Theorem fsumsplitsndif 30379

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	|- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, X

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4104	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> -. X e. ( A \ { X } ) )
2		disjsn 4037	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { X } ) i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. ( A \ { X } ) )
3	1, 2	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( ( A \ { X } ) i^i { X } ) = (/) )
4		uncom 3601	. . . . 5 |- ( ( A \ { X } ) u. { X } ) = ( { X } u. ( A \ { X } ) )
5		simp2 989	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> X e. A )
6	5	snssd 4119	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> { X } C_ A )
7		undif 3860	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( { X } u. ( A \ { X } ) ) = A )
8	6, 7	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( { X } u. ( A \ { X } ) ) = A )
9	4, 8	syl5req 2505	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> A = ( ( A \ { X } ) u. { X } ) )
10		simp1 988	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> A e. Fin )
11		rspcsbela 3806	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
12	11	zcnd 10852	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
13	12	expcom 435	. . . . . 6 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( x e. A -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
14	13	3ad2ant3 1011	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( x e. A -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
15	14	imp 429	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 13327	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ x e. A [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B ) )
17		nfcv 2613	. . . 4 |- F/_ x B
18		nfcsb1v 3405	. . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
19		csbeq1a 3398	. . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
20	17, 18, 19	cbvsumi 13285	. . 3 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
21	17, 18, 19	cbvsumi 13285	. . . 4 |- sum_ k e. ( A \ { X } ) B = sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B
22	17, 18, 19	cbvsumi 13285	. . . 4 |- sum_ k e. { X } B = sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B
23	21, 22	oveq12i 6205	. . 3 |- ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) = ( sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B )
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2517	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) )
25		rspcsbela 3806	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. ZZ )
26	25	zcnd 10852	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. CC )
27	26	3adant1 1006	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. CC )
28		sumsns 13330	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ [_ X / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { X } B = [_ X / k ]_ B )
29	5, 27, 28	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. { X } B = [_ X / k ]_ B )
30	29	oveq2d 6209	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )
31	24, 30	eqtrd 2492	1 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   [_csb 3389   \ cdif 3426   u. cun 3427   i^i cin 3428   C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   CCcc 9384   + caddc 9389   ZZcz 10750   sum_csu 13274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275

This theorem is referenced by: (None)