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Theorem fsumo1 13396
Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set  B does not depend on  x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumo1.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
fsumo1.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
fsumo1.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
fsumo1.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
Assertion
Ref Expression
fsumo1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3486 . 2  |-  B  C_  B
2 fsumo1.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3488 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( w 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 13287 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 13319 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  (/)  ->  sum_ k  e.  w  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
87eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) )
93, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <->  ( ph  ->  (
(/)  C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) ) ) )
11 sseq1 3488 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
w  C_  B  <->  y  C_  B ) )
12 sumeq1 13287 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  y  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  y  C )
1312mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( w  =  y  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )
)
1413eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( w  =  y  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )
1511, 14imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  y  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <-> 
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) ) )
1615imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  y  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <-> 
( ph  ->  ( y 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) ) ) )
17 sseq1 3488 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( w  C_  B 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )
18 sumeq1 13287 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  ( y  u.  {
z } ) C )
1918mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C ) )
2019eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <-> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) )
2117, 20imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <->  ( (
y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
2221imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
23 sseq1 3488 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
w  C_  B  <->  B  C_  B
) )
24 sumeq1 13287 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
2524mpteq2dv 4490 . . . . . . 7  |-  ( w  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
2625eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( w  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  O(1) ) )
2723, 26imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( w  =  B  ->  (
( w  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) )  <-> 
( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) ) ) )
2827imbi2d 316 . . . 4  |-  ( w  =  B  ->  (
( ph  ->  ( w 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  O(1) ) )  <-> 
( ph  ->  ( B 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  O(1) ) ) ) )
29 fsumo1.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
30 0cn 9492 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
31 o1const 13218 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  0  e.  CC )  ->  (
x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) )
3229, 30, 31sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) )
3332a1d 25 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( x  e.  A  |->  0 )  e.  O(1) ) )
34 ssun1 3630 . . . . . . . . . 10  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
35 sstr 3475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  ( y  u.  { z } )  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B )  -> 
y  C_  B )
3634, 35mpan 670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  y  C_  B )
3736imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )
38 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  -.  z  e.  y
)
39 disjsn 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  y )
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  i^i  {
z } )  =  (/) )
42 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  =  ( y  u.  {
z } ) )
432adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  B  e.  Fin )
44 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  C_  B )
45 ssfi 7647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
4643, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
4844sselda 3467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  k  e.  ( y  u.  { z } ) )  ->  k  e.  B )
4948adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  k  e.  B
)
50 fsumo1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
5150anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
52 fsumo1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
5351, 52o1mptrcl 13221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
5453an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5554adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5649, 55syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  k  e.  ( y  u.  {
z } ) )  ->  C  e.  CC )
5741, 42, 47, 56fsumsplit 13337 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
) )
58 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ w C
59 nfcsb1v 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ k [_ w  /  k ]_ C
60 csbeq1a 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  w  ->  C  =  [_ w  /  k ]_ C )
6158, 59, 60cbvsumi 13295 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  sum_ k  e.  { z } C  =  sum_ w  e.  {
z } [_ w  /  k ]_ C
6244unssbd 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  { z }  C_  B )
63 vex 3081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  z  e. 
_V
6463snss 4110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
6562, 64sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
z  e.  B )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
6755ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
68 nfcsb1v 3414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k [_ z  /  k ]_ C
6968nfel1 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/ k
[_ z  /  k ]_ C  e.  CC
70 csbeq1a 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  z  ->  C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7170eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  z  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
7269, 71rspc 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
7366, 67, 72sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
74 csbeq1 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( w  =  z  ->  [_ w  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
7574sumsn 13338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  B  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7666, 73, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ w  e.  { z } [_ w  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
7761, 76syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  {
z } C  = 
[_ z  /  k ]_ C )
7877oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ k  e.  y  C  +  sum_ k  e.  { z } C
)  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
7957, 78eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C  =  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
8079mpteq2dva 4489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C ) ) )
8129adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  C_  RR )
82 reex 9487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  e.  _V
8382ssex 4547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A 
C_  RR  ->  A  e. 
_V )
8481, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A  e.  _V )
85 sumex 13286 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ k  e.  y  C  e.  _V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  y  C  e.  _V )
87 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C ) )
88 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
8984, 86, 73, 87, 88offval2 6449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ k  e.  y  C  +  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9080, 89eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
9190adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  =  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) ) )
92 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )
9352ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1) )
95 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ k A
9695, 68nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )
9796nfel1 2632 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1)
9870mpteq2dv 4490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
9998eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1)  <->  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  O(1) ) )
10097, 99rspc 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  O(1)  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1) ) )
10165, 94, 100sylc 60 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1) )
102 o1add 13212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  /\  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O(1) )
10392, 101, 102syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  oF  +  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )  e.  O(1) )
10491, 103eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) )
105104ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  y  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  B ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  -> 
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) )
106105expr 615 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
107106a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
10837, 107syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  y )  ->  (
( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  ->  ( ( y  u.  { z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) )
109108expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ph  ->  ( ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
110109a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  z  e.  y  -> 
( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
111110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( ( ph  ->  ( y  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  y  C )  e.  O(1) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( y  u.  { z } ) C )  e.  O(1) ) ) ) )
11210, 16, 22, 28, 33, 111findcard2s 7667 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) ) ) )
1132, 112mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) ) )
1141, 113mpi 17 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  O(1) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   [_csb 3398    u. cun 3437    i^i cin 3438    C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988    |-> cmpt 4461  (class class class)co 6203    oFcof 6431   Fincfn 7423   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396    + caddc 9399   O(1)co1 13085   sum_csu 13284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-o1 13089  df-sum 13285
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