MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplit Structured version   Unicode version

Theorem fsumsplit 13513
Description: Split a sum into two parts. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplit.1  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
fsumsplit.2  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
fsumsplit.3  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
fsumsplit.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumsplit  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    ph, k    U, k
Allowed substitution hint:    C( k)

Proof of Theorem fsumsplit
StepHypRef Expression
1 ssun1 3662 . . . . 5  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
2 fsumsplit.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
31, 2syl5sseqr 3548 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
43sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  U )
5 fsumsplit.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  C  e.  CC )
64, 5syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
76ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  C  e.  CC )
8 fsumsplit.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  Fin )
98olcd 393 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  U  e.  Fin )
)
10 sumss2 13499 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  U  /\  A. k  e.  A  C  e.  CC )  /\  ( U  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  U  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
113, 7, 9, 10syl21anc 1222 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 ) )
12 ssun2 3663 . . . . 5  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
1312, 2syl5sseqr 3548 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
1413sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  k  e.  U )
1514, 5syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
1615ralrimiva 2873 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
17 sumss2 13499 . . . 4  |-  ( ( ( B  C_  U  /\  A. k  e.  B  C  e.  CC )  /\  ( U  C_  ( ZZ>=
`  0 )  \/  U  e.  Fin )
)  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
1813, 16, 9, 17syl21anc 1222 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )
1911, 18oveq12d 6295 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
20 0cn 9579 . . . 4  |-  0  e.  CC
21 ifcl 3976 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  e.  CC )
225, 20, 21sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  e.  CC )
23 ifcl 3976 . . . 4  |-  ( ( C  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  e.  B ,  C , 
0 )  e.  CC )
245, 20, 23sylancl 662 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  e.  CC )
258, 22, 24fsumadd 13512 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( sum_ k  e.  U  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  sum_ k  e.  U  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
262eleq2d 2532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  k  e.  ( A  u.  B ) ) )
27 elun 3640 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( A  u.  B )  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )
2826, 27syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( k  e.  U  <->  ( k  e.  A  \/  k  e.  B )
) )
2928biimpa 484 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  (
k  e.  A  \/  k  e.  B )
)
30 iftrue 3940 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
3130adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
32 noel 3784 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  k  e.  (/)
33 elin 3682 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
34 fsumsplit.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  =  (/) )
3534eleq2d 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( k  e.  ( A  i^i  B )  <-> 
k  e.  (/) ) )
3633, 35syl5rbbr 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  (/)  <->  (
k  e.  A  /\  k  e.  B )
) )
3732, 36mtbii 302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
38 imnan 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
)  <->  -.  ( k  e.  A  /\  k  e.  B ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  ->  -.  k  e.  B
) )
4039imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  -.  k  e.  B )
41 iffalse 3943 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
4240, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
4331, 42oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( C  + 
0 ) )
446addid1d 9770 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
4543, 44eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
4639con2d 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( k  e.  B  ->  -.  k  e.  A
) )
4746imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  -.  k  e.  A )
48 iffalse 3943 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  e.  A  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
4947, 48syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
50 iftrue 3940 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  B  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
5150adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  if ( k  e.  B ,  C ,  0 )  =  C )
5249, 51oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  C ) )
5315addid2d 9771 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
0  +  C )  =  C )
5452, 53eqtrd 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
5545, 54jaodan 783 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  \/  k  e.  B ) )  -> 
( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C , 
0 ) )  =  C )
5629, 55syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  U )  ->  ( if ( k  e.  A ,  C ,  0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  C )
5756sumeq2dv 13476 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  ( if ( k  e.  A ,  C , 
0 )  +  if ( k  e.  B ,  C ,  0 ) )  =  sum_ k  e.  U  C )
5819, 25, 573eqtr2rd 2510 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U  C  =  ( sum_ k  e.  A  C  +  sum_ k  e.  B  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ifcif 3934   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   Fincfn 7508   CCcc 9481   0cc0 9483    + caddc 9486   ZZ>=cuz 11073   sum_csu 13459
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-sum 13460
This theorem is referenced by:  fsumm1  13517  fsum1p  13519  fsumsplitsnun  13521  fsum2dlem  13536  fsumless  13561  fsumabs  13566  fsumrlim  13576  fsumo1  13577  o1fsum  13578  cvgcmpce  13583  fsumiun  13586  incexclem  13602  incexc  13603  isumltss  13614  climcndslem1  13615  climcndslem2  13616  mertenslem1  13647  bitsinv1  13942  bitsinvp1  13949  sylow2a  16430  fsumcn  21104  ovolfiniun  21642  volfiniun  21687  uniioombllem3  21724  itgfsum  21963  dvmptfsum  22106  vieta1lem2  22436  mtest  22528  birthdaylem2  23005  fsumharmonic  23064  ftalem5  23073  chtprm  23150  chtdif  23155  perfectlem2  23228  lgsquadlem2  23353  dchrisumlem1  23397  dchrisumlem2  23398  rpvmasum2  23420  dchrisum0lem1b  23423  dchrisum0lem3  23427  pntrsumbnd2  23475  pntrlog2bndlem6  23491  pntpbnd2  23495  pntlemf  23513  axlowdimlem16  23931  axlowdimlem17  23932  sumpr  27419  signsplypnf  28135  jm2.22  30532  jm2.23  30533  sumpair  30945  sumnnodd  31129  stoweidlem11  31268  stoweidlem26  31283  stoweidlem44  31301  fsumsplitsndif  31770
  Copyright terms: Public domain W3C validator