Theorem fsumsplitsndif 39190

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	|- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, X

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4069	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> -. X e. ( A \ { X } ) )
2		disjsn 4000	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { X } ) i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. ( A \ { X } ) )
3	1, 2	sylibr 217	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( ( A \ { X } ) i^i { X } ) = (/) )
4		uncom 3546	. . . . 5 |- ( ( A \ { X } ) u. { X } ) = ( { X } u. ( A \ { X } ) )
5		simp2 1010	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> X e. A )
6	5	snssd 4086	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> { X } C_ A )
7		undif 3816	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( { X } u. ( A \ { X } ) ) = A )
8	6, 7	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( { X } u. ( A \ { X } ) ) = A )
9	4, 8	syl5req 2499	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> A = ( ( A \ { X } ) u. { X } ) )
10		simp1 1009	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> A e. Fin )
11		rspcsbela 3763	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
12	11	zcnd 11031	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
13	12	expcom 441	. . . . . 6 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( x e. A -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
14	13	3ad2ant3 1032	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( x e. A -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
15	14	imp 435	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 13817	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ x e. A [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B ) )
17		nfcv 2593	. . . 4 |- F/_ x B
18		nfcsb1v 3347	. . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
19		csbeq1a 3340	. . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
20	17, 18, 19	cbvsumi 13774	. . 3 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
21	17, 18, 19	cbvsumi 13774	. . . 4 |- sum_ k e. ( A \ { X } ) B = sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B
22	17, 18, 19	cbvsumi 13774	. . . 4 |- sum_ k e. { X } B = sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B
23	21, 22	oveq12i 6288	. . 3 |- ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) = ( sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B )
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2511	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) )
25		rspcsbela 3763	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. ZZ )
26	25	zcnd 11031	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. CC )
27	26	3adant1 1027	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. CC )
28		sumsns 13822	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ [_ X / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { X } B = [_ X / k ]_ B )
29	5, 27, 28	syl2anc 671	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. { X } B = [_ X / k ]_ B )
30	29	oveq2d 6292	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )
31	24, 30	eqtrd 2486	1 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 986   = wceq 1448   e. wcel 1891   A.wral 2737   [_csb 3331   \ cdif 3369   u. cun 3370   i^i cin 3371   C_ wss 3372   (/)c0 3699   {csn 3936  (class class class)co 6276   Fincfn 7556   CCcc 9524   + caddc 9529   ZZcz 10927   sum_csu 13763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7943  df-oi 8012  df-card 8360  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10860  df-z 10928  df-uz 11150  df-rp 11293  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-sum 13764

This theorem is referenced by: (None)