Theorem fsuppmapnn0fiubex 12056

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiubex	|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )

Distinct variable groups:   f, M, m   R, f, m   f, V, m   f, Z, m

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3927	. . . . . . 7 |- A. f e. (/) ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 )
2		raleq 3053	. . . . . . 7 |- ( (/) = M -> ( A. f e. (/) ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
3	1, 2	mpbii 211	. . . . . 6 |- ( (/) = M -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
4		0ss 3809	. . . . . . . 8 |- (/) C_ ( 0 ... 0 )
5		sseq1 3520	. . . . . . . 8 |- ( ( f supp Z ) = (/) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) <-> (/) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
6	4, 5	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( ( f supp Z ) = (/) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
7	6	ralimi 2852	. . . . . 6 |- ( A. f e. M ( f supp Z ) = (/) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
8	3, 7	jaoi 379	. . . . 5 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
9		0nn0 10801	. . . . . . 7 |- 0 e. NN0
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> 0 e. NN0 )
11		oveq2 6285	. . . . . . . . 9 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
12	11	sseq2d 3527	. . . . . . . 8 |- ( m = 0 -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
13	12	ralbidv 2898	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
14	13	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ m = 0 ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
15	10, 14	rspcedv 3213	. . . . 5 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )
16	8, 15	mpd 15	. . . 4 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) )
17	16	a1d 25	. . 3 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )
18	17	a1dd 46	. 2 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) ) )
19		simplr 754	. . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) )
20		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> A. f e. M f finSupp Z )
21		ioran 490	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) )
22		rexnal 2907	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) <-> -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
23		df-ne 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f supp Z ) =/= (/) <-> -. ( f supp Z ) = (/) )
24	23	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( f supp Z ) = (/) <-> ( f supp Z ) =/= (/) )
25	24	rexbii 2960	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) <-> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
26	25	biimpi 194	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
27	22, 26	sylbir 213	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
29	21, 28	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
31		iunn0 4380	. . . . . . . 8 |- ( E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
32		oveq1 6284	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( f supp Z ) = ( g supp Z ) )
33	32	cbviunv 4359	. . . . . . . . 9 |- U_ f e. M ( f supp Z ) = U_ g e. M ( g supp Z )
34	33	neeq1i 2747	. . . . . . . 8 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
35	31, 34	bitri 249	. . . . . . 7 |- ( E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
36	30, 35	sylib 196	. . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
37	20, 36	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) )
38		oveq1 6284	. . . . . . 7 |- ( g = f -> ( g supp Z ) = ( f supp Z ) )
39	38	cbviunv 4359	. . . . . 6 |- U_ g e. M ( g supp Z ) = U_ f e. M ( f supp Z )
40		eqid 2462	. . . . . 6 |- sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < )
41	39, 40	fsuppmapnn0fiub 12055	. . . . 5 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
42	19, 37, 41	sylc 60	. . . 4 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) )
43	32	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( ( f supp Z ) = (/) <-> ( g supp Z ) = (/) ) )
44	43	cbvralv 3083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. M ( f supp Z ) = (/) <-> A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
45	44	notbii 296	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) <-> -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
46	45	anbi2i 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) )
47	21, 46	bitri 249	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) )
48		rexnal 2907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) <-> -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
49		df-ne 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g supp Z ) =/= (/) <-> -. ( g supp Z ) = (/) )
50	49	bicomi 202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( g supp Z ) = (/) <-> ( g supp Z ) =/= (/) )
51	50	rexbii 2960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) <-> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
52	51	biimpi 194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
53	48, 52	sylbir 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
54	53	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
55	47, 54	sylbi 195	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
56	55	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
57		iunn0 4380	. . . . . . . 8 |- ( E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
58	56, 57	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
59	20, 58	jca 532	. . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) )
60	39, 40	fsuppmapnn0fiublem 12054	. . . . . 6 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) -> sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) e. NN0 ) )
61	19, 59, 60	sylc 60	. . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) e. NN0 )
62		nfv 1678	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f (/) = M
63		nfra1 2840	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f A. f e. M ( f supp Z ) = (/)
64	62, 63	nfor 1877	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
65	64	nfn 1844	. . . . . . . . 9 |- F/ f -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
66		nfv 1678	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
67	65, 66	nfan 1870	. . . . . . . 8 |- F/ f ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) )
68		nfra1 2840	. . . . . . . 8 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
69	67, 68	nfan 1870	. . . . . . 7 |- F/ f ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z )
70		nfv 1678	. . . . . . 7 |- F/ f m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < )
71	69, 70	nfan 1870	. . . . . 6 |- F/ f ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) )
72		oveq2 6285	. . . . . . . 8 |- ( m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) )
73	72	sseq2d 3527	. . . . . . 7 |- ( m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
74	73	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
75	71, 74	ralbid 2893	. . . . 5 |- ( ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
76	61, 75	rspcedv 3213	. . . 4 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )
77	42, 76	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) )
78	77	exp31 604	. 2 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) ) )
79	18, 78	pm2.61i 164	1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2657   A.wral 2809   E.wrex 2810   C_ wss 3471   (/)c0 3780   U_ciun 4320   class class class wbr 4442  (class class class)co 6277   supp csupp 6893   ^m cmap 7412   Fincfn 7508   finSupp cfsupp 7820   supcsup 7891   RRcr 9482   0cc0 9483   < clt 9619   NN0cn0 10786   ...cfz 11663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-supp 6894  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fsupp 7821  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12057