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Theorem fsumtscopo 13257
Description: Sum of a telescoping series, using half-open intervals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumtscopo.1  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
fsumtscopo.2  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
fsumtscopo.3  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
fsumtscopo.4  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
fsumtscopo.5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumtscopo.6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumtscopo  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    j, k, M    j, N, k    ph, j, k    D, k   
k, E
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)

Proof of Theorem fsumtscopo
StepHypRef Expression
1 fsumtscopo.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzfz1 11450 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
31, 2syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
4 fsumtscopo.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
54ralrimiva 2794 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
6 fsumtscopo.3 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
76eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
87rspcv 3064 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  D  e.  CC ) )
93, 5, 8sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  D  e.  CC )
1110subidd 9699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  D )  =  0 )
12 sum0 13190 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  0
1311, 12syl6reqr 2489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C )  =  ( D  -  D ) )
14 oveq2 6094 . . . . . 6  |-  ( N  =  M  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
1514adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
16 fzo0 11565 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
1715, 16syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
1817sumeq1d 13170 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  -  C ) )
19 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  (
k  =  M  <->  N  =  M ) )
20 fsumtscopo.4 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
2120eqeq1d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  D  <->  E  =  D ) )
2219, 21imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  (
( k  =  M  ->  A  =  D )  <->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) ) )
2322, 6vtoclg 3025 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  ->  E  =  D ) )
2423imp 429 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
251, 24sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  E  =  D )
2625oveq2d 6102 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( D  -  E )  =  ( D  -  D ) )
2713, 18, 263eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
28 fzofi 11788 . . . . . 6  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
2928a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
30 elfzofz 11559 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  j  e.  ( M ... N ) )
325adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
33 fsumtscopo.1 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
3433eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
3534rspcv 3064 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
3631, 32, 35sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
37 fzofzp1 11616 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )
39 fsumtscopo.2 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
4039eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
4140rspcv 3064 . . . . . 6  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
4238, 32, 41sylc 60 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
4329, 36, 42fsumsub 13247 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4443adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C ) )
4533cbvsumv 13165 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B
46 eluzel2 10858 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
471, 46syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
48 eluzp1m1 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4947, 48sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
50 eluzelz 10862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
511, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
53 fzoval 11546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
55 fzossfz 11562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M..^ N )  C_  ( M ... N )
5654, 55syl6eqssr 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M ... ( N  -  1 ) )  C_  ( M ... N ) )
5756sselda 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
584adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  A  e.  CC )
5957, 58syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
6049, 59, 6fsum1p 13214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6154sumeq1d 13170 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A )
62 fzoval 11546 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6352, 62syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
6463sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
6564oveq2d 6102 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A ) )
6660, 61, 653eqtr4d 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) A  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
6745, 66syl5eqr 2484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
68 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
69 fzp1ss 11498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
7047, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 ) ... N
)  C_  ( M ... N ) )
7170sselda 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
7271, 4syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7372adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  A  e.  CC )
7468, 73, 20fsumm1 13212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
75 1zzd 10669 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
7647peano2zd 10742 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
7775, 76, 51, 72, 39fsumshftm 13240 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) C )
7847zcnd 10740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
79 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
80 pncan 9608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8178, 79, 80sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
8281oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M ... ( N  - 
1 ) ) )
8351, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1
) ) )
8482, 83eqtr4d 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) )  =  ( M..^ N ) )
8584sumeq1d 13170 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) C  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8677, 85eqtrd 2470 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... N ) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8786adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) A  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )
8851, 62syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8988sumeq1d 13170 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  =  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A )
9089oveq1d 6101 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E ) )
91 fzofi 11788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( M  + 
1 )..^ N )  e.  Fin )
93 elfzofz 11559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N
)  ->  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )
9493, 72sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  A  e.  CC )
9592, 94fsumcl 13202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  e.  CC )
96 eluzfz2 11451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
971, 96syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
9820eleq1d 2504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
9998rspcv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  E  e.  CC ) )
10097, 5, 99sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
10195, 100addcomd 9563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10290, 101eqtr3d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
103102adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) A  +  E )  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10474, 87, 1033eqtr3d 2478 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C  =  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )
10567, 104oveq12d 6104 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) ) )
1069, 100, 95pnpcan2d 9749 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E ) )
107106adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A )  -  ( E  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) A ) )  =  ( D  -  E
) )
108105, 107eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) B  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) C )  =  ( D  -  E ) )
10944, 108eqtrd 2470 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C
)  =  ( D  -  E ) )
110 uzp1 10886 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1111, 110syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
11227, 109, 111mpjaodan 784 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  -  C )  =  ( D  -  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710    C_ wss 3323   (/)c0 3632   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    - cmin 9587   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   sum_csu 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156
This theorem is referenced by:  fsumtscopo2  13258  fsumtscop  13259  geoserg  13320  dchrisumlem2  22719  stirlinglem12  29851
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