MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsub Structured version   Unicode version

Theorem fsumsub 13276
Description: Split a finite sum over a subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumneg.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumneg.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsub.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsub  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  -  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  -  sum_ k  e.  A  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumsub
StepHypRef Expression
1 fsumneg.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumneg.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3 fsumsub.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43negcld 9727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
51, 2, 4fsumadd 13236 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  -u C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  -u C ) )
61, 3fsumneg 13275 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  -u C  =  -u sum_ k  e.  A  C )
76oveq2d 6128 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  sum_ k  e.  A  -u C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  -u sum_ k  e.  A  C )
)
85, 7eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  -u C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  +  -u sum_ k  e.  A  C ) )
92, 3negsubd 9746 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  +  -u C )  =  ( B  -  C ) )
109sumeq2dv 13201 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  +  -u C
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  -  C ) )
111, 2fsumcl 13231 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
121, 3fsumcl 13231 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  CC )
1311, 12negsubd 9746 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  +  -u sum_ k  e.  A  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  -  sum_ k  e.  A  C
) )
148, 10, 133eqtr3d 2483 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  -  C
)  =  ( sum_ k  e.  A  B  -  sum_ k  e.  A  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   CCcc 9301    + caddc 9306    - cmin 9616   -ucneg 9617   sum_csu 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-rp 11013  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-sum 13185
This theorem is referenced by:  fsumle  13283  fsumlt  13284  fsumtscopo  13286  fsumparts  13290  mertens  13367  3dvds  13617  pcfac  13982  pcbc  13983  ramcl  14111  ovolicc2lem4  21025  dvfsumabs  21517  coeeulem  21714  birthdaylem2  22368  emcllem5  22415  chpub  22581  logfaclbnd  22583  lgsquadlem1  22715  vmadivsum  22753  rpvmasumlem  22758  dchrmusum2  22765  dchrvmasumiflem2  22773  rpvmasum2  22783  dchrisum0lem2a  22788  dchrisum0lem2  22789  rplogsum  22798  mulogsumlem  22802  mulogsum  22803  mulog2sumlem1  22805  mulog2sumlem2  22806  mulog2sumlem3  22807  vmalogdivsum2  22809  vmalogdivsum  22810  2vmadivsumlem  22811  logsqvma  22813  selberglem1  22816  selberg3lem1  22828  selberg4lem1  22831  pntrsumo1  22836  selbergr  22839  selberg3r  22840  selberg4r  22841  selberg34r  22842  pntrlog2bndlem4  22851  pntrlog2bndlem5  22852  pntlemo  22878  ax5seglem9  23205  lgamcvg2  27063  bpolydiflem  28219
  Copyright terms: Public domain W3C validator