MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppcolem Structured version   Unicode version

Theorem fsuppcolem 7860
Description: Lemma for fsuppco 7861. Formula building theorem for finite supports: rearranging the index set. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppcolem.f  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
fsuppcolem.g  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
Assertion
Ref Expression
fsuppcolem  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )

Proof of Theorem fsuppcolem
StepHypRef Expression
1 cnvco 5188 . . . 4  |-  `' ( F  o.  G )  =  ( `' G  o.  `' F )
21imaeq1i 5334 . . 3  |-  ( `' ( F  o.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( ( `' G  o.  `' F ) " ( _V  \  { Z }
) )
3 imaco 5512 . . 3  |-  ( ( `' G  o.  `' F ) " ( _V  \  { Z }
) )  =  ( `' G " ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) ) )
42, 3eqtri 2496 . 2  |-  ( `' ( F  o.  G
) " ( _V 
\  { Z }
) )  =  ( `' G " ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) ) )
5 fsuppcolem.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
6 df-f1 5593 . . . . 5  |-  ( G : X -1-1-> Y  <->  ( G : X --> Y  /\  Fun  `' G ) )
76simprbi 464 . . . 4  |-  ( G : X -1-1-> Y  ->  Fun  `' G )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
9 fsuppcolem.f . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
10 imafi 7813 . . 3  |-  ( ( Fun  `' G  /\  ( `' F " ( _V 
\  { Z }
) )  e.  Fin )  ->  ( `' G " ( `' F "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
118, 9, 10syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( `' G "
( `' F "
( _V  \  { Z } ) ) )  e.  Fin )
124, 11syl5eqel 2559 1  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    \ cdif 3473   {csn 4027   `'ccnv 4998   "cima 5002    o. ccom 5003   Fun wfun 5582   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   Fincfn 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-om 6685  df-1o 7130  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-fin 7520
This theorem is referenced by:  fsuppco  7861  coe1sfiOLD  18052
  Copyright terms: Public domain W3C validator