Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco2 Structured version   Unicode version

Theorem fsuppco2 7869
 Description: The composition of a function which maps the zero to zero with a finitely supported function is finitely supported. This is not only a special case of fsuppcor 7870 because it does not require that the "zero" is an element of the range of the finitely supported function. (Contributed by AV, 6-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco2.z
fsuppco2.f
fsuppco2.g
fsuppco2.a
fsuppco2.b
fsuppco2.n finSupp
fsuppco2.i
Assertion
Ref Expression
fsuppco2 finSupp

Proof of Theorem fsuppco2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsuppco2.g . . . 4
2 ffun 5691 . . . 4
31, 2syl 17 . . 3
4 fsuppco2.f . . . 4
5 ffun 5691 . . . 4
64, 5syl 17 . . 3
7 funco 5582 . . 3
83, 6, 7syl2anc 665 . 2
9 fsuppco2.n . . . 4 finSupp
109fsuppimpd 7843 . . 3 supp
11 fco 5699 . . . . 5
121, 4, 11syl2anc 665 . . . 4
13 eldifi 3530 . . . . . 6 supp
14 fvco3 5902 . . . . . 6
154, 13, 14syl2an 479 . . . . 5 supp
16 ssid 3426 . . . . . . . 8 supp supp
1716a1i 11 . . . . . . 7 supp supp
18 fsuppco2.a . . . . . . 7
19 fsuppco2.z . . . . . . 7
204, 17, 18, 19suppssr 6901 . . . . . 6 supp
2120fveq2d 5829 . . . . 5 supp
22 fsuppco2.i . . . . . 6
2322adantr 466 . . . . 5 supp
2415, 21, 233eqtrd 2466 . . . 4 supp
2512, 24suppss 6900 . . 3 supp supp
26 ssfi 7745 . . 3 supp supp supp supp
2710, 25, 26syl2anc 665 . 2 supp
28 fsuppco2.b . . . . 5
29 fex 6097 . . . . 5
301, 28, 29syl2anc 665 . . . 4
31 fex 6097 . . . . 5
324, 18, 31syl2anc 665 . . . 4
33 coexg 6702 . . . 4
3430, 32, 33syl2anc 665 . . 3
35 isfsupp 7840 . . 3 finSupp supp
3634, 19, 35syl2anc 665 . 2 finSupp supp
378, 27, 36mpbir2and 930 1 finSupp
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3022   cdif 3376   wss 3379   class class class wbr 4366   ccom 4800   wfun 5538  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249   supp csupp 6869  cfn 7524   finSupp cfsupp 7836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-supp 6870  df-er 7318  df-en 7525  df-fin 7528  df-fsupp 7837 This theorem is referenced by:  gsumzinv  17521  gsumsub  17524
 Copyright terms: Public domain W3C validator