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Theorem fsumparts 13582
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
fsumparts.c  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
fsumparts.d  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
fsumparts.e  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
fsumparts.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumparts.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumparts.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumparts  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Distinct variable groups:    A, j    B, k    C, k    D, k   
k, E    j, V    k, W    j, k, M   
j, N, k    ph, j,
k    k, X    k, Y    k, Z
Allowed substitution hints:    A( k)    B( j)    C( j)    D( j)    E( j)    V( k)    W( j)    X( j)    Y( j)    Z( j)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 13505 . . . 4  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  0
2 0m0e0 10644 . . . 4  |-  ( 0  -  0 )  =  0
31, 2eqtr4i 2499 . . 3  |-  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( 0  -  0 )
4 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  N  =  M )
54oveq2d 6299 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  ( M..^ M ) )
6 fzo0 11816 . . . . 5  |-  ( M..^ M )  =  (/)
75, 6syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( M..^ N )  =  (/) )
87sumeq1d 13485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( B  x.  ( X  -  W
) ) )
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
10 eluzfz1 11692 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ( M ... N ) )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ( M ... N ) )
12 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  k  =  N )
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  =  E  /\  V  =  Z )
)
14 oveq12 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  E  /\  V  =  Z )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( E  x.  Z ) )
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  M  ->  ( A  =  D  /\  V  =  Y )
)
17 oveq12 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  D  /\  V  =  Y )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( D  x.  Y ) )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( D  x.  Y ) )
2015, 19eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  M  /\  N  =  M )  ->  ( ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V )  <-> 
( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) ) )
2120pm5.74da 687 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  M  ->  (
( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )  <->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) ) )
22 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( N  =  M  ->  ( A  x.  V )  =  ( A  x.  V ) )
2321, 22vtoclg 3171 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( N  =  M  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) ) )
2423imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ( M ... N )  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z
)  =  ( D  x.  Y ) )
2511, 24sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  ( E  x.  Z )  =  ( D  x.  Y ) )
2625oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y
) ) )
27 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2827ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
2916simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  A  =  D )
3029eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( A  e.  CC  <->  D  e.  CC ) )
3130rspcv 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  D  e.  CC ) )
3211, 28, 31sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
33 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  V  e.  CC )
3433ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC )
3516simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  M  ->  V  =  Y )
3635eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  M  ->  ( V  e.  CC  <->  Y  e.  CC ) )
3736rspcv 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  ->  Y  e.  CC ) )
3811, 34, 37sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3932, 38mulcld 9615 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  Y
)  e.  CC )
4039subidd 9917 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  Y )  -  ( D  x.  Y )
)  =  0 )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( D  x.  Y
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
4226, 41eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  =  0 )
437sumeq1d 13485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X ) )
44 sum0 13505 . . . . 5  |-  sum_ j  e.  (/)  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  0
4543, 44syl6eq 2524 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  0 )
4642, 45oveq12d 6301 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  (
( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y )
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
) )  =  ( 0  -  0 ) )
473, 8, 463eqtr4a 2534 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  =  M )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
48 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )
49 eluzel2 11086 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
509, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
52 fzp1ss 11730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 ) ... N ) 
C_  ( M ... N ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 ) ... N )  C_  ( M ... N ) )
5453sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  k  e.  ( M ... N
) )
5527, 33mulcld 9615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
5655adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
5754, 56syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
5813, 14syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  N  ->  ( A  x.  V )  =  ( E  x.  Z ) )
5948, 57, 58fsumm1 13528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
60 eluzelz 11090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
6261adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
63 fzoval 11797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
6551zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  M  e.  CC )
66 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  CC
67 pncan 9825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  + 
1 )  -  1 )  =  M )
6865, 66, 67sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )  -  1 )  =  M )
6968oveq1d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) )  =  ( M ... ( N  -  1 ) ) )
7064, 69eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M..^ N )  =  ( ( ( M  + 
1 )  -  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
7170sumeq1d 13485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ j  e.  ( ( ( M  +  1 )  - 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( C  x.  X ) )
72 1zzd 10894 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
7351peano2zd 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( M  +  1 )  e.  ZZ )
74 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  =  C  /\  V  =  X )
)
75 oveq12 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  C  /\  V  =  X )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( C  x.  X ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  x.  V )  =  ( C  x.  X ) )
7772, 73, 62, 57, 76fsumshftm 13558 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V )  =  sum_ j  e.  ( (
( M  +  1 )  -  1 ) ... ( N  - 
1 ) ) ( C  x.  X ) )
7871, 77eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... N
) ( A  x.  V ) )
79 fzoval 11797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8062, 79syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  =  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) )
8180sumeq1d 13485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
8281oveq1d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  (
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
)  +  ( E  x.  Z ) ) )
8359, 78, 823eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) ) )
84 fzofi 12051 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin
8584a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  e.  Fin )
86 uzid 11095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
87 peano2uz 11133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
88 fzoss1 11819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
8951, 86, 87, 884syl 21 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( M  +  1 )..^ N )  C_  ( M..^ N ) )
9089sselda 3504 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
91 elfzofz 11810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M..^ N
)  ->  k  e.  ( M ... N ) )
9291, 55sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
9392adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
9490, 93syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
9585, 94fsumcl 13517 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  e.  CC )
