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Theorem fsumrelem 13583
Description: Lemma for fsumre 13584, fsumim 13585, and fsumcj 13586. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumre.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumre.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumrelem.3  |-  F : CC
--> CC
fsumrelem.4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
fsumrelem  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Distinct variable groups:    x, k,
y, A    x, B, y    k, F, x, y    ph, k, x, y
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumrelem
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 9587 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
2 fsumrelem.3 . . . . . . . . 9  |-  F : CC
--> CC
32ffvelrni 6019 . . . . . . . 8  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( F `  0 )  e.  CC )
41, 3ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( F `
 0 )  e.  CC
54addid1i 9765 . . . . . 6  |-  ( ( F `  0 )  +  0 )  =  ( F `  0
)
6 oveq1 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  (
x  +  y )  =  ( 0  +  y ) )
76fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( F `  ( 0  +  y ) ) )
8 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  0  ->  ( F `  x )  =  ( F ` 
0 ) )
98oveq1d 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  x
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  y
) ) )
107, 9eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  (
( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( ( F `  0
)  +  ( F `
 y ) ) ) )
11 oveq2 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  ( 0  +  0 ) )
12 00id 9753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1311, 12syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
0  +  y )  =  0 )
1413fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  ( 0  +  y ) )  =  ( F ` 
0 ) )
15 fveq2 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( F `  y )  =  ( F ` 
0 ) )
1615oveq2d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  0
)  +  ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  ( F `  0
) ) )
1714, 16eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( F `  (
0  +  y ) )  =  ( ( F `  0 )  +  ( F `  y ) )  <->  ( F `  0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) ) ) )
18 fsumrelem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( F `  (
x  +  y ) )  =  ( ( F `  x )  +  ( F `  y ) ) )
1910, 17, 18vtocl2ga 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( F `  0
)  =  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) ) )
201, 1, 19mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( F `
 0 )  =  ( ( F ` 
0 )  +  ( F `  0 ) )
215, 20eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  ( ( F `  0 )  +  ( F ` 
0 ) )  =  ( ( F ` 
0 )  +  0 )
224, 4, 1addcani 9771 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  0
)  +  ( F `
 0 ) )  =  ( ( F `
 0 )  +  0 )  <->  ( F `  0 )  =  0 )
2321, 22mpbi 208 . . . 4  |-  ( F `
 0 )  =  0
24 sumeq1 13473 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
25 sum0 13505 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2624, 25syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
2726fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  A  B )  =  ( F `  0 ) )
28 sumeq1 13473 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( F `  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( F `
 B ) )
29 sum0 13505 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( F `  B )  =  0
3028, 29syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( F `  B )  =  0 )
3123, 27, 303eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( F `
 sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
)
3231a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) ) )
33 addcl 9573 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
3433adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( x  +  y )  e.  CC )
35 fsumre.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
36 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
3735, 36fmptd 6044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
3837adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
39 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
40 f1of 5815 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
4139, 40syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
42 fco 5740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
4338, 41, 42syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
4443ffvelrnda 6020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  e.  CC )
45 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
46 nnuz 11116 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4745, 46syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4818adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC ) )  ->  ( F `  ( x  +  y ) )  =  ( ( F `  x
)  +  ( F `
 y ) ) )
4941ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  x
)  e.  A )
50 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
5136fvmpt2 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
5250, 35, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
5352fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( F `
 B ) )
54 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F `
 B )  e. 
_V
55 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) )
5655fvmpt2 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( F `  B )  e.  _V )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k )  =  ( F `  B ) )
5750, 54, 56sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  =  ( F `
 B ) )
5853, 57eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
5958ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k ) )
61 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k F
62 nffvmpt1 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) )
6361, 62nffv 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
64 nffvmpt1 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) )
6563, 64nfeq 2640 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
)
66 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) )
6766fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  ( F `  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( F `
 ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  x ) ) ) )
68 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `
 x ) ) )
6967, 68eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  x )  ->  (
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  k
)  <->  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) ) ) )
7065, 69rspc 3208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  x )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  k )  ->  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  x
) ) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `  x
) ) ) )
7149, 60, 70sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
72 fvco3 5943 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
7341, 72sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  x )
) )
7473fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )  =  ( F `  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) ) )
75 fvco3 5943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
7641, 75sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) `  x )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  (
f `  x )
) )
7771, 74, 763eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  x  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( F `  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  x
) )  =  ( ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) )  o.  f ) `  x
) )
7834, 44, 47, 48, 77seqhomo 12121 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  (  seq 1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) ) )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( F `
 B ) )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) )
79 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 x ) ) )
8038ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
8179, 45, 39, 80, 73fsum 13504 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
8281fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( F `  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
83 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  x )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  ( f `
 x ) ) )
842ffvelrni 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  CC  ->  ( F `  B )  e.  CC )
8535, 84syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( F `  B )  e.  CC )
8685, 55fmptd 6044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) ) : A --> CC )
8786adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) : A --> CC )
8887ffvelrnda 6020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  e.  CC )
8983, 45, 39, 88, 76fsum 13504 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
9078, 82, 893eqtr4d 2518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m ) )
91 sumfc 13493 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
9291fveq2i 5868 . . . . . 6  |-  ( F `
 sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)
93 sumfc 13493 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( F `  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
9490, 92, 933eqtr3g 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
9594expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) ) )
9695exlimdv 1700 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
9796expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B )
) )
98 fsumre.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
99 fz1f1o 13494 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10098, 99syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
10132, 97, 100mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( F `  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( F `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   (/)c0 3785    |-> cmpt 4505    o. ccom 5003   -->wf 5583   -1-1-onto->wf1o 5586   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494   NNcn 10535   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671    seqcseq 12074   #chash 12372   sum_csu 13470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471
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