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Theorem fsuppmapnn0fiub 30970
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
fsuppmapnn0fiub.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Distinct variable groups:    f, M    R, f    U, f    f, V   
f, Z
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1674 . . . 4  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
2 nfra1 2810 . . . . 5  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
3 nfv 1674 . . . . 5  |-  F/ f  U  =/=  (/)
42, 3nfan 1866 . . . 4  |-  F/ f ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )
51, 4nfan 1866 . . 3  |-  F/ f ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )
6 suppssdm 6816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f supp 
Z )  C_  dom  f
7 ssel2 3462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  ( R  ^m  NN0 ) )
8 elmapfn 7348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  f  Fn  NN0 )
9 fndm 5621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  =  NN0 )
10 eqimss 3519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  f  =  NN0  ->  dom  f  C_  NN0 )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  C_ 
NN0 )
127, 8, 113syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
13123ad2antl1 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
146, 13syl5ss 3478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
f supp  Z )  C_  NN0 )
1514sseld 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1716imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  NN0 )
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 30969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  S  e.  NN0 ) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  S  e.  NN0 )
2221ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  e.  NN0 )
237, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  ->  ( f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
25243ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
28 nn0ssre 10698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  C_  RR
2927, 28syl6eqss 3517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  RR )
306, 29syl5ss 3478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  RR )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  RR ) )
325, 31ralrimi 2823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
34 iunss 4322 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  RR  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  RR )
3618, 35syl5eqss 3511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  C_  RR )
37 simp2 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  M  e.  Fin )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f finSupp  Z  ->  f finSupp  Z )
3938fsuppimpd 7741 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f finSupp  Z  ->  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4039ralimi 2819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4237, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  e.  Fin ) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
)
44 iunfi 7713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e. 
Fin )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4618, 45syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  e.  Fin )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  M )
48 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
4948eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
x  e.  ( g supp 
Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  g  =  f )  -> 
( x  e.  ( g supp  Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5147, 50rspcedv 3183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z )
)
53 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
5453eleq2d 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  <->  x  e.  ( g supp  Z )
) )
5554cbvrexv 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z
)  <->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) )
5652, 55sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
5718eleq2i 2532 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U  <->  x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z ) )
58 eliun 4286 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
6056, 59sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  U )
6119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
6236, 46, 60, 61supfirege 30915 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  <_  S )
63 elfz2nn0 11601 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 ... S )  <->  ( x  e.  NN0  /\  S  e. 
NN0  /\  x  <_  S ) )
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1172 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  ( 0 ... S
) )
6564ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  ( 0 ... S ) ) )
6665ssrdv 3473 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) )
6766ex 434 . . 3  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) ) )
685, 67ralrimi 2823 . 2  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) )
6968ex 434 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800    C_ wss 3439   (/)c0 3748   U_ciun 4282   class class class wbr 4403   dom cdm 4951    Fn wfn 5524  (class class class)co 6203   supp csupp 6803    ^m cmap 7327   Fincfn 7423   finSupp cfsupp 7734   supcsup 7805   RRcr 9396   0cc0 9397    < clt 9533    <_ cle 9534   NN0cn0 10694   ...cfz 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  30971
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