MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppimpd Structured version   Unicode version

Theorem fsuppimpd 7623
Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppimpd.f  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Assertion
Ref Expression
fsuppimpd  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )

Proof of Theorem fsuppimpd
StepHypRef Expression
1 fsuppimpd.f . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
2 fsuppimp 7622 . . 3  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z )  e.  Fin ) )
32simprd 460 . 2  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
41, 3syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   Fun wfun 5409  (class class class)co 6090   supp csupp 6689   Fincfn 7306   finSupp cfsupp 7616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-ov 6093  df-fsupp 7617
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  7632  fsuppxpfi  7633  fsuppun  7635  fsuppmptif  7645  fsuppco2  7648  fsuppcor  7649  cantnfcl  7871  cantnfp1lem1  7882  gsumzcl  16383  gsumcl  16390  gsumzmhm  16422  gsumzoppg  16432  gsum2dlem1  16451  gsum2dlem2  16452  gsum2d  16453  gsumdixp  16691  lcomfsupp  16965  mplcoe1  17534  mplbas2  17539  psrbagev1  17578  evlslem2  17581  ply1coe  17699  regsumsupp  17952  frlmphllem  18105  uvcresum  18118  frlmsslsp  18123  frlmup1  18126  tsmsgsum  19609  rrxcph  20796  evlslem6  21422  mdegcl  21483  plypf1  21623  rmfsupp  30687  mndpfsupp  30689  scmfsupp  30691  mptscmfsuppd  30694  lincresunit2  30836
  Copyright terms: Public domain W3C validator