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Theorem fsumss 12474
Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sumss.1  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
sumss.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
sumss.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
fsumss.4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fsumss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumss
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumss.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  B )
21adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  A  C_  B
)
3 sumss.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
43adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  (/) )  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5 sumss.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  = 
0 )
65adantlr 696 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  B  =  (/) )  /\  k  e.  ( B  \  A
) )  ->  C  =  0 )
7 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  =  (/) )
8 0ss 3616 . . . . 5  |-  (/)  C_  ( ZZ>=
`  0 )
97, 8syl6eqss 3358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  B  C_  ( ZZ>=
`  0 ) )
102, 4, 6, 9sumss 12473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
1110ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
12 cnvimass 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( `' f " A ) 
C_  dom  f
13 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B )
14 f1of 5633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) ) --> B )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B )
16 fdm 5554 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  ->  dom  f  =  (
1 ... ( # `  B
) ) )
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  dom  f  =  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
1812, 17syl5sseq 3356 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
19 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) --> B  -> 
f  Fn  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
2015, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f  Fn  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
21 elpreima 5809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( 1 ... ( # `  B
) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  <-> 
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  <-> 
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A ) ) )
2315ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
2423ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  ->  (
f `  n )  e.  B ) )
2524adantrd 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
( n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2622, 25sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
n  e.  ( `' f " A )  ->  ( f `  n )  e.  B
) )
2726imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( f `  n )  e.  B
)
283ex 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
2928adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
k  e.  A  ->  C  e.  CC )
)
30 eldif 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  <->  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )
31 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  CC
325, 31syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  CC )
3330, 32sylan2br 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  B  /\  -.  k  e.  A ) )  ->  C  e.  CC )
3433expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( -.  k  e.  A  ->  C  e.  CC ) )
3529, 34pm2.61d 152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
36 eqid 2404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  B  |->  C )  =  ( k  e.  B  |->  C )
3735, 36fmptd 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
3837adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
k  e.  B  |->  C ) : B --> CC )
3938ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  ( f `  n
)  e.  B )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e.  CC )
4027, 39syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) )  e.  CC )
41 eldifi 3429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) ) )
4241, 23sylan2 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  B )
43 eldifn 3430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A ) )
4443adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  -.  n  e.  ( `' f " A
) )
4522adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( # `
 B ) )  /\  ( f `  n )  e.  A
) ) )
4641adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )
4746biantrurd 495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( f `  n )  e.  A  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) )  /\  (
f `  n )  e.  A ) ) )
4845, 47bitr4d 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( n  e.  ( `' f " A
)  <->  ( f `  n )  e.  A
) )
4944, 48mtbid 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  ->  -.  ( f `  n
)  e.  A )
5042, 49eldifd 3291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  ( B 
\  A ) )
51 difss 3434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B 
\  A )  C_  B
52 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  \  A ) 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) )
5351, 52ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) )  =  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C )
5453fveq1i 5688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )
55 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  ( B  \  A ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
5654, 55syl5eqr 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  ( B  \  A )  ->  (
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
5750, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
58 c0ex 9041 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  _V
5958elsnc2 3803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  { 0 }  <-> 
C  =  0 )
605, 59sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  e.  { 0 } )
61 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( B  \  A )  |->  C )  =  ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C )
6260, 61fmptd 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6362ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) : ( B  \  A ) --> { 0 } )
6463, 50ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  e.  {
0 } )
65 elsni 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  ( B  \  A ) 
|->  C ) `  (
f `  n )
)  e.  { 0 }  ->  ( (
k  e.  ( B 
\  A )  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  0 )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  ( B  \  A
