Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplitsndif Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsumsplitsndif 39190
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsndif  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, X
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumsplitsndif
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neldifsnd 4069 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  -.  X  e.  ( A  \  { X } ) )
2 disjsn 4000 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { X } )  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  ( A  \  { X } ) )
31, 2sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  \  { X } )  i^i  { X } )  =  (/) )
4 uncom 3546 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ( A  \  { X } ) )
5 simp2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  X  e.  A )
65snssd 4086 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  { X }  C_  A )
7 undif 3816 . . . . . 6  |-  ( { X }  C_  A  <->  ( { X }  u.  ( A  \  { X } ) )  =  A )
86, 7sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( { X }  u.  ( A  \  { X }
) )  =  A )
94, 8syl5req 2499 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  A  =  ( ( A 
\  { X }
)  u.  { X } ) )
10 simp1 1009 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
11 rspcsbela 3763 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
1211zcnd 11031 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
1312expcom 441 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( x  e.  A  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC ) )
14133ad2ant3 1032 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  A  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1514imp 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
163, 9, 10, 15fsumsplit 13817 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ x  e.  A  [_ x  / 
k ]_ B  =  (
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ B  +  sum_ x  e.  { X } [_ x  /  k ]_ B
) )
17 nfcv 2593 . . . 4  |-  F/_ x B
18 nfcsb1v 3347 . . . 4  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
19 csbeq1a 3340 . . . 4  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
2017, 18, 19cbvsumi 13774 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ x  e.  A  [_ x  /  k ]_ B
2117, 18, 19cbvsumi 13774 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  = 
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ B
2217, 18, 19cbvsumi 13774 . . . 4  |-  sum_ k  e.  { X } B  =  sum_ x  e.  { X } [_ x  / 
k ]_ B
2321, 22oveq12i 6288 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  sum_ k  e.  { X } B
)  =  ( sum_ x  e.  ( A  \  { X } ) [_ x  /  k ]_ B  +  sum_ x  e.  { X } [_ x  / 
k ]_ B )
2416, 20, 233eqtr4g 2511 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  sum_ k  e.  { X } B ) )
25 rspcsbela 3763 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  ZZ )
2625zcnd 11031 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )
27263adant1 1027 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )
28 sumsns 13822 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { X } B  =  [_ X  /  k ]_ B
)
295, 27, 28syl2anc 671 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  { X } B  =  [_ X  /  k ]_ B )
3029oveq2d 6292 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( A 
\  { X }
) B  +  sum_ k  e.  { X } B )  =  (
sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
3124, 30eqtrd 2486 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 986    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   [_csb 3331    \ cdif 3369    u. cun 3370    i^i cin 3371    C_ wss 3372   (/)c0 3699   {csn 3936  (class class class)co 6276   Fincfn 7556   CCcc 9524    + caddc 9529   ZZcz 10927   sum_csu 13763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7943  df-oi 8012  df-card 8360  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-rp 11293  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-sum 13764
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator