MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrev2 Structured version   Unicode version

Theorem fsumrev2 13821
Description: Reversal of a finite sum. (Contributed by NM, 27-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrev2.1  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumrev2.2  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fsumrev2  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Distinct variable groups:    A, k    B, j    j, k, M   
j, N, k    ph, j,
k
Allowed substitution hints:    A( j)    B( k)

Proof of Theorem fsumrev2
StepHypRef Expression
1 sum0 13765 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  0
2 sum0 13765 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
31, 2eqtr4i 2461 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  A  =  sum_ k  e.  (/)  B
4 sumeq1 13733 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ j  e.  (/)  A )
5 sumeq1 13733 . . . 4  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ k  e.  ( M ... N
) B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
63, 4, 53eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =  (/)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
76adantl 467 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M ... N )  =  (/) )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
8 fzn0 11811 . . 3  |-  ( ( M ... N )  =/=  (/)  <->  N  e.  ( ZZ>=
`  M ) )
9 eluzel2 11164 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
109adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  ZZ )
11 eluzelz 11168 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
1211adantl 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  ZZ )
1310, 12zaddcld 11044 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( M  +  N )  e.  ZZ )
14 fsumrev2.1 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
1514adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
16 fsumrev2.2 . . . . 5  |-  ( j  =  ( ( M  +  N )  -  k )  ->  A  =  B )
1713, 10, 12, 15, 16fsumrev 13818 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) ) B )
1810zcnd 11041 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  M  e.  CC )
1912zcnd 11041 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  N  e.  CC )
2018, 19pncand 9986 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  N )  =  M )
2118, 19pncan2d 9987 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( M  +  N )  -  M )  =  N )
2220, 21oveq12d 6323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
( M  +  N
)  -  N ) ... ( ( M  +  N )  -  M ) )  =  ( M ... N
) )
2322sumeq1d 13745 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ k  e.  ( ( ( M  +  N )  -  N ) ... (
( M  +  N
)  -  M ) ) B  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
2417, 23eqtrd 2470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  sum_ j  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
258, 24sylan2b 477 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( M ... N )  =/=  (/) )  ->  sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N ) B )
267, 25pm2.61dane 2749 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M ... N ) A  =  sum_ k  e.  ( M ... N
) B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   (/)c0 3767   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   0cc0 9538    + caddc 9541    - cmin 9859   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11782   sum_csu 13730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731
This theorem is referenced by:  fsum0diag2  13822  efaddlem  14125  aareccl  23147
  Copyright terms: Public domain W3C validator