MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsuppco Structured version   Unicode version

Theorem fsuppco 7921
Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fsuppco.f  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
fsuppco.g  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
fsuppco.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
fsuppco.v  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
Assertion
Ref Expression
fsuppco  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) finSupp  Z )

Proof of Theorem fsuppco
StepHypRef Expression
1 fsuppco.v . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  V )
2 fsuppco.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : X -1-1-> Y
)
3 df-f1 5606 . . . . . . 7  |-  ( G : X -1-1-> Y  <->  ( G : X --> Y  /\  Fun  `' G ) )
43simprbi 465 . . . . . 6  |-  ( G : X -1-1-> Y  ->  Fun  `' G )
52, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  `' G )
6 cofunex2g 6772 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  V  /\  Fun  `' G )  ->  ( F  o.  G )  e.  _V )
71, 5, 6syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
)  e.  _V )
8 fsuppco.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  W )
9 suppimacnv 6936 . . . 4  |-  ( ( ( F  o.  G
)  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  ( ( F  o.  G ) supp  Z )  =  ( `' ( F  o.  G )
" ( _V  \  { Z } ) ) )
107, 8, 9syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) supp  Z )  =  ( `' ( F  o.  G )
" ( _V  \  { Z } ) ) )
11 suppimacnv 6936 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  V  /\  Z  e.  W )  ->  ( F supp  Z )  =  ( `' F " ( _V  \  { Z } ) ) )
121, 8, 11syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  =  ( `' F " ( _V  \  { Z } ) ) )
13 fsuppco.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F finSupp  Z )
1413fsuppimpd 7896 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F supp  Z )  e.  Fin )
1512, 14eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
1615, 2fsuppcolem 7920 . . 3  |-  ( ph  ->  ( `' ( F  o.  G ) "
( _V  \  { Z } ) )  e. 
Fin )
1710, 16eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
18 fsuppimp 7895 . . . . . 6  |-  ( F finSupp  Z  ->  ( Fun  F  /\  ( F supp  Z )  e.  Fin ) )
1918simpld 460 . . . . 5  |-  ( F finSupp  Z  ->  Fun  F )
2013, 19syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  F )
21 f1fun 5798 . . . . 5  |-  ( G : X -1-1-> Y  ->  Fun  G )
222, 21syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  Fun  G )
23 funco 5639 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
2420, 22, 23syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
25 funisfsupp 7894 . . 3  |-  ( ( Fun  ( F  o.  G )  /\  ( F  o.  G )  e.  _V  /\  Z  e.  W )  ->  (
( F  o.  G
) finSupp  Z  <->  ( ( F  o.  G ) supp  Z
)  e.  Fin )
)
2624, 7, 8, 25syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  G ) finSupp  Z  <->  ( ( F  o.  G ) supp  Z )  e.  Fin )
)
2717, 26mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  ( F  o.  G
) finSupp  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    \ cdif 3439   {csn 4002   class class class wbr 4426   `'ccnv 4853   "cima 4857    o. ccom 4858   Fun wfun 5595   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598  (class class class)co 6305   supp csupp 6925   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-supp 6926  df-1o 7190  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-fin 7581  df-fsupp 7890
This theorem is referenced by:  mapfienlem1  7924  mapfienlem2  7925  coe1sfi  18741
  Copyright terms: Public domain W3C validator