Theorem fsumshftm 7155

Description: Negative index shift of a finite sum.

Assertion

Ref	Expression
fsumshftm	|- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)

Distinct variable groups:   A,k   j,k,K   j,M,k   j,N,k

Proof of Theorem fsumshftm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumshft 7154	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ -uK e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A)
2		znegcl 6273	. . 3 |- (K e. ZZ -> -uK e. ZZ)
3	1, 2	syl3an2 863	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A)
4		negsub 5471	. . . . . . . . 9 |- ((M e. CC /\ K e. CC) -> (M + -uK) = (M - K))
5	4	3adant2 801	. . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> (M + -uK) = (M - K))
6		negsub 5471	. . . . . . . . 9 |- ((N e. CC /\ K e. CC) -> (N + -uK) = (N - K))
7	6	3adant1 800	. . . . . . . 8 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> (N + -uK) = (N - K))
8	5, 7	opreq12d 4054	. . . . . . 7 |- ((M e. CC /\ N e. CC /\ K e. CC) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
9		zcn 6250	. . . . . . 7 |- (M e. ZZ -> M e. CC)
10		zcn 6250	. . . . . . 7 |- (N e. ZZ -> N e. CC)
11		zcn 6250	. . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> K e. CC)
12	8, 9, 10, 11	syl3an 871	. . . . . 6 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
13	12	3expa 836	. . . . 5 |- (((M e. ZZ /\ N e. ZZ) /\ K e. ZZ) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
14		eluzel2 6484	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> M e. ZZ)
15		eluzelz 6483	. . . . . 6 |- (N e. (ZZ>` M) -> N e. ZZ)
16	14, 15	jca 286	. . . . 5 |- (N e. (ZZ>` M) -> (M e. ZZ /\ N e. ZZ))
17	13, 16	sylan 450	. . . 4 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ) -> ((M + -uK)...(N + -uK)) = ((M - K)...(N - K)))
18		subneg 5483	. . . . . . . . . . 11 |- ((k e. CC /\ K e. CC) -> (k - -uK) = (k + K))
19	18	ancoms 438	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. CC /\ k e. CC) -> (k - -uK) = (k + K))
20		zcn 6250	. . . . . . . . . 10 |- (k e. ZZ -> k e. CC)
21	19, 11, 20	syl2an 456	. . . . . . . . 9 |- ((K e. ZZ /\ k e. ZZ) -> (k - -uK) = (k + K))
22	21	ex 371	. . . . . . . 8 |- (K e. ZZ -> (k e. ZZ -> (k - -uK) = (k + K)))
23		csbeq1 2045	. . . . . . . 8 |- ((k - -uK) = (k + K) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A)
24	22, 23	syl6 22	. . . . . . 7 |- (K e. ZZ -> (k e. ZZ -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A))
25		elfzelz 6542	. . . . . . 7 |- (k e. ((M + -uK)...(N + -uK)) -> k e. ZZ)
26	24, 25	syl5 21	. . . . . 6 |- (K e. ZZ -> (k e. ((M + -uK)...(N + -uK)) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A))
27	26	imp 348	. . . . 5 |- ((K e. ZZ /\ k e. ((M + -uK)...(N + -uK))) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A)
28	27	adantll 392	. . . 4 |- (((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ) /\ k e. ((M + -uK)...(N + -uK))) -> [_(k - -uK) / j]_A = [_(k + K) / j]_A)
29	17, 28	sumeq12dv 7118	. . 3 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ) -> sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)
30	29	3adant3 802	. 2 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_k e. ((M + -uK)...(N + -uK))[_(k - -uK) / j]_A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)
31	3, 30	eqtrd 1544	1 |- ((N e. (ZZ>` M) /\ K e. ZZ /\ A.j e. (M...N)A e. CC) -> sum_j e. (M...N)A = sum_k e. ((M - K)...(N - K))[_(k + K) / j]_A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   /\ w3a 778   = wceq 988   e. wcel 990  A.wral 1683  [_csb 2043  ` cfv 3237  (class class class)co 4039  CCcc 5321   + caddc 5326   - cmin 5381  -ucneg 5382  ZZcz 5387  ZZ>cuz 6477  ...cfz 6527  sum_csu 7102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-n0 6210  df-z 6246  df-uz 6478  df-fz 6528  df-seq1 6601  df-shft 6634  df-seqz 6656  df-sum 7103

Copyright terms: Public domain