Theorem fsumss 13321

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
fsumss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumss

Dummy variables f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> A C_ B )
3		sumss.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
4	3	adantlr 714	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = (/) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
5		sumss.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
6	5	adantlr 714	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = (/) ) /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
7		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B = (/) )
8		0ss 3775	. . . . 5 |- (/) C_ ( ZZ>= ` 0 )
9	7, 8	syl6eqss 3515	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
10	2, 4, 6, 9	sumss 13320	. . 3 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
11	10	ex 434	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
12		cnvimass 5298	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
13		simprr 756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B )
14		f1of 5750	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
16		fdm 5672	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
18	12, 17	syl5sseq 3513	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
19		ffn 5668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
20	15, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
21		elpreima 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
23	15	ffvelrnda 5953	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
24	23	ex 434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
25	24	adantrd 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
26	22, 25	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
27	26	imp 429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
28	3	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
29	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
30		eldif 3447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
31		0cn 9490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
32	5, 31	syl6eqel 2550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
33	30, 32	sylan2br 476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
34	33	expr 615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
35	29, 34	pm2.61d 158	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
36		eqid 2454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
37	35, 36	fmptd 5977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
39	38	ffvelrnda 5953	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
40	27, 39	syldan 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
41		eldifi 3587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
42	41, 23	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
43		eldifn 3588	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
44	43	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
45	22	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
46	41	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
47	46	biantrurd 508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
48	45, 47	bitr4d 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
49	44, 48	mtbid 300	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
50	42, 49	eldifd 3448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
51		difss 3592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
52		resmpt 5265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
53	51, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
54	53	fveq1i 5801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
55		fvres 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
56	54, 55	syl5eqr 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
57	50, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
58		c0ex 9492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
59	58	elsnc2 4017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 0 } <-> C = 0 )
60	5, 59	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 0 } )
61		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( B \ A ) |-> C ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
62	60, 61	fmptd 5977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
63	62	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
64	63, 50	ffvelrnd 5954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } )
65		elsni 4011	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
67	57, 66	eqtr3d 2497	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
68		fzssuz 11617	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
69	68	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
70	18, 40, 67, 69	sumss 13320	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
71	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> A C_ B )
72		resmpt 5265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
74	73	fveq1d 5802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
75		fvres 5814	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
76	75	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
77	74, 76	eqtr3d 2497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
78	77	sumeq2dv 13299	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
79		fveq2 5800	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
80		fzfid 11913	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
81		ssfi 7645	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
82	80, 18, 81	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
83		f1of1 5749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
84	13, 83	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
85		f1ores 5764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
86	84, 18, 85	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
87		f1ofo 5757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
88	13, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
89	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
90		foimacnv 5767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
91	88, 89, 90	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
92		f1oeq3 5743	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
94	86, 93	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
95		fvres 5814	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
96	95	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
97	89	sselda 3465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
98	38	ffvelrnda 5953	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
99	97, 98	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
100	79, 82, 94, 96, 99	fsumf1o 13319	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
102		eqidd 2455	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
103	79, 80, 13, 102, 98	fsumf1o 13319	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
104	70, 101, 103	3eqtr4d 2505	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		sumfc 13305	. . . . . 6 |- sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C
106		sumfc 13305	. . . . . 6 |- sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C
107	104, 105, 106	3eqtr3g 2518	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
108	107	expr 615	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
109	108	exlimdv 1691	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
110	109	expimpd 603	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
111		fsumss.4	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
112		fz1f1o 13306	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
113	111, 112	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
114	11, 110, 113	mpjaod 381	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   \ cdif 3434   C_ wss 3437   (/)c0 3746   {csn 3986   |-> cmpt 4459   `'ccnv 4948   dom cdm 4949   |` cres 4951   "cima 4952   Fn wfn 5522   -->wf 5523   -1-1->wf1 5524   -onto->wfo 5525   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395   NNcn 10434   ZZ>=cuz 10973   ...cfz 11555   #chash 12221   sum_csu 13282

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283

This theorem is referenced by:  sumss2  13322  rrxmval  21037  rrxmetlem  21039  itg1val2  21296  itg1addlem4  21311  itg1addlem5  21312  ply1termlem  21805  plyaddlem1  21815  plymullem1  21816  coeeulem  21826  coeidlem  21839  coeid3  21842  coefv0  21849  coemulhi  21855  coemulc  21856  dvply1  21884  vieta1lem2  21911  dvtaylp  21969  pserdvlem2  22027  basellem3  22554  musum  22665  muinv  22667  fsumvma  22686  chpub  22693  logexprlim  22698  dchrsum  22742  chebbnd1lem1  22852  rpvmasumlem  22870  dchrisum0fno1  22894  rplogsum  22910  indsum  26625  eulerpartlemgs2  26908  flcidc  29680