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Theorem fsuppmapnn0fiub 12200
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
fsuppmapnn0fiub.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Distinct variable groups:    f, M    R, f    U, f    f, V   
f, Z
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1760 . . . 4  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
2 nfra1 2768 . . . . 5  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
3 nfv 1760 . . . . 5  |-  F/ f  U  =/=  (/)
42, 3nfan 2010 . . . 4  |-  F/ f ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )
51, 4nfan 2010 . . 3  |-  F/ f ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )
6 suppssdm 6924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f supp 
Z )  C_  dom  f
7 ssel2 3426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  ( R  ^m  NN0 ) )
8 elmapfn 7491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  f  Fn  NN0 )
9 fndm 5673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  =  NN0 )
10 eqimss 3483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  f  =  NN0  ->  dom  f  C_  NN0 )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  C_ 
NN0 )
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
13123ad2antl1 1169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
146, 13syl5ss 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
f supp  Z )  C_  NN0 )
1514sseld 3430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1615adantlr 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1716imp 431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  NN0 )
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  S  e.  NN0 ) )
2120imp 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  S  e.  NN0 )
2221ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  e.  NN0 )
237, 8, 93syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
2423ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  ->  ( f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
25243ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2625adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2726imp 431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
28 nn0ssre 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  C_  RR
2927, 28syl6eqss 3481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  RR )
306, 29syl5ss 3442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  RR )
3130ex 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  RR ) )
325, 31ralrimi 2787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3332ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
34 iunss 4318 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  RR  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3533, 34sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  RR )
3618, 35syl5eqss 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  C_  RR )
37 simp2 1008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  M  e.  Fin )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f finSupp  Z  ->  f finSupp  Z )
3938fsuppimpd 7887 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f finSupp  Z  ->  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4039ralimi 2780 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4237, 41anim12i 569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  e.  Fin ) )
4342ad2antrr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
)
44 iunfi 7859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e. 
Fin )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4618, 45syl5eqel 2532 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  e.  Fin )
47 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  M )
48 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
4948eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
x  e.  ( g supp 
Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5049adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  g  =  f )  -> 
( x  e.  ( g supp  Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5147, 50rspcedv 3153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) ) )
5251imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z )
)
53 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
5453eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  <->  x  e.  ( g supp  Z )
) )
5554cbvrexv 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z
)  <->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) )
5652, 55sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
5718eleq2i 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U  <->  x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z ) )
58 eliun 4282 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z ) )
5957, 58bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
6056, 59sylibr 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  U )
6119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
6236, 46, 60, 61supfirege 10595 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  <_  S )
63 elfz2nn0 11882 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 ... S )  <->  ( x  e.  NN0  /\  S  e. 
NN0  /\  x  <_  S ) )
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1191 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  ( 0 ... S
) )
6564ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  ( 0 ... S ) ) )
6665ssrdv 3437 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) )
6766ex 436 . . 3  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) ) )
685, 67ralrimi 2787 . 2  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) )
6968ex 436 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886    =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3403   (/)c0 3730   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   dom cdm 4833    Fn wfn 5576  (class class class)co 6288   supp csupp 6911    ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536    < clt 9672    <_ cle 9673   NN0cn0 10866   ...cfz 11781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12201
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