Theorem fsumsplitsndif 32718

Description: Separate out a term in a finite sum by splitting the sum into two parts. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsndif	|- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, X

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumsplitsndif

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neldifsnd 4144	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> -. X e. ( A \ { X } ) )
2		disjsn 4076	. . . . 5 |- ( ( ( A \ { X } ) i^i { X } ) = (/) <-> -. X e. ( A \ { X } ) )
3	1, 2	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( ( A \ { X } ) i^i { X } ) = (/) )
4		uncom 3634	. . . . 5 |- ( ( A \ { X } ) u. { X } ) = ( { X } u. ( A \ { X } ) )
5		simp2 995	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> X e. A )
6	5	snssd 4161	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> { X } C_ A )
7		undif 3896	. . . . . 6 |- ( { X } C_ A <-> ( { X } u. ( A \ { X } ) ) = A )
8	6, 7	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( { X } u. ( A \ { X } ) ) = A )
9	4, 8	syl5req 2508	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> A = ( ( A \ { X } ) u. { X } ) )
10		simp1 994	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> A e. Fin )
11		rspcsbela 3845	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. ZZ )
12	11	zcnd 10966	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
13	12	expcom 433	. . . . . 6 |- ( A. k e. A B e. ZZ -> ( x e. A -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
14	13	3ad2ant3 1017	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( x e. A -> [_ x / k ]_ B e. CC ) )
15	14	imp 427	. . . 4 |- ( ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) /\ x e. A ) -> [_ x / k ]_ B e. CC )
16	3, 9, 10, 15	fsumsplit 13644	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ x e. A [_ x / k ]_ B = ( sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B ) )
17		nfcv 2616	. . . 4 |- F/_ x B
18		nfcsb1v 3436	. . . 4 |- F/_ k [_ x / k ]_ B
19		csbeq1a 3429	. . . 4 |- ( k = x -> B = [_ x / k ]_ B )
20	17, 18, 19	cbvsumi 13601	. . 3 |- sum_ k e. A B = sum_ x e. A [_ x / k ]_ B
21	17, 18, 19	cbvsumi 13601	. . . 4 |- sum_ k e. ( A \ { X } ) B = sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B
22	17, 18, 19	cbvsumi 13601	. . . 4 |- sum_ k e. { X } B = sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B
23	21, 22	oveq12i 6282	. . 3 |- ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) = ( sum_ x e. ( A \ { X } ) [_ x / k ]_ B + sum_ x e. { X } [_ x / k ]_ B )
24	16, 20, 23	3eqtr4g 2520	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) )
25		rspcsbela 3845	. . . . . 6 |- ( ( X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. ZZ )
26	25	zcnd 10966	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. CC )
27	26	3adant1 1012	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ X / k ]_ B e. CC )
28		sumsns 13647	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ [_ X / k ]_ B e. CC ) -> sum_ k e. { X } B = [_ X / k ]_ B )
29	5, 27, 28	syl2anc 659	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. { X } B = [_ X / k ]_ B )
30	29	oveq2d 6286	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + sum_ k e. { X } B ) = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )
31	24, 30	eqtrd 2495	1 |- ( ( A e. Fin /\ X e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> sum_ k e. A B = ( sum_ k e. ( A \ { X } ) B + [_ X / k ]_ B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   [_csb 3420   \ cdif 3458   u. cun 3459   i^i cin 3460   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479   + caddc 9484   ZZcz 10860   sum_csu 13590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591

This theorem is referenced by: (None)