Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplitsndif Structured version   Unicode version

Theorem fsumsplitsndif 30379
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsndif  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, X
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumsplitsndif
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neldifsnd 4104 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  -.  X  e.  ( A  \  { X } ) )
2 disjsn 4037 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { X } )  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  ( A  \  { X } ) )
31, 2sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  \  { X } )  i^i  { X } )  =  (/) )
4 uncom 3601 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ( A  \  { X } ) )
5 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  X  e.  A )
65snssd 4119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  { X }  C_  A )
7 undif 3860 . . . . . 6  |-  ( { X }  C_  A  <->  ( { X }  u.  ( A  \  { X } ) )  =  A )
86, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( { X }  u.  ( A  \  { X }
) )  =  A )
94, 8syl5req 2505 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  A  =  ( ( A 
\  { X }
)  u.  { X } ) )
10 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
11 rspcsbela 3806 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
1211zcnd 10852 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
1312expcom 435 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( x  e.  A  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC ) )
14133ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  A  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1514imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
163, 9, 10, 15fsumsplit 13327 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ x  e.  A  [_ x  / 
k ]_ B  =  (
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ B  +  sum_ x  e.  { X } [_ x  /  k ]_ B
) )
17 nfcv 2613 . . . 4  |-  F/_ x B
18 nfcsb1v 3405 . . . 4  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
19 csbeq1a 3398 . . . 4  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
2017, 18, 19cbvsumi 13285 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ x  e.  A  [_ x  /  k ]_ B
2117, 18, 19cbvsumi 13285 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  = 
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ B
2217, 18, 19cbvsumi 13285 . . . 4  |-  sum_ k  e.  { X } B  =  sum_ x  e.  { X } [_ x  / 
k ]_ B
2321, 22oveq12i 6205 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  sum_ k  e.  { X } B
)  =  ( sum_ x  e.  ( A  \  { X } ) [_ x  /  k ]_ B  +  sum_ x  e.  { X } [_ x  / 
k ]_ B )
2416, 20, 233eqtr4g 2517 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  sum_ k  e.  { X } B ) )
25 rspcsbela 3806 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  ZZ )
2625zcnd 10852 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )
27263adant1 1006 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )
28 sumsns 13330 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { X } B  =  [_ X  /  k ]_ B
)
295, 27, 28syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  { X } B  =  [_ X  /  k ]_ B )
3029oveq2d 6209 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( A 
\  { X }
) B  +  sum_ k  e.  { X } B )  =  (
sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
3124, 30eqtrd 2492 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   [_csb 3389    \ cdif 3426    u. cun 3427    i^i cin 3428    C_ wss 3429   (/)c0 3738   {csn 3978  (class class class)co 6193   Fincfn 7413   CCcc 9384    + caddc 9389   ZZcz 10750   sum_csu 13274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator