Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsplit1 Structured version   Unicode version

Theorem fsumsplit1 31812
Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit1.kph  |-  F/ k
ph
fsumsplit1.kd  |-  F/_ k D
fsumsplit1.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumsplit1.b  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumsplit1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
fsumsplit1.bd  |-  ( k  =  C  ->  B  =  D )
Assertion
Ref Expression
fsumsplit1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( A  \  { C } ) B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k
Allowed substitution hints:    ph( k)    B( k)    D( k)

Proof of Theorem fsumsplit1
StepHypRef Expression
1 uncom 3634 . . . . 5  |-  ( ( A  \  { C } )  u.  { C } )  =  ( { C }  u.  ( A  \  { C } ) )
21a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  \  { C } )  u. 
{ C } )  =  ( { C }  u.  ( A  \  { C } ) ) )
3 fsumsplit1.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
43snssd 4161 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { C }  C_  A )
5 undif 3896 . . . . 5  |-  ( { C }  C_  A  <->  ( { C }  u.  ( A  \  { C } ) )  =  A )
64, 5sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { C }  u.  ( A  \  { C } ) )  =  A )
7 eqidd 2455 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =  A )
82, 6, 73eqtrrd 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  \  { C } )  u.  { C } ) )
98sumeq1d 13605 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  ( ( A  \  { C } )  u. 
{ C } ) B )
10 fsumsplit1.kph . . 3  |-  F/ k
ph
11 fsumsplit1.kd . . 3  |-  F/_ k D
12 fsumsplit1.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
13 diffi 7744 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  { C }
)  e.  Fin )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  \  { C } )  e.  Fin )
15 neldifsnd 4144 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( A  \  { C } ) )
16 simpl 455 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { C } ) )  ->  ph )
17 eldifi 3612 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  { C } )  -> 
k  e.  A )
1817adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { C } ) )  -> 
k  e.  A )
19 fsumsplit1.b . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2016, 18, 19syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  { C } ) )  ->  B  e.  CC )
21 fsumsplit1.bd . . 3  |-  ( k  =  C  ->  B  =  D )
2211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
F/_ k D )
23 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  =  C )  ->  k  =  C )
2423, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  =  C )  ->  B  =  D )
2510, 22, 3, 24csbiedf 3441 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [_ C  /  k ]_ B  =  D
)
2625eqcomd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  =  [_ C  /  k ]_ B
)
273ancli 549 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  C  e.  A ) )
28 nfcv 2616 . . . . . 6  |-  F/_ k C
29 nfv 1712 . . . . . . . 8  |-  F/ k  C  e.  A
3010, 29nfan 1933 . . . . . . 7  |-  F/ k ( ph  /\  C  e.  A )
3128nfcsb1 3435 . . . . . . . 8  |-  F/_ k [_ C  /  k ]_ B
32 nfcv 2616 . . . . . . . 8  |-  F/_ k CC
3331, 32nfel 2629 . . . . . . 7  |-  F/ k
[_ C  /  k ]_ B  e.  CC
3430, 33nfim 1925 . . . . . 6  |-  F/ k ( ( ph  /\  C  e.  A )  ->  [_ C  /  k ]_ B  e.  CC )
35 eleq1 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  (
k  e.  A  <->  C  e.  A ) )
3635anbi2d 701 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  (
( ph  /\  k  e.  A )  <->  ( ph  /\  C  e.  A ) ) )
37 csbeq1a 3429 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  C  ->  B  =  [_ C  /  k ]_ B )
3837eleq1d 2523 . . . . . . 7  |-  ( k  =  C  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ C  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
3936, 38imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( k  =  C  ->  (
( ( ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  C  e.  A )  ->  [_ C  /  k ]_ B  e.  CC ) ) )
4028, 34, 39, 19vtoclgf 3162 . . . . 5  |-  ( C  e.  A  ->  (
( ph  /\  C  e.  A )  ->  [_ C  /  k ]_ B  e.  CC ) )
413, 27, 40sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  [_ C  /  k ]_ B  e.  CC )
4226, 41eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
4310, 11, 14, 3, 15, 20, 21, 42fsumsplitsn 31810 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( A  \  { C } )  u.  { C } ) B  =  ( sum_ k  e.  ( A  \  { C } ) B  +  D ) )
4410, 14, 20fsumclf 31806 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  \  { C } ) B  e.  CC )
4544, 42addcomd 9771 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( A  \  { C } ) B  +  D )  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( A  \  { C } ) B ) )
469, 43, 453eqtrd 2499 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( D  +  sum_ k  e.  ( A  \  { C } ) B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398   F/wnf 1621    e. wcel 1823   F/_wnfc 2602   [_csb 3420    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   {csn 4016  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   CCcc 9479    + caddc 9484   sum_csu 13590
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591
This theorem is referenced by:  dvnmul  31979  etransclem35  32291  etransclem44  32300
  Copyright terms: Public domain W3C validator