MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumtscopo2 Structured version   Unicode version

Theorem fsumtscopo2 13262
Description: Sum of a telescoping series. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumtscopo.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
fsumtscopo.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
fsumtscopo.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
fsumtscopo.4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
fsumtscopo.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumtscopo.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumtscopo2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  -  B )  =  ( E  -  D ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem fsumtscopo2
StepHypRef Expression
1 fsumtscopo.1 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
21negeqd 9600 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  -u A  =  -u B )
3 fsumtscopo.2 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
43negeqd 9600 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  -u A  =  -u C )
5 fsumtscopo.3 . . . 4  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
65negeqd 9600 . . 3  |-  ( k  =  M  ->  -u A  =  -u D )
7 fsumtscopo.4 . . . 4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
87negeqd 9600 . . 3  |-  ( k  =  N  ->  -u A  =  -u E )
9 fsumtscopo.5 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 fsumtscopo.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1110negcld 9702 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
122, 4, 6, 8, 9, 11fsumtscopo 13261 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) (
-u B  -  -u C
)  =  ( -u D  -  -u E ) )
1310ralrimiva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
14 elfzofz 11563 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
151eleq1d 2507 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
1615rspccva 3069 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
1713, 14, 16syl2an 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
18 fzofzp1 11620 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
193eleq1d 2507 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
2019rspccva 3069 . . . . 5  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
2113, 18, 20syl2an 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
2217, 21neg2subd 9732 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( -u B  -  -u C )  =  ( C  -  B
) )
2322sumeq2dv 13176 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) (
-u B  -  -u C
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  -  B
) )
24 eluzfz1 11454 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
259, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
265eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
2726rspcv 3066 . . . 4  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  D  e.  CC ) )
2825, 13, 27sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
29 eluzfz2 11455 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
309, 29syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
317eleq1d 2507 . . . . 5  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
3231rspcv 3066 . . . 4  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  E  e.  CC ) )
3330, 13, 32sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
3428, 33neg2subd 9732 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u D  -  -u E )  =  ( E  -  D ) )
3512, 23, 343eqtr3d 2481 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  -  B )  =  ( E  -  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   1c1 9279    + caddc 9281    - cmin 9591   -ucneg 9592   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433  ..^cfzo 11544   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  fsumtscop2  13264  dvfsumle  21452  dvfsumabs  21454  advlogexp  22059
  Copyright terms: Public domain W3C validator