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Theorem fsumo1 13949
Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set  B does not depend on  x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumo1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumo1.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumo1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumo1.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
fsumo1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3437 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumo1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 13832 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 13864 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
87eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) )
93, 8imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) ) )
109imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) ) ) )
11 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
12 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1312mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
1413eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )
1511, 14imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <-> 
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) ) )
1615imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) ) ) )
17 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
18 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
1918mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
2019eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) )
2117, 20imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
2221imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
23 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
24 sumeq1 13832 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
2524mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
2625eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  O(1) ) )
2723, 26imbi12d 327 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <-> 
( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) ) ) )
2827imbi2d 323 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <-> 
( ph  ->  ( B 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  O(1) ) ) ) )
29 fsumo1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
30 0cn 9653 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
31 o1const 13760 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) )
3229, 30, 31sylancl 675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) )
3332a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) )
34 ssun1 3588 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
35 sstr 3426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
3634, 35mpan 684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
3736imim1i 59 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )
38 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
39 disjsn 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4038, 39sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
432adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
44 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
45 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4643, 44, 45syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4746adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4844sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
4948adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
50 fsumo1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5150anass1rs 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
52 fsumo1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
5351, 52o1mptrcl 13763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5453an32s 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5554adantllr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5649, 55syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
5741, 42, 47, 56fsumsplit 13883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
58 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
59 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
60 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
6158, 59, 60cbvsumi 13840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
6244unssbd 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
63 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
6463snss 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
6562, 64sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
6755ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
68 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6968nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
70 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7170eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
7269, 71rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7366, 67, 72sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
74 csbeq1 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7574sumsn 13884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7666, 73, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7761, 76syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
7877oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
7957, 78eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
8079mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
8129adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  C_  RR )
82 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  e.  _V
8382ssex 4540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
8481, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  e.  _V )
85 sumex 13831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  y  C  e.  _V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  y  C  e.  _V )
87 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C ) )
88 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
8984, 86, 73, 87, 88offval2 6567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9080, 89eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
92 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )
9352ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
95 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k A
9695, 68nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
9796nfel1 2626 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1)
9870mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
9998eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  O(1) ) )
10097, 99rspc 3130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1)  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1) ) )
10165, 94, 100sylc 61 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1) )
102 o1add 13754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O(1) )
10392, 101, 102syl2anr 486 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O(1) )
10491, 103eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) )
105104ex 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) )
106105expr 626 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
107106a2d 28 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
10837, 107syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
109108expcom 442 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
110109a2d 28 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
111110adantl 473 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
11210, 16, 22, 28, 33, 111findcard2s 7830 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) ) ) )
1132, 112mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) ) )
1141, 113mpi 20 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959    |-> cmpt 4454  (class class class)co 6308    oFcof 6548   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560   O(1)co1 13627   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-o1 13631  df-sum 13830
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