MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppimpd Structured version   Unicode version

Theorem fsuppimpd 7639
Description: A finitely supported function is a function with a finite support. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
fsuppimpd.f  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
Assertion
Ref Expression
fsuppimpd  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )

Proof of Theorem fsuppimpd
StepHypRef Expression
1 fsuppimpd.f . 2  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
2 fsuppimp 7638 . . 3  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z )  e.  Fin ) )
32simprd 463 . 2  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( F supp  Z
)  e.  Fin )
41, 3syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4304   Fun wfun 5424  (class class class)co 6103   supp csupp 6702   Fincfn 7322   finSupp cfsupp 7632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pr 4543
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-br 4305  df-opab 4363  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fv 5438  df-ov 6106  df-fsupp 7633
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  7648  fsuppxpfi  7649  fsuppun  7651  fsuppmptif  7661  fsuppco2  7664  fsuppcor  7665  cantnfcl  7887  cantnfp1lem1  7898  gsumzcl  16402  gsumcl  16409  gsumzmhm  16442  gsumzoppg  16452  gsum2dlem1  16473  gsum2dlem2  16474  gsum2d  16475  gsumdixp  16713  lcomfsupp  16997  mptscmfsupp0  17023  mplcoe1  17556  mplbas2  17563  psrbagev1  17606  evlslem2  17609  evlslem6  17610  ply1coeOLD  17759  regsumsupp  18064  frlmphllem  18217  uvcresum  18230  frlmsslsp  18235  frlmup1  18238  tsmsgsum  19721  rrxcph  20908  mdegcl  21552  plypf1  21692  rmfsupp  30800  mndpfsupp  30802  scmfsupp  30804  fsuppmapnn0ub  30808  fsuppmapnn0fiublem  30810  fsuppmapnn0fiub  30811  pmatcollpw1lem4  30914  lincresunit2  31024
  Copyright terms: Public domain W3C validator