)  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  0 )
6757, 66eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( (
1 ... ( # `  B
) )  \  ( `' f " A
) ) )  -> 
( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `  n
) )  =  0 )
68 fzssuz 11049 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ... ( # `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
1 ... ( # `  B
) )  C_  ( ZZ>=
`  1 ) )
7018, 40, 67, 69sumss 12473 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ n  e.  ( `' f " A ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
711ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  A  C_  B )
72 resmpt 5150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  B  ->  (
( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A )  =  ( k  e.  A  |->  C ) )
7473fveq1d 5689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m ) )
75 fvres 5704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  A  ->  (
( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
7675adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( ( k  e.  B  |->  C )  |`  A ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
7774, 76eqtr3d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m
) )
7877sumeq2dv 12452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
79 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  B  |->  C ) `  m
)  =  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  ( f `
 n ) ) )
80 fzfid 11267 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
1 ... ( # `  B
) )  e.  Fin )
81 ssfi 7288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( # `
 B ) )  e.  Fin  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( `' f " A )  e.  Fin )
8280, 18, 81syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  ( `' f " A
)  e.  Fin )
83 f1of1 5632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) )
-1-1-> B )
8413, 83syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-> B )
85 f1ores 5648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-> B  /\  ( `' f " A
)  C_  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) ) )
8684, 18, 85syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f  |`  ( `' f
" A ) ) : ( `' f
" A ) -1-1-onto-> ( f
" ( `' f
" A ) ) )
87 f1ofo 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  f :
( 1 ... ( # `
 B ) )
-onto-> B )
8813, 87syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -onto-> B )
891adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  A  C_  B )
90 foimacnv 5651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -onto-> B  /\  A  C_  B )  -> 
( f " ( `' f " A
) )  =  A )
9188, 89, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f " ( `' f " A ) )  =  A )
92 f1oeq3 5626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f " ( `' f " A ) )  =  A  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
9391, 92syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
( f  |`  ( `' f " A
) ) : ( `' f " A
)
-1-1-onto-> ( f " ( `' f " A
) )  <->  ( f  |`  ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
9486, 93mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  (
f  |`  ( `' f
" A ) ) : ( `' f
" A ) -1-1-onto-> A )
95 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( `' f
" A )  -> 
( ( f  |`  ( `' f " A
) ) `  n
)  =  ( f `
 n ) )
9695adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( `' f " A ) )  ->  ( ( f  |`  ( `' f " A ) ) `  n )  =  ( f `  n ) )
9789sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  m  e.  B )
9838ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
9997, 98syldan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m )  e.  CC )
10079, 82, 94, 96, 99fsumf1o 12472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( `' f " A
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
10178, 100eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( `' f " A
) ( ( k  e.  B  |->  C ) `
 ( f `  n ) ) )
102 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  B
) ) )  -> 
( f `  n
)  =  ( f `
 n ) )
10379, 80, 13, 102, 98fsumf1o 12472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  B ) ) ( ( k  e.  B  |->  C ) `  (
f `  n )
) )
10470, 101, 1033eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ m  e.  B  ( ( k  e.  B  |->  C ) `  m ) )
105 sumfc 12458 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  C
106 sumfc 12458 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  B  ( (
k  e.  B  |->  C ) `  m )  =  sum_ k  e.  B  C
107104, 105, 1063eqtr3g 2459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 B )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B ) )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
108107expr 599 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  B
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C ) )
109108exlimdv 1643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  B
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  B
) ) -1-1-onto-> B  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
110109expimpd 587 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  B )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 B ) ) -1-1-onto-> B )  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C
) )
111 fsumss.4 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
112 fz1f1o 12459 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( B  =  (/)  \/  (
( # `  B )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
113111, 112syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  =  (/)  \/  ( ( # `  B
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
11411, 110, 113mpjaod 371 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721    \ cdif 3277    C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774    e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    |` cres 4839   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   #chash 11573   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  sumss2  12475  itg1val2  19529  itg1addlem4  19544  itg1addlem5  19545  ply1termlem  20075  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coeidlem  20109  coeid3  20112  coefv0  20119  coemulhi  20125  coemulc  20126  dvply1  20154  vieta1lem2  20181  dvtaylp  20239  pserdvlem2  20297  basellem3  20818  musum  20929  muinv  20931  fsumvma  20950  chpub  20957  logexprlim  20962  dchrsum  21006  chebbnd1lem1  21116  rpvmasumlem  21134  dchrisum0fno1  21158  rplogsum  21174  indsum  24373  flcidc  27247
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
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