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Theorem fsuppmapnn0fiub 12100
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
fsuppmapnn0fiub.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Distinct variable groups:    f, M    R, f    U, f    f, V   
f, Z
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1708 . . . 4  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
2 nfra1 2838 . . . . 5  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
3 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ f  U  =/=  (/)
42, 3nfan 1929 . . . 4  |-  F/ f ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )
51, 4nfan 1929 . . 3  |-  F/ f ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )
6 suppssdm 6930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f supp 
Z )  C_  dom  f
7 ssel2 3494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  ( R  ^m  NN0 ) )
8 elmapfn 7460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  f  Fn  NN0 )
9 fndm 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  =  NN0 )
10 eqimss 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  f  =  NN0  ->  dom  f  C_  NN0 )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  C_ 
NN0 )
127, 8, 113syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
13123ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
146, 13syl5ss 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
f supp  Z )  C_  NN0 )
1514sseld 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1716imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  NN0 )
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  S  e.  NN0 ) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  S  e.  NN0 )
2221ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  e.  NN0 )
237, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  ->  ( f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
25243ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
28 nn0ssre 10820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  C_  RR
2927, 28syl6eqss 3549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  RR )
306, 29syl5ss 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  RR )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  RR ) )
325, 31ralrimi 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
34 iunss 4373 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  RR  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  RR )
3618, 35syl5eqss 3543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  C_  RR )
37 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  M  e.  Fin )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f finSupp  Z  ->  f finSupp  Z )
3938fsuppimpd 7854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f finSupp  Z  ->  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4039ralimi 2850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4237, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  e.  Fin ) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
)
44 iunfi 7826 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e. 
Fin )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4618, 45syl5eqel 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  e.  Fin )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  M )
48 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
4948eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
x  e.  ( g supp 
Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  g  =  f )  -> 
( x  e.  ( g supp  Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5147, 50rspcedv 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z )
)
53 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
5453eleq2d 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  <->  x  e.  ( g supp  Z )
) )
5554cbvrexv 3085 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z
)  <->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) )
5652, 55sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
5718eleq2i 2535 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U  <->  x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z ) )
58 eliun 4337 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
6056, 59sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  U )
6119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
6236, 46, 60, 61supfirege 10545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  <_  S )
63 elfz2nn0 11795 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 ... S )  <->  ( x  e.  NN0  /\  S  e. 
NN0  /\  x  <_  S ) )
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  ( 0 ... S
) )
6564ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  ( 0 ... S ) ) )
6665ssrdv 3505 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) )
6766ex 434 . . 3  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) ) )
685, 67ralrimi 2857 . 2  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) )
6968ex 434 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   dom cdm 5008    Fn wfn 5589  (class class class)co 6296   supp csupp 6917    ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ...cfz 11697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12101
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