Theorem fsuppmapnn0fiubex 12242

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiubex	|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )

Distinct variable groups:   f, M, m   R, f, m   f, V, m   f, Z, m

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiubex

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 10918	. . . . 5 |- 0 e. NN0
2	1	a1i 11	. . . 4 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> 0 e. NN0 )
3		oveq2 6328	. . . . . . 7 |- ( m = 0 -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... 0 ) )
4	3	sseq2d 3472	. . . . . 6 |- ( m = 0 -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
5	4	ralbidv 2839	. . . . 5 |- ( m = 0 -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
6	5	adantl 472	. . . 4 |- ( ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ m = 0 ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
7		ral0 3886	. . . . . 6 |- A. f e. (/) ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 )
8		raleq 2999	. . . . . 6 |- ( (/) = M -> ( A. f e. (/) ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
9	7, 8	mpbii 216	. . . . 5 |- ( (/) = M -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
10		0ss 3775	. . . . . . 7 |- (/) C_ ( 0 ... 0 )
11		sseq1 3465	. . . . . . 7 |- ( ( f supp Z ) = (/) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) <-> (/) C_ ( 0 ... 0 ) ) )
12	10, 11	mpbiri 241	. . . . . 6 |- ( ( f supp Z ) = (/) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
13	12	ralimi 2793	. . . . 5 |- ( A. f e. M ( f supp Z ) = (/) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
14	9, 13	jaoi 385	. . . 4 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... 0 ) )
15	2, 6, 14	rspcedvd 3167	. . 3 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) )
16	15	2a1d 27	. 2 |- ( ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) ) )
17		simplr 767	. . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) )
18		simpr 467	. . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> A. f e. M f finSupp Z )
19		ioran 497	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) )
20		oveq1 6327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( f supp Z ) = ( g supp Z ) )
21	20	eqeq1d 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( ( f supp Z ) = (/) <-> ( g supp Z ) = (/) ) )
22	21	cbvralv 3031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. f e. M ( f supp Z ) = (/) <-> A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
23	22	notbii 302	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) <-> -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
24	23	anbi2i 705	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) )
25	19, 24	bitri 257	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) <-> ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) )
26		rexnal 2848	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) <-> -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) )
27		df-ne 2635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g supp Z ) =/= (/) <-> -. ( g supp Z ) = (/) )
28	27	bicomi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( g supp Z ) = (/) <-> ( g supp Z ) =/= (/) )
29	28	rexbii 2901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) <-> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
30	29	biimpi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. g e. M -. ( g supp Z ) = (/) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
31	26, 30	sylbir 218	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
32	31	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. g e. M ( g supp Z ) = (/) ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
33	25, 32	sylbi 200	. . . . . . . 8 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
34	33	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
35		iunn0 4352	. . . . . . 7 |- ( E. g e. M ( g supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
36	34, 35	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
37	18, 36	jca 539	. . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) )
38		oveq1 6327	. . . . . . 7 |- ( g = f -> ( g supp Z ) = ( f supp Z ) )
39	38	cbviunv 4331	. . . . . 6 |- U_ g e. M ( g supp Z ) = U_ f e. M ( f supp Z )
40		eqid 2462	. . . . . 6 |- sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < )
41	39, 40	fsuppmapnn0fiublem 12240	. . . . 5 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) -> sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) e. NN0 ) )
42	17, 37, 41	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) e. NN0 )
43		nfv 1772	. . . . . . . . . 10 |- F/ f (/) = M
44		nfra1 2781	. . . . . . . . . 10 |- F/ f A. f e. M ( f supp Z ) = (/)
45	43, 44	nfor 2029	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
46	45	nfn 1994	. . . . . . . 8 |- F/ f -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
47		nfv 1772	. . . . . . . 8 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
48	46, 47	nfan 2022	. . . . . . 7 |- F/ f ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) )
49		nfra1 2781	. . . . . . 7 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
50	48, 49	nfan 2022	. . . . . 6 |- F/ f ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z )
51		nfv 1772	. . . . . 6 |- F/ f m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < )
52	50, 51	nfan 2022	. . . . 5 |- F/ f ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) )
53		oveq2 6328	. . . . . . 7 |- ( m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) -> ( 0 ... m ) = ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) )
54	53	sseq2d 3472	. . . . . 6 |- ( m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
55	54	adantl 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> ( ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
56	52, 55	ralbid 2834	. . . 4 |- ( ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) /\ m = sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) -> ( A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
57		rexnal 2848	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) <-> -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) )
58		df-ne 2635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f supp Z ) =/= (/) <-> -. ( f supp Z ) = (/) )
59	58	bicomi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. ( f supp Z ) = (/) <-> ( f supp Z ) =/= (/) )
60	59	rexbii 2901	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) <-> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
61	60	biimpi 199	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. f e. M -. ( f supp Z ) = (/) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
62	57, 61	sylbir 218	. . . . . . . . . 10 |- ( -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
63	62	adantl 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. (/) = M /\ -. A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
64	19, 63	sylbi 200	. . . . . . . 8 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
65	64	ad2antrr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
66		iunn0 4352	. . . . . . . 8 |- ( E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ f e. M ( f supp Z ) =/= (/) )
67	20	cbviunv 4331	. . . . . . . . 9 |- U_ f e. M ( f supp Z ) = U_ g e. M ( g supp Z )
68	67	neeq1i 2700	. . . . . . . 8 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
69	66, 68	bitri 257	. . . . . . 7 |- ( E. f e. M ( f supp Z ) =/= (/) <-> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
70	65, 69	sylib 201	. . . . . 6 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) )
71	18, 70	jca 539	. . . . 5 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) )
72	39, 40	fsuppmapnn0fiub 12241	. . . . 5 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U_ g e. M ( g supp Z ) =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) ) )
73	17, 71, 72	sylc 62	. . . 4 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... sup ( U_ g e. M ( g supp Z ) , RR , < ) ) )
74	42, 56, 73	rspcedvd 3167	. . 3 |- ( ( ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) /\ ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) ) /\ A. f e. M f finSupp Z ) -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) )
75	74	exp31 613	. 2 |- ( -. ( (/) = M \/ A. f e. M ( f supp Z ) = (/) ) -> ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) ) )
76	16, 75	pm2.61i 169	1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( A. f e. M f finSupp Z -> E. m e. NN0 A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... m ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   C_ wss 3416   (/)c0 3743   U_ciun 4292   class class class wbr 4418  (class class class)co 6320   supp csupp 6946   ^m cmap 7503   Fincfn 7600   finSupp cfsupp 7914   supcsup 7985   RRcr 9569   0cc0 9570   < clt 9706   NN0cn0 10903   ...cfz 11819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-supp 6947  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-map 7505  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-fsupp 7915  df-sup 7987  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-nn 10643  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-fz 11820

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiub0  12243