Theorem fsuppmapnn0fiub 30970

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	|- U = U_ f e. M ( f supp Z )
fsuppmapnn0fiub.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )

Distinct variable groups:   f, M   R, f   U, f   f, V   f, Z

Allowed substitution hint:   S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1674	. . . 4 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
2		nfra1 2810	. . . . 5 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
3		nfv 1674	. . . . 5 |- F/ f U =/= (/)
4	2, 3	nfan 1866	. . . 4 |- F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) )
5	1, 4	nfan 1866	. . 3 |- F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) )
6		suppssdm 6816	. . . . . . . . . . 11 |- ( f supp Z ) C_ dom f
7		ssel2 3462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) )
8		elmapfn 7348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 )
9		fndm 5621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 )
10		eqimss 3519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn NN0 -> dom f C_ NN0 )
12	7, 8, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
13	12	3ad2antl1 1150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
14	6, 13	syl5ss 3478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 )
15	14	sseld 3466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
16	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
17	16	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. NN0 )
18		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 |- U = U_ f e. M ( f supp Z )
19		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 |- S = sup ( U , RR , < )
20	18, 19	fsuppmapnn0fiublem 30969	. . . . . . . . 9 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )
21	20	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S e. NN0 )
23	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
24	23	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
25	24	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
27	26	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
28		nn0ssre 10698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 C_ RR
29	27, 28	syl6eqss 3517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR )
30	6, 29	syl5ss 3478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR )
31	30	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) )
32	5, 31	ralrimi 2823	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
33	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
34		iunss 4322	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
36	18, 35	syl5eqss 3511	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U C_ RR )
37		simp2 989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f finSupp Z -> f finSupp Z )
39	38	fsuppimpd 7741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin )
40	39	ralimi 2819	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
42	37, 41	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
44		iunfi 7713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
46	18, 45	syl5eqel 2546	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U e. Fin )
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> f e. M )
48		oveq1 6210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( g supp Z ) = ( f supp Z ) )
49	48	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( g supp Z ) <-> x e. ( f supp Z ) ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ g = f ) -> ( x e. ( g supp Z ) <-> x e. ( f supp Z ) ) )
51	47, 50	rspcedv 3183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> E. g e. M x e. ( g supp Z ) ) )
52	51	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. g e. M x e. ( g supp Z ) )
53		oveq1 6210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f supp Z ) = ( g supp Z ) )
54	53	eleq2d 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( x e. ( f supp Z ) <-> x e. ( g supp Z ) ) )
55	54	cbvrexv 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( E. f e. M x e. ( f supp Z ) <-> E. g e. M x e. ( g supp Z ) )
56	52, 55	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
57	18	eleq2i 2532	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U <-> x e. U_ f e. M ( f supp Z ) )
58		eliun 4286	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ f e. M ( f supp Z ) <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
59	57, 58	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
60	56, 59	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U )
61	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S = sup ( U , RR , < ) )
62	36, 46, 60, 61	supfirege 30915	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x <_ S )
63		elfz2nn0 11601	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 ... S ) <-> ( x e. NN0 /\ S e. NN0 /\ x <_ S ) )
64	17, 22, 62, 63	syl3anbrc 1172	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. ( 0 ... S ) )
65	64	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. ( 0 ... S ) ) )
66	65	ssrdv 3473	. . . 4 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
67	66	ex 434	. . 3 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )
68	5, 67	ralrimi 2823	. 2 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
69	68	ex 434	1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   E.wrex 2800   C_ wss 3439   (/)c0 3748   U_ciun 4282   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   Fn wfn 5524  (class class class)co 6203   supp csupp 6803   ^m cmap 7327   Fincfn 7423   finSupp cfsupp 7734   supcsup 7805   RRcr 9396   0cc0 9397   < clt 9533   <_ cle 9534   NN0cn0 10694   ...cfz 11558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  30971