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Theorem fsumrlim 13273
Description: Limit of a finite sum of converging sequences. Note that  C ( k ) is a collection of functions with implicit parameter  k, each of which converges to  D ( k ) as  n  ~~> +oo. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrlim.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumrlim.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumrlim.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumrlim.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
Assertion
Ref Expression
fsumrlim  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    D( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumrlim
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3374 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumrlim.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3376 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 13165 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 13197 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2490 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 sumeq1 13165 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  (/)  D )
9 sum0 13197 . . . . . . . 8  |-  sum_ k  e.  (/)  D  =  0
108, 9syl6eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  D  = 
0 )
117, 10breq12d 4304 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
123, 11imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) )
1312imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) ) ) )
14 sseq1 3376 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
15 sumeq1 13165 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1615mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
17 sumeq1 13165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  y  D )
1816, 17breq12d 4304 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
1914, 18imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) ) )
2019imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
) ) )
21 sseq1 3376 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
22 sumeq1 13165 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
2322mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
24 sumeq1 13165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
2523, 24breq12d 4304 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
2621, 25imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )  <->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
2726imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
28 sseq1 3376 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
29 sumeq1 13165 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
3029mpteq2dv 4378 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
31 sumeq1 13165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  D  =  sum_ k  e.  B  D
)
3230, 31breq12d 4304 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
)
3328, 32imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D
)  <->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
3433imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  ~~> r  sum_ k  e.  w  D )
)  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  ~~> r  sum_ k  e.  B  D )
) ) )
35 fsumrlim.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
36 0cn 9377 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
37 rlimconst 13021 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 )
3938a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  ~~> r  0 ) )
40 ssun1 3518 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
41 sstr 3363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
4240, 41mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
4342imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)
44 sumex 13164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  e.  _V )
46 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
4746unssbd 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
48 vex 2974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  z  e. 
_V
4948snss 3998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
5047, 49sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
52 fsumrlim.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5352anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
54 fsumrlim.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D )
5553, 54rlimmptrcl 13084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5655an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5756adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5857ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
59 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6059nfel1 2588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
61 csbeq1a 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
6261eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
6360, 62rspc 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
6451, 58, 63sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6564ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC )
67 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
6867nfel1 2588 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC
69 csbeq1a 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  w  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
7069eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7168, 70rspc 3066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7266, 71mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
73 elex 2980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  /\  w  e.  A )  ->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
75 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w sum_ k  e.  y  C
76 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
y
77 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ C
7876, 77nfsum 13167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
79 csbeq1a 3296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  w  ->  C  =  [_ w  /  x ]_ C )
8079sumeq2sdv 13180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  y  C  =  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C
)
8175, 78, 80cbvmpt 4381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  =  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C )
82 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
8381, 82syl5eqbrr 4325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)
84 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ w [_ z  /  k ]_ C
8584, 67, 69cbvmpt 4381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
8654ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D
)
88 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k A
8988, 59nfmpt 4379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
90 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k  ~~> r
91 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ D
9289, 90, 91nfbr 4335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
9361mpteq2dv 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
94 csbeq1a 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  z  ->  D  =  [_ z  /  k ]_ D )
9593, 94breq12d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  <->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9692, 95rspc 3066 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
) )
9750, 87, 96sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
9985, 98syl5eqbrr 4325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  ~~> r  [_ z  /  k ]_ D
)
10045, 74, 83, 99rlimadd 13119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) )  ~~> r  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
101 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
102 disjsn 3935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
103101, 102sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
105 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
1062adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
107 ssfi 7532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
108106, 46, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
11046sselda 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
111110adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
112111, 57syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
113104, 105, 109, 112fsumsplit 13215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
114 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
115 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
116 csbeq1a 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
117114, 115, 116cbvsumi 13173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
118 csbeq1 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
119118sumsn 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
12051, 64, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
121117, 120syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
122121oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
123113, 122eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
124123mpteq2dva 4377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
125124adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
126 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w
( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
)
127 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x  +
12878, 127, 67nfov 6113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
12980, 69oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  =  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
130126, 128, 129cbvmpt 4381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y 
[_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
) )
131125, 130syl6eq 2490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  =  ( w  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  [_ w  /  x ]_ C  +  [_ w  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C ) ) )
132 eqidd 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
133 rlimcl 12980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  ~~> r  D  ->  D  e.  CC )
13454, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
135134adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  B )  ->  D  e.  CC )
136110, 135syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  D  e.  CC )
137103, 132, 108, 136fsumsplit 13215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
) )
138 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ w D
139 nfcsb1v 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ D
140 csbeq1a 3296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  w  ->  D  =  [_ w  /  k ]_ D )
141138, 139, 140cbvsumi 13173 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  { z } D  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ D
142135ralrimiva 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  D  e.  CC )
14391nfel1 2588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ D  e.  CC
14494eleq1d 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  z  ->  ( D  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ D  e.  CC ) )
145143, 144rspc 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  D  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
)
14650, 142, 145sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )
147 csbeq1 3290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D )
148147sumsn 13216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ D  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
14950, 146, 148syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
150141, 149syl5eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  { z } D  =  [_ z  /  k ]_ D
)
151150oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( sum_ k  e.  y  D  +  sum_ k  e.  { z } D
)  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
152137, 151eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D  =  (
sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D
) )
153152adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D  =  ( sum_ k  e.  y  D  +  [_ z  /  k ]_ D ) )
154100, 131, 1533brtr4d 4321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D )
155154ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) )
156155expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) D ) ) )
157156a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
15843, 157syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
)  ->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) )
159158expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
160159a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D )
)  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
161160adantl 466 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  ~~> r  sum_ k  e.  y  D
) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  ~~> r  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) D ) ) ) )
16213, 20, 27, 34, 39, 161findcard2s 7552 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) ) )
1632, 162mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
) )
1641, 163mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  ~~> r  sum_ k  e.  B  D
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   _Vcvv 2971   [_csb 3287    u. cun 3325    i^i cin 3326    C_ wss 3327   (/)c0 3636   {csn 3876   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349  (class class class)co 6090   Fincfn 7309   CCcc 9279   RRcr 9280   0cc0 9281    + caddc 9284    ~~> r crli 12962   sum_csu 13162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163
This theorem is referenced by:  climfsum  13282  logexprlim  22563  signsplypnf  26950
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