MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Structured version   Unicode version

Theorem fsump1i 13349
Description: Optimized version of fsump1 13336 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsump1i.2  |-  N  =  ( K  +  1 )
fsump1i.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
fsump1i.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
fsump1i.5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
fsump1i.6  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
Assertion
Ref Expression
fsump1i  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    S( k)    T( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3  |-  N  =  ( K  +  1 )
2 fsump1i.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
32simpld 459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
4 fsump1i.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleq 2550 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 peano2uz 11014 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
76, 4syl6eleqr 2551 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
91, 8syl5eqel 2544 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
101oveq2i 6206 . . . . 5  |-  ( M ... N )  =  ( M ... ( K  +  1 ) )
1110sumeq1i 13288 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A
12 elfzuz 11561 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 4syl6eleqr 2551 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  Z )
14 fsump1i.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
1513, 14sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
161eqeq2i 2470 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  <->  k  =  ( K  +  1
) )
17 fsump1i.3 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
1816, 17sylbir 213 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  + 
1 )  ->  A  =  B )
195, 15, 18fsump1 13336 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
2011, 19syl5eq 2505 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
212simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S )
2221oveq1d 6210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B )  =  ( S  +  B ) )
23 fsump1i.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
2420, 22, 233eqtrd 2497 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T )
259, 24jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   CCcc 9386   1c1 9389    + caddc 9391   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   sum_csu 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277
This theorem is referenced by:  itgcnlem  21395  vieta1  21906  ipval2  24249  subfacval2  27214
  Copyright terms: Public domain W3C validator