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Theorem fsumss 13513
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
fsumss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fsumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumss
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumss.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  A  C_  B
)
3 sumss.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  (/) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 sumss.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
65adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  (/) )  /\  k  e.  ( B  \  A
) )  ->  C  =  0 )
7 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
8 0ss 3814 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( ZZ>=
`  0 )
97, 8syl6eqss 3554 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
102, 4, 6, 9sumss 13512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
1110ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
12 cnvimass 5357 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
13 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B )
14 f1of 5816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) --> B )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B )
16 fdm 5735 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  ->  dom  f  =  (
1 ... ( # `  B
) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
1812, 17syl5sseq 3552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
19 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  -> 
f  Fn  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f  Fn  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
21 elpreima 6002 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( # `  B
) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  <-> 
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  <-> 
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
2315ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
2423ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
2524adantrd 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2622, 25sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2726imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
283ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
30 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
31 0cn 9589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
325, 31syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
3330, 32sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3433expr 615 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
3529, 34pm2.61d 158 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
3735, 36fmptd 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
3938ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  B )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e.  CC )
4027, 39syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e.  CC )
41 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
4241, 23sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
43 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A
) )
4522adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  /\  ( f `  n )  e.  A
) ) )
4641adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
4746biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( f `  n )  e.  A  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  /\  (
f `  n )  e.  A ) ) )
4845, 47bitr4d 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
4944, 48mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  -.  ( f `  n
)  e.  A )
5042, 49eldifd 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  ( B 
\  A ) )
51 difss 3631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
52 resmpt 5323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
5453fveq1i 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
55 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
5654, 55syl5eqr 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
58 c0ex 9591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
5958elsnc2 4058 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 0 }  <-> 
C  =  0 )
605, 59sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 0 } )
61 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  |->  C )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C )
6260, 61fmptd 6046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6463, 50ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  {
0 } )
65 elsni 4052 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 0 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  0 )
6757, 66eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  0 )
68 fzssuz 11725 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
1 ... ( # `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
7018, 40, 67, 69sumss 13512 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
711ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  A  C_  B )
72 resmpt 5323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
7473fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
75 fvres 5880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
7774, 76eqtr3d 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) )
7877sumeq2dv 13491 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
79 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
80 fzfid 12052 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
1 ... ( # `  B
) )  e.  Fin )
81 ssfi 7741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
8280, 18, 81syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  ( `' f " A
)  e.  Fin )
83 f1of1 5815 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) )
-1-1-> B )
8413, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-> B )
85 f1ores 5830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
8684, 18, 85syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f  |`  ( `' f
" A ) ) : ( `' f
" A ) -1-1-onto-> ( f
" ( `' f
" A ) ) )
87 f1ofo 5823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) )
-onto-> B )
8813, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -onto-> B )
891adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
90 foimacnv 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
9188, 89, 90syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f " ( `' f " A ) )  =  A )
92 f1oeq3 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( `' f " A ) )  =  A  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
9486, 93mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f  |`  ( `' f
" A ) ) : ( `' f
" A ) -1-1-onto-> A )
95 fvres 5880 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
9695adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( ( f  |`  ( `' f " A ) ) `  n )  =  ( f `  n ) )
9789sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
9838ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9997, 98syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
10079, 82, 94, 96, 99fsumf1o 13511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( `' f " A
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
10178, 100eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( `' f " A
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
102 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  =  ( f `
 n ) )
10379, 80, 13, 102, 98fsumf1o 13511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
10470, 101, 1033eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 sumfc 13497 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
106 sumfc 13497 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
107104, 105, 1063eqtr3g 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
108107expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
109108exlimdv 1700 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
110109expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
111 fsumss.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
112 fz1f1o 13498 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( # `  B )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
113111, 112syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( # `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
11411, 110, 113mpjaod 381 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    \ cdif 3473    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999    |` cres 5001   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -onto->wfo 5586   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   Fincfn 7517   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494   NNcn 10537   ZZ>=cuz 11083   ...cfz 11673   #chash 12374   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  sumss2  13514  rrxmval  21659  rrxmetlem  21661  itg1val2  21918  itg1addlem4  21933  itg1addlem5  21934  ply1termlem  22427  plyaddlem1  22437  plymullem1  22438  coeeulem  22448  coeidlem  22461  coeid3  22464  coefv0  22471  coemulhi  22477  coemulc  22478  dvply1  22506  vieta1lem2  22533  dvtaylp  22591  pserdvlem2  22649  basellem3  23181  musum  23292  muinv  23294  fsumvma  23313  chpub  23320  logexprlim  23325  dchrsum  23369  chebbnd1lem1  23479  rpvmasumlem  23497  dchrisum0fno1  23521  rplogsum  23537  indsum  27787  eulerpartlemgs2  28070  flcidc  30955
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