3534ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
36 iunn0 4330 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3735, 36sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3819, 37jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
39 oveq1 6241 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
4039cbviunv 4309 . . . . . 6  |-  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
41 eqid 2402 . . . . . 6  |-  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
4240, 41fsuppmapnn0fiublem 12050 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 ) )
4318, 38, 42sylc 59 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 )
44 nfv 1728 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
(/)  =  M
45 nfra1 2784 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)
4644, 45nfor 1963 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
4746nfn 1929 . . . . . . . 8  |-  F/ f  -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  =  (/) )
48 nfv 1728 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
4947, 48nfan 1956 . . . . . . 7  |-  F/ f ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )
50 nfra1 2784 . . . . . . 7  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
5149, 50nfan 1956 . . . . . 6  |-  F/ f ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
52 nfv 1728 . . . . . 6  |-  F/ f  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
5351, 52nfan 1956 . . . . 5  |-  F/ f ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) )
54 oveq2 6242 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
) )
5554sseq2d 3469 . . . . . 6  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
5655adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
5753, 56ralbid 2837 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
58 rexnal 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
59 df-ne 2600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( f supp  Z
)  =  (/) )
6059bicomi 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( f supp  Z
)  =/=  (/) )
6160rexbii 2905 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6261biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6358, 62sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6463adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6520, 64sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6665ad2antrr 724 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
67 iunn0 4330 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6821cbviunv 4309 . . . . . . . . 9  |-  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )
6968neeq1i 2688 . . . . . . . 8  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  =/=  (/)  <->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
7067, 69bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
7166, 70sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
7219, 71jca 530 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
7340, 41fsuppmapnn0fiub 12051 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
7418, 72, 73sylc 59 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) )
7543, 57, 74rspcedvd 3164 . . 3  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
7675exp31 602 . 2  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  (
( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
7717, 76pm2.61i 164 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754    C_ wss 3413   (/)c0 3737   U_ciun 4270   class class class wbr 4394  (class class class)co 6234   supp csupp 6856    ^m cmap 7377   Fincfn 7474   finSupp cfsupp 7783   supcsup 7854   RRcr 9441   0cc0 9442    < clt 9578   NN0cn0 10756   ...cfz 11643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-supp 6857  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-fsupp 7784  df-sup 7855  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12053
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