Theorem fsuppmapnn0fiub 12200

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	|- U = U_ f e. M ( f supp Z )
fsuppmapnn0fiub.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )

Distinct variable groups:   f, M   R, f   U, f   f, V   f, Z

Allowed substitution hint:   S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1760	. . . 4 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
2		nfra1 2768	. . . . 5 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
3		nfv 1760	. . . . 5 |- F/ f U =/= (/)
4	2, 3	nfan 2010	. . . 4 |- F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) )
5	1, 4	nfan 2010	. . 3 |- F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) )
6		suppssdm 6924	. . . . . . . . . . 11 |- ( f supp Z ) C_ dom f
7		ssel2 3426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) )
8		elmapfn 7491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 )
9		fndm 5673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 )
10		eqimss 3483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn NN0 -> dom f C_ NN0 )
12	7, 8, 11	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
13	12	3ad2antl1 1169	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
14	6, 13	syl5ss 3442	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 )
15	14	sseld 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
16	15	adantlr 720	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
17	16	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. NN0 )
18		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 |- U = U_ f e. M ( f supp Z )
19		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 |- S = sup ( U , RR , < )
20	18, 19	fsuppmapnn0fiublem 12199	. . . . . . . . 9 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )
21	20	imp 431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 )
22	21	ad2antrr 731	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S e. NN0 )
23	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
24	23	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
25	24	3ad2ant1 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
26	25	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
27	26	imp 431	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
28		nn0ssre 10870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 C_ RR
29	27, 28	syl6eqss 3481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR )
30	6, 29	syl5ss 3442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR )
31	30	ex 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) )
32	5, 31	ralrimi 2787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
33	32	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
34		iunss 4318	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
35	33, 34	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
36	18, 35	syl5eqss 3475	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U C_ RR )
37		simp2 1008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f finSupp Z -> f finSupp Z )
39	38	fsuppimpd 7887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin )
40	39	ralimi 2780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
41	40	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
42	37, 41	anim12i 569	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
43	42	ad2antrr 731	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
44		iunfi 7859	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
45	43, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
46	18, 45	syl5eqel 2532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U e. Fin )
47		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> f e. M )
48		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( g supp Z ) = ( f supp Z ) )
49	48	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( g supp Z ) <-> x e. ( f supp Z ) ) )
50	49	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ g = f ) -> ( x e. ( g supp Z ) <-> x e. ( f supp Z ) ) )
51	47, 50	rspcedv 3153	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> E. g e. M x e. ( g supp Z ) ) )
52	51	imp 431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. g e. M x e. ( g supp Z ) )
53		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f supp Z ) = ( g supp Z ) )
54	53	eleq2d 2513	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( x e. ( f supp Z ) <-> x e. ( g supp Z ) ) )
55	54	cbvrexv 3019	. . . . . . . . . 10 |- ( E. f e. M x e. ( f supp Z ) <-> E. g e. M x e. ( g supp Z ) )
56	52, 55	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
57	18	eleq2i 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U <-> x e. U_ f e. M ( f supp Z ) )
58		eliun 4282	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ f e. M ( f supp Z ) <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
59	57, 58	bitri 253	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
60	56, 59	sylibr 216	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U )
61	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S = sup ( U , RR , < ) )
62	36, 46, 60, 61	supfirege 10595	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x <_ S )
63		elfz2nn0 11882	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 ... S ) <-> ( x e. NN0 /\ S e. NN0 /\ x <_ S ) )
64	17, 22, 62, 63	syl3anbrc 1191	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. ( 0 ... S ) )
65	64	ex 436	. . . . 5 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. ( 0 ... S ) ) )
66	65	ssrdv 3437	. . . 4 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
67	66	ex 436	. . 3 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )
68	5, 67	ralrimi 2787	. 2 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
69	68	ex 436	1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3403   (/)c0 3730   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   Fn wfn 5576  (class class class)co 6288   supp csupp 6911   ^m cmap 7469   Fincfn 7566   finSupp cfsupp 7880   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   < clt 9672   <_ cle 9673   NN0cn0 10866   ...cfz 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-sup 7953  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-fz 11782

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12201