Theorem fsumo1 13606

Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set B does not depend on x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumo1.1	|- ( ph -> A C_ RR )
fsumo1.2	|- ( ph -> B e. Fin )
fsumo1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
fsumo1.4	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
fsumo1	|- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3528	. 2 |- B C_ B
2		fsumo1.2	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
3		sseq1 3530	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ B <-> (/) C_ B ) )
4		sumeq1 13491	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. (/) C )
5		sum0 13523	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. (/) C = 0
6	4, 5	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = 0 )
7	6	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> 0 ) )
8	7	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
9	3, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) ) )
11		sseq1 3530	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ B <-> y C_ B ) )
12		sumeq1 13491	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w C = sum_ k e. y C )
13	12	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
14	13	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
15	11, 14	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) ) )
17		sseq1 3530	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ B <-> ( y u. { z } ) C_ B ) )
18		sumeq1 13491	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. ( y u. { z } ) C )
19	18	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
20	19	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
21	17, 20	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
22	21	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
23		sseq1 3530	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ B <-> B C_ B ) )
24		sumeq1 13491	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> sum_ k e. w C = sum_ k e. B C )
25	24	mpteq2dv 4540	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) )
26	25	eleq1d 2536	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
27	23, 26	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
28	27	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) ) )
29		fsumo1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
30		0cn 9600	. . . . . 6 |- 0 e. CC
31		o1const 13422	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ 0 e. CC ) -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
33	32	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
34		ssun1 3672	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
35		sstr 3517	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> y C_ B )
36	34, 35	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ B -> y C_ B )
37	36	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
38		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> -. z e. y )
39		disjsn 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
42		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
43	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> B e. Fin )
44		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) C_ B )
45		ssfi 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
46	43, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	44	sselda 3509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
49	48	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
50		fsumo1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
51	50	anass1rs 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. V )
52		fsumo1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
53	51, 52	o1mptrcl 13425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. CC )
54	53	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
55	54	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
56	49, 55	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> C e. CC )
57	41, 42, 47, 56	fsumsplit 13542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) )
58		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ w C
59		nfcsb1v 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k [_ w / k ]_ C
60		csbeq1a 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = w -> C = [_ w / k ]_ C )
61	58, 59, 60	cbvsumi 13499	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { z } C = sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C
62	44	unssbd 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> { z } C_ B )
63		vex 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
64	63	snss 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B <-> { z } C_ B )
65	62, 64	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> z e. B )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> z e. B )
67	55	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
68		nfcsb1v 3456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
69	68	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. CC
70		csbeq1a 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
71	70	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( C e. CC <-> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
72	69, 71	rspc 3213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
73	66, 67, 72	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
74		csbeq1 3443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = z -> [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
75	74	sumsn 13543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. B /\ [_ z / k ]_ C e. CC ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
76	66, 73, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
77	61, 76	syl5eq 2520	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. { z } C = [_ z / k ]_ C )
78	77	oveq2d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
79	57, 78	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
80	79	mpteq2dva 4539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
81	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A C_ RR )
82		reex 9595	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
83	82	ssex 4597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
84	81, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A e. _V )
85		sumex 13490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ k e. y C e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. y C e. _V )
87		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
88		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
89	84, 86, 73, 87, 88	offval2 6551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
90	80, 89	eqtr4d 2511	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) )
93	52	ralrimiva 2881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
95		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k A
96	95, 68	nfmpt 4541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C )
97	96	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1)
98	70	mpteq2dv 4540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
99	98	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. A |-> C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
100	97, 99	rspc 3213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
101	65, 94, 100	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) )
102		o1add 13416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) /\ ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
103	92, 101, 102	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
104	91, 103	eqeltrd 2555	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) )
105	104	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
106	105	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
107	106	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
108	37, 107	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
109	108	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
110	109	a2d 26	. . . . 5 |- ( -. z e. y -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
111	110	adantl 466	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
112	10, 16, 22, 28, 33, 111	findcard2s 7773	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
113	2, 112	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
114	1, 113	mpi 17	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   [_csb 3440   u. cun 3479   i^i cin 3480   C_ wss 3481   (/)c0 3790   {csn 4033   |-> cmpt 4511  (class class class)co 6295   oFcof 6533   Fincfn 7528   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   + caddc 9507   O(1)co1 13289   sum_csu 13488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-ico 11547  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-o1 13293  df-sum 13489

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  23563