Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppcor Structured version   Unicode version

Theorem fsuppcor 7926
 Description: The composition of a function which maps the zero of the range of a finitely supported function to the zero of its range with this finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppcor.0
fsuppcor.z
fsuppcor.f
fsuppcor.g
fsuppcor.s
fsuppcor.a
fsuppcor.b
fsuppcor.n finSupp
fsuppcor.i
Assertion
Ref Expression
fsuppcor finSupp

Proof of Theorem fsuppcor
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsuppcor.g . . . 4
2 ffun 5748 . . . 4
31, 2syl 17 . . 3
4 fsuppcor.f . . . 4
5 ffun 5748 . . . 4
64, 5syl 17 . . 3
7 funco 5639 . . 3
83, 6, 7syl2anc 665 . 2
9 fsuppcor.n . . . 4 finSupp
109fsuppimpd 7899 . . 3 supp
11 fsuppcor.s . . . . . 6
121, 11fssresd 5767 . . . . 5
13 fco2 5757 . . . . 5
1412, 4, 13syl2anc 665 . . . 4
15 eldifi 3587 . . . . . 6 supp
16 fvco3 5958 . . . . . 6
174, 15, 16syl2an 479 . . . . 5 supp
18 ssid 3483 . . . . . . . 8 supp supp
1918a1i 11 . . . . . . 7 supp supp
20 fsuppcor.a . . . . . . 7
21 fsuppcor.z . . . . . . 7
224, 19, 20, 21suppssr 6957 . . . . . 6 supp
2322fveq2d 5885 . . . . 5 supp
24 fsuppcor.i . . . . . 6
2524adantr 466 . . . . 5 supp
2617, 23, 253eqtrd 2467 . . . 4 supp
2714, 26suppss 6956 . . 3 supp supp
28 ssfi 7801 . . 3 supp supp supp supp
2910, 27, 28syl2anc 665 . 2 supp
30 fsuppcor.b . . . . 5
31 fex 6153 . . . . 5
321, 30, 31syl2anc 665 . . . 4
33 fex 6153 . . . . 5
344, 20, 33syl2anc 665 . . . 4
35 coexg 6758 . . . 4
3632, 34, 35syl2anc 665 . . 3
37 fsuppcor.0 . . 3
38 isfsupp 7896 . . 3 finSupp supp
3936, 37, 38syl2anc 665 . 2 finSupp supp
408, 29, 39mpbir2and 930 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3080   cdif 3433   wss 3436   class class class wbr 4423   cres 4855   ccom 4857   wfun 5595  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305   supp csupp 6925  cfn 7580   finSupp cfsupp 7892 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-supp 6926  df-er 7374  df-en 7581  df-fin 7584  df-fsupp 7893 This theorem is referenced by:  mapfienlem1  7927  mapfienlem2  7928  cpmadumatpolylem2  19904
 Copyright terms: Public domain W3C validator