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Theorem fsuppmapnn0fiubex 12242
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiubex  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Distinct variable groups:    f, M, m    R, f, m    f, V, m    f, Z, m

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 10918 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
21a1i 11 . . . 4  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  0  e. 
NN0 )
3 oveq2 6328 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
43sseq2d 3472 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
54ralbidv 2839 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  ( A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... m
)  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) ) )
65adantl 472 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  m  =  0 )  -> 
( A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
7 ral0 3886 . . . . . 6  |-  A. f  e.  (/)  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 )
8 raleq 2999 . . . . . 6  |-  ( (/)  =  M  ->  ( A. f  e.  (/)  ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) ) )
97, 8mpbii 216 . . . . 5  |-  ( (/)  =  M  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
10 0ss 3775 . . . . . . 7  |-  (/)  C_  (
0 ... 0 )
11 sseq1 3465 . . . . . . 7  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( ( f supp 
Z )  C_  (
0 ... 0 )  <->  (/)  C_  (
0 ... 0 ) ) )
1210, 11mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( ( f supp  Z )  =  (/)  ->  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... 0 ) )
1312ralimi 2793 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0
) )
149, 13jaoi 385 . . . 4  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... 0 ) )
152, 6, 14rspcedvd 3167 . . 3  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
16152a1d 27 . 2  |-  ( (
(/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
17 simplr 767 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )
18 simpr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
19 ioran 497 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) ) )
20 oveq1 6327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
2120eqeq1d 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =  (/) ) )
2221cbvralv 3031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/)  <->  A. g  e.  M  (
g supp  Z )  =  (/) )
2322notbii 302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
2423anbi2i 705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
2519, 24bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  <->  ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) ) )
26 rexnal 2848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )
27 df-ne 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( g supp  Z
)  =  (/) )
2827bicomi 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
2928rexbii 2901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  <->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3029biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. g  e.  M  -.  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3126, 30sylbir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/)  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3231adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. g  e.  M  ( g supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3325, 32sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3433ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
35 iunn0 4352 . . . . . . 7  |-  ( E. g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3634, 35sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
3718, 36jca 539 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
38 oveq1 6327 . . . . . . 7  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
3938cbviunv 4331 . . . . . 6  |-  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
40 eqid 2462 . . . . . 6  |-  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
4139, 40fsuppmapnn0fiublem 12240 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 ) )
4217, 37, 41sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  e.  NN0 )
43 nfv 1772 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f
(/)  =  M
44 nfra1 2781 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)
4543, 44nfor 2029 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
4645nfn 1994 . . . . . . . 8  |-  F/ f  -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  =  (/) )
47 nfv 1772 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
4846, 47nfan 2022 . . . . . . 7  |-  F/ f ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )
49 nfra1 2781 . . . . . . 7  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
5048, 49nfan 2022 . . . . . 6  |-  F/ f ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )
51 nfv 1772 . . . . . 6  |-  F/ f  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
5250, 51nfan 2022 . . . . 5  |-  F/ f ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) )
53 oveq2 6328 . . . . . . 7  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
) )
5453sseq2d 3472 . . . . . 6  |-  ( m  =  sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  )  ->  (
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
5554adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
5652, 55ralbid 2834 . . . 4  |-  ( ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  /\  m  =  sup ( U_ g  e.  M  ( g supp  Z ) ,  RR ,  <  )
)  ->  ( A. f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  (
0 ... m )  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
57 rexnal 2848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )
58 df-ne 2635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<->  -.  ( f supp  Z
)  =  (/) )
5958bicomi 207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  ( f supp  Z
)  =/=  (/) )
6059rexbii 2901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  <->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6160biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  M  -.  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6257, 61sylbir 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/)  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6362adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( -.  (/)  =  M  /\  -.  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6419, 63sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6564ad2antrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
66 iunn0 4352 . . . . . . . 8  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) )
6720cbviunv 4331 . . . . . . . . 9  |-  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  =  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )
6867neeq1i 2700 . . . . . . . 8  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  =/=  (/)  <->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z
)  =/=  (/) )
6966, 68bitri 257 . . . . . . 7  |-  ( E. f  e.  M  ( f supp  Z )  =/=  (/) 
<-> 
U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
7065, 69sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )
7118, 70jca 539 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) ) )
7239, 40fsuppmapnn0fiub 12241 . . . . 5  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U_ g  e.  M  ( g supp  Z )  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
7317, 71, 72sylc 62 . . . 4  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... sup ( U_ g  e.  M  (
g supp  Z ) ,  RR ,  <  ) ) )
7442, 56, 73rspcedvd 3167 . . 3  |-  ( ( ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  /\  ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V ) )  /\  A. f  e.  M  f finSupp  Z )  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) )
7574exp31 613 . 2  |-  ( -.  ( (/)  =  M  \/  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  =  (/) )  ->  (
( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) ) )
7616, 75pm2.61i 169 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  E. m  e.  NN0  A. f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  ( 0 ... m ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 374    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750    C_ wss 3416   (/)c0 3743   U_ciun 4292   class class class wbr 4418  (class class class)co 6320   supp csupp 6946    ^m cmap 7503   Fincfn 7600   finSupp cfsupp 7914   supcsup 7985   RRcr 9569   0cc0 9570    < clt 9706   NN0cn0 10903   ...cfz 11819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12243
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