Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplitsndif Structured version   Unicode version

Theorem fsumsplitsndif 32718
Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsndif  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, X
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumsplitsndif
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neldifsnd 4144 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  -.  X  e.  ( A  \  { X } ) )
2 disjsn 4076 . . . . 5  |-  ( ( ( A  \  { X } )  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  ( A  \  { X } ) )
31, 2sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
( A  \  { X } )  i^i  { X } )  =  (/) )
4 uncom 3634 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { X } )  u.  { X } )  =  ( { X }  u.  ( A  \  { X } ) )
5 simp2 995 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  X  e.  A )
65snssd 4161 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  { X }  C_  A )
7 undif 3896 . . . . . 6  |-  ( { X }  C_  A  <->  ( { X }  u.  ( A  \  { X } ) )  =  A )
86, 7sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( { X }  u.  ( A  \  { X }
) )  =  A )
94, 8syl5req 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  A  =  ( ( A 
\  { X }
)  u.  { X } ) )
10 simp1 994 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  Fin )
11 rspcsbela 3845 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
1211zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
1312expcom 433 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( x  e.  A  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC ) )
14133ad2ant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  A  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC ) )
1514imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  /\  x  e.  A )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  CC )
163, 9, 10, 15fsumsplit 13644 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ x  e.  A  [_ x  / 
k ]_ B  =  (
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ B  +  sum_ x  e.  { X } [_ x  /  k ]_ B
) )
17 nfcv 2616 . . . 4  |-  F/_ x B
18 nfcsb1v 3436 . . . 4  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ B
19 csbeq1a 3429 . . . 4  |-  ( k  =  x  ->  B  =  [_ x  /  k ]_ B )
2017, 18, 19cbvsumi 13601 . . 3  |-  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ x  e.  A  [_ x  /  k ]_ B
2117, 18, 19cbvsumi 13601 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  = 
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ B
2217, 18, 19cbvsumi 13601 . . . 4  |-  sum_ k  e.  { X } B  =  sum_ x  e.  { X } [_ x  / 
k ]_ B
2321, 22oveq12i 6282 . . 3  |-  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  sum_ k  e.  { X } B
)  =  ( sum_ x  e.  ( A  \  { X } ) [_ x  /  k ]_ B  +  sum_ x  e.  { X } [_ x  / 
k ]_ B )
2416, 20, 233eqtr4g 2520 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  sum_ k  e.  { X } B ) )
25 rspcsbela 3845 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  ZZ )
2625zcnd 10966 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )
27263adant1 1012 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )
28 sumsns 13647 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  [_ X  /  k ]_ B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { X } B  =  [_ X  /  k ]_ B
)
295, 27, 28syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  { X } B  =  [_ X  /  k ]_ B )
3029oveq2d 6286 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( sum_ k  e.  ( A 
\  { X }
) B  +  sum_ k  e.  { X } B )  =  (
sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
3124, 30eqtrd 2495 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  X  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) B  +  [_ X  /  k ]_ B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   [_csb 3420    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479    + caddc 9484   ZZcz 10860   sum_csu 13590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator