Theorem fsuppmapnn0fiub 12100

Description: If all functions of a finite set of functions over the nonnegative integers are finitely supported, then the support of all these functions is contained in a finite set of sequential integers starting at 0 and ending with the supremum of the union of the support of these functions. (Contributed by AV, 2-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub.u	|- U = U_ f e. M ( f supp Z )
fsuppmapnn0fiub.s	|- S = sup ( U , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
fsuppmapnn0fiub	|- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )

Distinct variable groups:   f, M   R, f   U, f   f, V   f, Z

Allowed substitution hint:   S( f)

Proof of Theorem fsuppmapnn0fiub

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1708	. . . 4 |- F/ f ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V )
2		nfra1 2838	. . . . 5 |- F/ f A. f e. M f finSupp Z
3		nfv 1708	. . . . 5 |- F/ f U =/= (/)
4	2, 3	nfan 1929	. . . 4 |- F/ f ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) )
5	1, 4	nfan 1929	. . 3 |- F/ f ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) )
6		suppssdm 6930	. . . . . . . . . . 11 |- ( f supp Z ) C_ dom f
7		ssel2 3494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> f e. ( R ^m NN0 ) )
8		elmapfn 7460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( R ^m NN0 ) -> f Fn NN0 )
9		fndm 5686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f Fn NN0 -> dom f = NN0 )
10		eqimss 3551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom f = NN0 -> dom f C_ NN0 )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f Fn NN0 -> dom f C_ NN0 )
12	7, 8, 11	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
13	12	3ad2antl1 1158	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> dom f C_ NN0 )
14	6, 13	syl5ss 3510	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ NN0 )
15	14	sseld 3498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
16	15	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. NN0 ) )
17	16	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. NN0 )
18		fsuppmapnn0fiub.u	. . . . . . . . . 10 |- U = U_ f e. M ( f supp Z )
19		fsuppmapnn0fiub.s	. . . . . . . . . 10 |- S = sup ( U , RR , < )
20	18, 19	fsuppmapnn0fiublem 12099	. . . . . . . . 9 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> S e. NN0 ) )
21	20	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> S e. NN0 )
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S e. NN0 )
23	7, 8, 9	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
24	23	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M C_ ( R ^m NN0 ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
25	24	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> dom f = NN0 ) )
27	26	imp 429	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f = NN0 )
28		nn0ssre 10820	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 C_ RR
29	27, 28	syl6eqss 3549	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> dom f C_ RR )
30	6, 29	syl5ss 3510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ RR )
31	30	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ RR ) )
32	5, 31	ralrimi 2857	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
33	32	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
34		iunss 4373	. . . . . . . . . 10 |- ( U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR <-> A. f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
35	33, 34	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) C_ RR )
36	18, 35	syl5eqss 3543	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U C_ RR )
37		simp2 997	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> M e. Fin )
38		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f finSupp Z -> f finSupp Z )
39	38	fsuppimpd 7854	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f finSupp Z -> ( f supp Z ) e. Fin )
40	39	ralimi 2850	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. f e. M f finSupp Z -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
42	37, 41	anim12i 566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
43	42	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) )
44		iunfi 7826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. Fin /\ A. f e. M ( f supp Z ) e. Fin ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U_ f e. M ( f supp Z ) e. Fin )
46	18, 45	syl5eqel 2549	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> U e. Fin )
47		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> f e. M )
48		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = f -> ( g supp Z ) = ( f supp Z ) )
49	48	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = f -> ( x e. ( g supp Z ) <-> x e. ( f supp Z ) ) )
50	49	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ g = f ) -> ( x e. ( g supp Z ) <-> x e. ( f supp Z ) ) )
51	47, 50	rspcedv 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> E. g e. M x e. ( g supp Z ) ) )
52	51	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. g e. M x e. ( g supp Z ) )
53		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( f supp Z ) = ( g supp Z ) )
54	53	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( x e. ( f supp Z ) <-> x e. ( g supp Z ) ) )
55	54	cbvrexv 3085	. . . . . . . . . 10 |- ( E. f e. M x e. ( f supp Z ) <-> E. g e. M x e. ( g supp Z ) )
56	52, 55	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
57	18	eleq2i 2535	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U <-> x e. U_ f e. M ( f supp Z ) )
58		eliun 4337	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. U_ f e. M ( f supp Z ) <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
59	57, 58	bitri 249	. . . . . . . . 9 |- ( x e. U <-> E. f e. M x e. ( f supp Z ) )
60	56, 59	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. U )
61	19	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> S = sup ( U , RR , < ) )
62	36, 46, 60, 61	supfirege 10545	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x <_ S )
63		elfz2nn0 11795	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 ... S ) <-> ( x e. NN0 /\ S e. NN0 /\ x <_ S ) )
64	17, 22, 62, 63	syl3anbrc 1180	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) /\ x e. ( f supp Z ) ) -> x e. ( 0 ... S ) )
65	64	ex 434	. . . . 5 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( x e. ( f supp Z ) -> x e. ( 0 ... S ) ) )
66	65	ssrdv 3505	. . . 4 |- ( ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) /\ f e. M ) -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
67	66	ex 434	. . 3 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> ( f e. M -> ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )
68	5, 67	ralrimi 2857	. 2 |- ( ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) /\ ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) )
69	68	ex 434	1 |- ( ( M C_ ( R ^m NN0 ) /\ M e. Fin /\ Z e. V ) -> ( ( A. f e. M f finSupp Z /\ U =/= (/) ) -> A. f e. M ( f supp Z ) C_ ( 0 ... S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   C_ wss 3471   (/)c0 3793   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   dom cdm 5008   Fn wfn 5589  (class class class)co 6296   supp csupp 6917   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   finSupp cfsupp 7847   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   < clt 9645   <_ cle 9646   NN0cn0 10816   ...cfz 11697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698

This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0fiubex  12101