Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppmapnn0fiub Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsuppmapnn0fiub 12200
 Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u supp
fsuppmapnn0fiub.s
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub finSupp supp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1760 . . . 4
2 nfra1 2768 . . . . 5 finSupp
3 nfv 1760 . . . . 5
42, 3nfan 2010 . . . 4 finSupp
51, 4nfan 2010 . . 3 finSupp
6 suppssdm 6924 . . . . . . . . . . 11 supp
7 ssel2 3426 . . . . . . . . . . . . 13
8 elmapfn 7491 . . . . . . . . . . . . 13
9 fndm 5673 . . . . . . . . . . . . . 14
10 eqimss 3483 . . . . . . . . . . . . . 14
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12
13123ad2antl1 1169 . . . . . . . . . . 11
146, 13syl5ss 3442 . . . . . . . . . 10 supp
1514sseld 3430 . . . . . . . . 9 supp
1615adantlr 720 . . . . . . . 8 finSupp supp
1716imp 431 . . . . . . 7 finSupp supp
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10 supp
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12199 . . . . . . . . 9 finSupp
2120imp 431 . . . . . . . 8 finSupp
2221ad2antrr 731 . . . . . . 7 finSupp supp
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
25243ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 finSupp
2726imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp
28 nn0ssre 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15
2927, 28syl6eqss 3481 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp
306, 29syl5ss 3442 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp supp
3130ex 436 . . . . . . . . . . . 12 finSupp supp
325, 31ralrimi 2787 . . . . . . . . . . 11 finSupp supp
3332ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10 finSupp supp supp
34 iunss 4318 . . . . . . . . . 10 supp supp
3533, 34sylibr 216 . . . . . . . . 9 finSupp supp supp
3618, 35syl5eqss 3475 . . . . . . . 8 finSupp supp
37 simp2 1008 . . . . . . . . . . . 12
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 finSupp finSupp
3938fsuppimpd 7887 . . . . . . . . . . . . . 14 finSupp supp
4039ralimi 2780 . . . . . . . . . . . . 13 finSupp supp
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . 12 finSupp supp
4237, 41anim12i 569 . . . . . . . . . . 11 finSupp supp
4342ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10 finSupp supp supp
44 iunfi 7859 . . . . . . . . . 10 supp supp
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9 finSupp supp supp
4618, 45syl5eqel 2532 . . . . . . . 8 finSupp supp
47 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12 finSupp
48 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . 14 supp supp
4948eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . 13 supp supp
5049adantl 468 . . . . . . . . . . . 12 finSupp supp supp
5147, 50rspcedv 3153 . . . . . . . . . . 11 finSupp supp supp
5251imp 431 . . . . . . . . . 10 finSupp supp supp
53 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12 supp supp
5453eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11 supp supp
5554cbvrexv 3019 . . . . . . . . . 10 supp supp
5652, 55sylibr 216 . . . . . . . . 9 finSupp supp supp
5718eleq2i 2520 . . . . . . . . . 10 supp
58 eliun 4282 . . . . . . . . . 10 supp supp
5957, 58bitri 253 . . . . . . . . 9 supp
6056, 59sylibr 216 . . . . . . . 8 finSupp supp
6119a1i 11 . . . . . . . 8 finSupp supp
6236, 46, 60, 61supfirege 10595 . . . . . . 7 finSupp supp
63 elfz2nn0 11882 . . . . . . 7
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1191 . . . . . 6 finSupp supp
6564ex 436 . . . . 5 finSupp supp
6665ssrdv 3437 . . . 4 finSupp supp
6766ex 436 . . 3 finSupp supp
685, 67ralrimi 2787 . 2 finSupp supp
6968ex 436 1 finSupp supp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 984   wceq 1443   wcel 1886   wne 2621  wral 2736  wrex 2737   wss 3403  c0 3730  ciun 4277   class class class wbr 4401   cdm 4833   wfn 5576  (class class class)co 6288   supp csupp 6911   cmap 7469  cfn 7566   finSupp cfsupp 7880  csup 7951  cr 9535  cc0 9536   clt 9672   cle 9673  cn0 10866  cfz 11781 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782 This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12201
 Copyright terms: Public domain W3C validator