96 eluzfz2 11693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
979, 96syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
9813simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  N  ->  A  =  E )
9998eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  E  e.  CC ) )
10099rspcv 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  E  e.  CC ) )
10197, 28, 100sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
10213simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  N  ->  V  =  Z )
103102eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  N  ->  ( V  e.  CC  <->  Z  e.  CC ) )
104103rspcv 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  ->  Z  e.  CC ) )
10597, 34, 104sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  CC )
106101, 105mulcld 9615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E  x.  Z
)  e.  CC )
107106adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( E  x.  Z )  e.  CC )
10895, 107addcomd 9780 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( E  x.  Z
) )  =  ( ( E  x.  Z
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
10983, 108eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
110109oveq1d 6298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
111 fzofzp1 11876 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N
) )
11274simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  A  =  C )
113112eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
114113rspccva 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  C  e.  CC )
11528, 111, 114syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  C  e.  CC )
116 elfzofz 11810 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( M..^ N
)  ->  j  e.  ( M ... N ) )
117 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( A  =  B  /\  V  =  W )
)
118117simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  A  =  B )
119118eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
120119rspccva 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  B  e.  CC )
12128, 116, 120syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  B  e.  CC )
12274simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  V  =  X )
123122eleq1d 2536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( V  e.  CC  <->  X  e.  CC ) )
124123rspccva 3213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  ( j  +  1 )  e.  ( M ... N ) )  ->  X  e.  CC )
12534, 111, 124syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  X  e.  CC )
126115, 121, 125subdird 10012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( ( C  -  B )  x.  X )  =  ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
127126sumeq2dv 13487 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) ) )
128 fzofi 12051 . . . . . . . . 9  |-  ( M..^ N )  e.  Fin
129128a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M..^ N )  e.  Fin )
130115, 125mulcld 9615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( C  x.  X )  e.  CC )
131121, 125mulcld 9615 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  X )  e.  CC )
132129, 130, 131fsumsub 13565 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  x.  X
)  -  ( B  x.  X ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
133127, 132eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
134133adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( C  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X ) ) )
135129, 131fsumcl 13517 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  e.  CC )
136135adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  e.  CC )
137107, 136, 95subsub3d 9959 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  + 
sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
) ) )
138110, 134, 1373eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X
)  =  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) ) )
139138oveq2d 6299 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) )  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) ) )
14039adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( D  x.  Y )  e.  CC )
141136, 95subcld 9929 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  e.  CC )
142107, 140, 141nnncan1d 9963 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( (
( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  ( ( E  x.  Z )  -  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) ) )  =  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) )  -  ( D  x.  Y )
) )
14395, 140addcomd 9780 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
) ) )
144 eluzp1m1 11104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1
) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
14550, 144sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
14664eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( k  e.  ( M..^ N )  <-> 
k  e.  ( M ... ( N  - 
1 ) ) ) )
147146biimpar 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  k  e.  ( M..^ N ) )
148147, 93syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  /\  k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) )  ->  ( A  x.  V )  e.  CC )
149145, 148, 18fsum1p 13530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V )  =  ( ( D  x.  Y
)  +  sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) ) )
15064sumeq1d 13485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V ) )
15181oveq2d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 ) ... ( N  -  1 ) ) ( A  x.  V
) ) )
152149, 150, 1513eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  ( ( D  x.  Y )  +  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) ) )
153143, 152eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V ) )
154 oveq12 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  B  /\  V  =  W )  ->  ( A  x.  V
)  =  ( B  x.  W ) )
155117, 154syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  j  ->  ( A  x.  V )  =  ( B  x.  W ) )
156155cbvsumv 13480 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( M..^ N ) ( A  x.  V
)  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
)
157153, 156syl6eq 2524 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y
) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) )
158157oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V )  +  ( D  x.  Y ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
159136, 95, 140subsub4d 9960 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  ( sum_ k  e.  ( ( M  + 
1 )..^ N ) ( A  x.  V
)  +  ( D  x.  Y ) ) ) )
160117simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  V  =  W )
161160eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( V  e.  CC  <->  W  e.  CC ) )
162161rspccva 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( M ... N ) V  e.  CC  /\  j  e.  ( M ... N ) )  ->  W  e.  CC )
16334, 116, 162syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  W  e.  CC )
164121, 125, 163subdid 10011 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  ( X  -  W
) )  =  ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
165164sumeq2dv 13487 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) ) )
166121, 163mulcld 9615 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( M..^ N ) )  ->  ( B  x.  W )  e.  CC )
167129, 131, 166fsumsub 13565 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( B  x.  X
)  -  ( B  x.  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
168165, 167eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X
)  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W
) ) )
169168adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  W ) ) )
170158, 159, 1693eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  ( ( sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  X )  -  sum_ k  e.  ( ( M  +  1 )..^ N ) ( A  x.  V ) )  -  ( D  x.  Y ) )  = 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) ) )
171139, 142, 1703eqtrrd 2513 . 2  |-  ( (
ph  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) )  ->  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W )
)  =  ( ( ( E  x.  Z
)  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B
)  x.  X ) ) )
172 uzp1 11114 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  ( ZZ>= `  ( M  +  1 ) ) ) )
1739, 172syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( N  =  M  \/  N  e.  (
ZZ>= `  ( M  + 
1 ) ) ) )
17447, 171, 173mpjaodan 784 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( B  x.  ( X  -  W ) )  =  ( ( ( E  x.  Z )  -  ( D  x.  Y ) )  -  sum_ j  e.  ( M..^ N ) ( ( C  -  B )  x.  X ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    x. cmul 9496    - cmin 9804   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671  ..^cfzo 11791   sum_csu 13470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  23419  selberg2lem  23479  logdivbnd  23485  pntrsumo1  23494  pntrlog2bndlem2  23507  pntrlog2bndlem4  23509
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