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Theorem fsuppmapnn0fiub 12077
Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub.u  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
fsuppmapnn0fiub.s  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
fsuppmapnn0fiub  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Distinct variable groups:    f, M    R, f    U, f    f, V   
f, Z
Allowed substitution hint:    S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub
Dummy variables  g  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1683 . . . 4  |-  F/ f ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )
2 nfra1 2848 . . . . 5  |-  F/ f A. f  e.  M  f finSupp  Z
3 nfv 1683 . . . . 5  |-  F/ f  U  =/=  (/)
42, 3nfan 1875 . . . 4  |-  F/ f ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )
51, 4nfan 1875 . . 3  |-  F/ f ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )
6 suppssdm 6926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f supp 
Z )  C_  dom  f
7 ssel2 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  ( R  ^m  NN0 ) )
8 elmapfn 7453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  ( R  ^m  NN0 )  ->  f  Fn  NN0 )
9 fndm 5686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  =  NN0 )
10 eqimss 3561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( dom  f  =  NN0  ->  dom  f  C_  NN0 )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  Fn  NN0  ->  dom  f  C_ 
NN0 )
127, 8, 113syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
13123ad2antl1 1158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  NN0 )
146, 13syl5ss 3520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
f supp  Z )  C_  NN0 )
1514sseld 3508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  f  e.  M )  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1615adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  NN0 ) )
1716imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  NN0 )
18 fsuppmapnn0fiub.u . . . . . . . . . 10  |-  U  = 
U_ f  e.  M  ( f supp  Z )
19 fsuppmapnn0fiub.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  )
2018, 19fsuppmapnn0fiublem 12076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  S  e.  NN0 ) )
2120imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  S  e.  NN0 )
2221ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  e.  NN0 )
237, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  ->  ( f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
25243ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  ->  dom  f  =  NN0 ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  =  NN0 )
28 nn0ssre 10811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN0  C_  RR
2927, 28syl6eqss 3559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  dom  f  C_  RR )
306, 29syl5ss 3520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  RR )
3130ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  RR ) )
325, 31ralrimi 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3332ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
34 iunss 4372 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ f  e.  M  (
f supp  Z )  C_  RR  <->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  RR )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  C_  RR )
3618, 35syl5eqss 3553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  C_  RR )
37 simp2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  M  e.  Fin )
38 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f finSupp  Z  ->  f finSupp  Z )
3938fsuppimpd 7848 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f finSupp  Z  ->  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4039ralimi 2860 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4237, 41anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  (
f supp  Z )  e.  Fin ) )
4342ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
)
44 iunfi 7820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  e. 
Fin )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z )  e.  Fin )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  e.  Fin )
4618, 45syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  U  e.  Fin )
47 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  f  e.  M )
48 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  f  ->  (
g supp  Z )  =  ( f supp  Z ) )
4948eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  f  ->  (
x  e.  ( g supp 
Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5049adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  g  =  f )  -> 
( x  e.  ( g supp  Z )  <->  x  e.  ( f supp  Z )
) )
5147, 50rspcedv 3223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z )
)
53 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
f supp  Z )  =  ( g supp  Z ) )
5453eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
x  e.  ( f supp 
Z )  <->  x  e.  ( g supp  Z )
) )
5554cbvrexv 3094 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z
)  <->  E. g  e.  M  x  e.  ( g supp  Z ) )
5652, 55sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
5718eleq2i 2545 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U  <->  x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z ) )
58 eliun 4336 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ f  e.  M  ( f supp  Z
)  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z ) )
5957, 58bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  U  <->  E. f  e.  M  x  e.  ( f supp  Z )
)
6056, 59sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  U )
6119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  S  =  sup ( U ,  RR ,  <  ) )
6236, 46, 60, 61supfirege 10537 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  <_  S )
63 elfz2nn0 11780 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 ... S )  <->  ( x  e.  NN0  /\  S  e. 
NN0  /\  x  <_  S ) )
6417, 22, 62, 63syl3anbrc 1180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( M 
C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e. 
Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  /\  x  e.  ( f supp  Z ) )  ->  x  e.  ( 0 ... S
) )
6564ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( x  e.  ( f supp  Z )  ->  x  e.  ( 0 ... S ) ) )
6665ssrdv 3515 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  /\  f  e.  M )  ->  ( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) )
6766ex 434 . . 3  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  (
f  e.  M  -> 
( f supp  Z ) 
C_  ( 0 ... S ) ) )
685, 67ralrimi 2867 . 2  |-  ( ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  /\  ( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) ) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) )
6968ex 434 1  |-  ( ( M  C_  ( R  ^m  NN0 )  /\  M  e.  Fin  /\  Z  e.  V )  ->  (
( A. f  e.  M  f finSupp  Z  /\  U  =/=  (/) )  ->  A. f  e.  M  ( f supp  Z )  C_  ( 0 ... S ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   (/)c0 3790   U_ciun 4331   class class class wbr 4453   dom cdm 5005    Fn wfn 5589  (class class class)co 6295   supp csupp 6913    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   finSupp cfsupp 7841   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504    < clt 9640    <_ cle 9641   NN0cn0 10807   ...cfz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12078
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