Theorem fsumss 12474

Description: Change the index set to a subset in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
fsumss.4	|- ( ph -> B e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
fsumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem fsumss

Dummy variables f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumss.1	. . . . 5 |- ( ph -> A C_ B )
2	1	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> A C_ B )
3		sumss.2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
4	3	adantlr 696	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = (/) ) /\ k e. A ) -> C e. CC )
5		sumss.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
6	5	adantlr 696	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ B = (/) ) /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
7		simpr 448	. . . . 5 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B = (/) )
8		0ss 3616	. . . . 5 |- (/) C_ ( ZZ>= ` 0 )
9	7, 8	syl6eqss 3358	. . . 4 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> B C_ ( ZZ>= ` 0 ) )
10	2, 4, 6, 9	sumss 12473	. . 3 |- ( ( ph /\ B = (/) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
11	10	ex 424	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
12		cnvimass 5183	. . . . . . . . 9 |- ( `' f " A ) C_ dom f
13		simprr 734	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B )
14		f1of 5633	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B )
16		fdm 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
17	15, 16	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> dom f = ( 1 ... ( # ` B ) ) )
18	12, 17	syl5sseq 3356	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) )
19		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) --> B -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
20	15, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) )
21		elpreima 5809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f Fn ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
23	15	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
24	23	ex 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) -> ( f ` n ) e. B ) )
25	24	adantrd 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
26	22, 25	sylbid 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) -> ( f ` n ) e. B ) )
27	26	imp 419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( f ` n ) e. B )
28	3	ex 424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
29	28	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
30		eldif 3290	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
31		0cn 9040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. CC
32	5, 31	syl6eqel 2492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
33	30, 32	sylan2br 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
34	33	expr 599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
35	29, 34	pm2.61d 152	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
36		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
37	35, 36	fmptd 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
38	37	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
39	38	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ ( f ` n ) e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
40	27, 39	syldan 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. CC )
41		eldifi 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
42	41, 23	sylan2 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. B )
43		eldifn 3430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
44	43	adantl 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. n e. ( `' f " A ) )
45	22	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
46	41	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) )
47	46	biantrurd 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( f ` n ) e. A <-> ( n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) /\ ( f ` n ) e. A ) ) )
48	45, 47	bitr4d 248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( n e. ( `' f " A ) <-> ( f ` n ) e. A ) )
49	44, 48	mtbid 292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> -. ( f ` n ) e. A )
50	42, 49	eldifd 3291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` n ) e. ( B \ A ) )
51		difss 3434	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B \ A ) C_ B
52		resmpt 5150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B \ A ) C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C ) )
53	51, 52	ax-mp 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
54	53	fveq1i 5688	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) )
55		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` ( B \ A ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
56	54, 55	syl5eqr 2450	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. ( B \ A ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
57	50, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
58		c0ex 9041	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. _V
59	58	elsnc2 3803	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( C e. { 0 } <-> C = 0 )
60	5, 59	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. { 0 } )
61		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( B \ A ) |-> C ) = ( k e. ( B \ A ) |-> C )
62	60, 61	fmptd 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
63	62	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( k e. ( B \ A ) |-> C ) : ( B \ A ) --> { 0 } )
64	63, 50	ffvelrnd 5830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } )
65		elsni 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) e. { 0 } -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
66	64, 65	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. ( B \ A ) |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
67	57, 66	eqtr3d 2438	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( ( 1 ... ( # ` B ) ) \ ( `' f " A ) ) ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = 0 )
68		fzssuz 11049	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
69	68	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) C_ ( ZZ>= ` 1 ) )
70	18, 40, 67, 69	sumss 12473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
71	1	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> A C_ B )
72		resmpt 5150	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ B -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
73	71, 72	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) |` A ) = ( k e. A |-> C ) )
74	73	fveq1d 5689	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
75		fvres 5704	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. A -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
76	75	adantl 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( ( k e. B |-> C ) |` A ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
77	74, 76	eqtr3d 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
78	77	sumeq2dv 12452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
79		fveq2 5687	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
80		fzfid 11267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin )
81		ssfi 7288	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1 ... ( # ` B ) ) e. Fin /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
82	80, 18, 81	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( `' f " A ) e. Fin )
83		f1of1 5632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
84	13, 83	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B )
85		f1ores 5648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-> B /\ ( `' f " A ) C_ ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
86	84, 18, 85	syl2anc 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) )
87		f1ofo 5640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
88	13, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B )
89	1	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> A C_ B )
90		foimacnv 5651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -onto-> B /\ A C_ B ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
91	88, 89, 90	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f " ( `' f " A ) ) = A )
92		f1oeq3 5626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f " ( `' f " A ) ) = A -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> ( f " ( `' f " A ) ) <-> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A ) )
94	86, 93	mpbid 202	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
95		fvres 5704	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
96	95	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` n ) = ( f ` n ) )
97	89	sselda 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> m e. B )
98	38	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
99	97, 98	syldan 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
100	79, 82, 94, 96, 99	fsumf1o 12472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
101	78, 100	eqtrd 2436	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( `' f " A ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
102		eqidd 2405	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ) -> ( f ` n ) = ( f ` n ) )
103	79, 80, 13, 102, 98	fsumf1o 12472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ n e. ( 1 ... ( # ` B ) ) ( ( k e. B |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
104	70, 101, 103	3eqtr4d 2446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
105		sumfc 12458	. . . . . 6 |- sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C
106		sumfc 12458	. . . . . 6 |- sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C
107	104, 105, 106	3eqtr3g 2459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` B ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
108	107	expr 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
109	108	exlimdv 1643	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` B ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
110	109	expimpd 587	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C ) )
111		fsumss.4	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
112		fz1f1o 12459	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
113	111, 112	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( B = (/) \/ ( ( # ` B ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` B ) ) -1-1-onto-> B ) ) )
114	11, 110, 113	mpjaod 371	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   E.wex 1547   = wceq 1649   e. wcel 1721   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   e. cmpt 4226   `'ccnv 4836   dom cdm 4837   |` cres 4839   "cima 4840   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   NNcn 9956   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999   #chash 11573   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  sumss2  12475  itg1val2  19529  itg1addlem4  19544  itg1addlem5  19545  ply1termlem  20075  plyaddlem1  20085  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coeidlem  20109  coeid3  20112  coefv0  20119  coemulhi  20125  coemulc  20126  dvply1  20154  vieta1lem2  20181  dvtaylp  20239  pserdvlem2  20297  basellem3  20818  musum  20929  muinv  20931  fsumvma  20950  chpub  20957  logexprlim  20962  dchrsum  21006  chebbnd1lem1  21116  rpvmasumlem  21134  dchrisum0fno1  21158  rplogsum  21174  indsum  24373  flcidc  27247

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435