MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsump1i Structured version   Unicode version

Theorem fsump1i 13232
Description: Optimized version of fsump1 13219 for making sums of a concrete number of terms. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsump1i.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fsump1i.2  |-  N  =  ( K  +  1 )
fsump1i.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
fsump1i.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
fsump1i.5  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
fsump1i.6  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
Assertion
Ref Expression
fsump1i  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, K    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hints:    A( k)    S( k)    T( k)    Z( k)

Proof of Theorem fsump1i
StepHypRef Expression
1 fsump1i.2 . . 3  |-  N  =  ( K  +  1 )
2 fsump1i.5 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S ) )
32simpld 456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  Z )
4 fsump1i.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
53, 4syl6eleq 2531 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  e.  ( ZZ>= `  M ) )
6 peano2uz 10904 . . . . 5  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
76, 4syl6eleqr 2532 . . . 4  |-  ( K  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
85, 7syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  +  1 )  e.  Z )
91, 8syl5eqel 2525 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  Z )
101oveq2i 6101 . . . . 5  |-  ( M ... N )  =  ( M ... ( K  +  1 ) )
1110sumeq1i 13171 . . . 4  |-  sum_ k  e.  ( M ... N
) A  =  sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A
12 elfzuz 11445 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1312, 4syl6eleqr 2532 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... ( K  +  1
) )  ->  k  e.  Z )
14 fsump1i.4 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  A  e.  CC )
1513, 14sylan2 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
161eqeq2i 2451 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  <->  k  =  ( K  +  1
) )
17 fsump1i.3 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
1816, 17sylbir 213 . . . . 5  |-  ( k  =  ( K  + 
1 )  ->  A  =  B )
195, 15, 18fsump1 13219 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( K  +  1 ) ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
2011, 19syl5eq 2485 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B ) )
212simprd 460 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... K ) A  =  S )
2221oveq1d 6105 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... K ) A  +  B )  =  ( S  +  B ) )
23 fsump1i.6 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  +  B
)  =  T )
2420, 22, 233eqtrd 2477 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T )
259, 24jca 529 1  |-  ( ph  ->  ( N  e.  Z  /\  sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   1c1 9279    + caddc 9281   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  itgcnlem  21226  vieta1  21737  ipval2  24037  subfacval2  27005
  Copyright terms: Public domain W3C validator