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Theorem fsumrlim 13864
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that  C ( k ) is a collection of functions with implicit parameter  k, each of which converges to  D ( k ) as  n  ~~> +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrlim.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumrlim.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumrlim.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumrlim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
Assertion
Ref Expression
fsumrlim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    D( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumrlim
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3450 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumrlim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 13748 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 13780 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4489 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  (/)  D )
9 sum0 13780 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  D  =  0
108, 9syl6eq 2500 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  = 
0 )
117, 10breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
123, 11imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) )
1312imbi2d 318 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) ) )
14 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
15 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1615mpteq2dv 4489 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
17 sumeq1 13748 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  y  D )
1816, 17breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
1914, 18imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) ) )
2019imbi2d 318 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
) ) )
21 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
22 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
2322mpteq2dv 4489 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
24 sumeq1 13748 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
2523, 24breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
2621, 25imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
2726imbi2d 318 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
28 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
29 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
3029mpteq2dv 4489 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
31 sumeq1 13748 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  B  D
)
3230, 31breq12d 4414 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
)
3328, 32imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
3433imbi2d 318 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
) ) )
35 fsumrlim.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 0cn 9632 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
37 rlimconst 13601 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3835, 36, 37sylancl 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3938a1d 26 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
40 ssun1 3596 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
41 sstr 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
4240, 41mpan 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
4342imim1i 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
44 sumex 13747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V )
46 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
4746unssbd 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
48 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
4948snss 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
5047, 49sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
5150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
52 fsumrlim.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5352anass1rs 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
54 fsumrlim.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
5553, 54rlimmptrcl 13664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5655an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5756adantllr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5857ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
59 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6059nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
61 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
6261eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
6360, 62rspc 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
6451, 58, 63sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6564ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6665adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC )
67 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
6867nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC
69 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
7069eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7168, 70rspc 3143 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7266, 71mpan9 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
73 elex 3053 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
75 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  C
76 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
y
77 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
7876, 77nfsum 13750 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
79 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
8079sumeq2sdv 13763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
)
8175, 78, 80cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  =  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C )
82 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
8381, 82syl5eqbrr 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)
84 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ C
8584, 67, 69cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
8654ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
88 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k A
8988, 59nfmpt 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
90 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  ~~> r
91 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ D
9289, 90, 91nfbr 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
9361mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
94 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  D  =  [_ z  /  k ]_ D )
9593, 94breq12d 4414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9692, 95rspc 3143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9750, 87, 96sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9897adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9985, 98syl5eqbrr 4436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
10045, 74, 83, 99rlimadd 13699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) )  ~~> r  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
101 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
102 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
103101, 102sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
104103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
105 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
1062adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
107 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
108106, 46, 107syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
109108adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
11046sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
111110adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
112111, 57syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
113104, 105, 109, 112fsumsplit 13799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
114 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
115 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
116 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
117114, 115, 116cbvsumi 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
118 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
119118sumsn 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
12051, 64, 119syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
121117, 120syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
122121oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
123113, 122eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
124123mpteq2dva 4488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
125124adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
126 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
)
127 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  +
12878, 127, 67nfov 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
12980, 69oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
130126, 128, 129cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
131125, 130syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) ) )
132 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
133 rlimcl 13560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
13454, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
135134adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
136110, 135syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  D  e.  CC )
137103, 132, 108, 136fsumsplit 13799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
) )
138 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w D
139 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ D
140 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  w  ->  D  =  [_ w  /  k ]_ D )
141138, 139, 140cbvsumi 13756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  { z } D  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ D
142135ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  D  e.  CC )
14391nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ D  e.  CC
14494eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( D  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ D  e.  CC ) )
145143, 144rspc 3143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  D  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
)
14650, 142, 145sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
147 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D )
148147sumsn 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
14950, 146, 148syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
150141, 149syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  { z } D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
151150oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
)  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
152137, 151eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
153152adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
154100, 131, 1533brtr4d 4432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
155154ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
156155expr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D ) ) )
157156a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
15843, 157syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
159158expcom 437 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
160159a2d 29 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
161160adantl 468 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
16213, 20, 27, 34, 39, 161findcard2s 7809 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
1632, 162mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) )
1641, 163mpi 20 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044   [_csb 3362    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536    + caddc 9539    ~~> r crli 13542   sum_csu 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-oadd 7183  df-er 7360  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-oi 8022  df-card 8370  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746
This theorem is referenced by:  climfsum  13873  logexprlim  24146  signsplypnf  29432
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