Theorem fsumo1 13872

Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set B does not depend on x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumo1.1	|- ( ph -> A C_ RR )
fsumo1.2	|- ( ph -> B e. Fin )
fsumo1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
fsumo1.4	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
fsumo1	|- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3451	. 2 |- B C_ B
2		fsumo1.2	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
3		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ B <-> (/) C_ B ) )
4		sumeq1 13755	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. (/) C )
5		sum0 13787	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. (/) C = 0
6	4, 5	syl6eq 2501	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = 0 )
7	6	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> 0 ) )
8	7	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
9	3, 8	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) )
10	9	imbi2d 318	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) ) )
11		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ B <-> y C_ B ) )
12		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w C = sum_ k e. y C )
13	12	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
14	13	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
15	11, 14	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) )
16	15	imbi2d 318	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) ) )
17		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ B <-> ( y u. { z } ) C_ B ) )
18		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. ( y u. { z } ) C )
19	18	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
20	19	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
21	17, 20	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
22	21	imbi2d 318	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
23		sseq1 3453	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ B <-> B C_ B ) )
24		sumeq1 13755	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> sum_ k e. w C = sum_ k e. B C )
25	24	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) )
26	25	eleq1d 2513	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
27	23, 26	imbi12d 322	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
28	27	imbi2d 318	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) ) )
29		fsumo1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
30		0cn 9635	. . . . . 6 |- 0 e. CC
31		o1const 13683	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ 0 e. CC ) -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
33	32	a1d 26	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
34		ssun1 3597	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
35		sstr 3440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> y C_ B )
36	34, 35	mpan 676	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ B -> y C_ B )
37	36	imim1i 60	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
38		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> -. z e. y )
39		disjsn 4032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
40	38, 39	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
41	40	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
42		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
43	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> B e. Fin )
44		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) C_ B )
45		ssfi 7792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
46	43, 44, 45	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
47	46	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	44	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
49	48	adantlr 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
50		fsumo1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
51	50	anass1rs 816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. V )
52		fsumo1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
53	51, 52	o1mptrcl 13686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. CC )
54	53	an32s 813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
55	54	adantllr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
56	49, 55	syldan 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> C e. CC )
57	41, 42, 47, 56	fsumsplit 13806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) )
58		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ w C
59		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k [_ w / k ]_ C
60		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = w -> C = [_ w / k ]_ C )
61	58, 59, 60	cbvsumi 13763	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { z } C = sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C
62	44	unssbd 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> { z } C_ B )
63		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
64	63	snss 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B <-> { z } C_ B )
65	62, 64	sylibr 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> z e. B )
66	65	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> z e. B )
67	55	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
68		nfcsb1v 3379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
69	68	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. CC
70		csbeq1a 3372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
71	70	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( C e. CC <-> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
72	69, 71	rspc 3144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
73	66, 67, 72	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
74		csbeq1 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = z -> [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
75	74	sumsn 13807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. B /\ [_ z / k ]_ C e. CC ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
76	66, 73, 75	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
77	61, 76	syl5eq 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. { z } C = [_ z / k ]_ C )
78	77	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
79	57, 78	eqtrd 2485	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
80	79	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
81	29	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A C_ RR )
82		reex 9630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
83	82	ssex 4547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
84	81, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A e. _V )
85		sumex 13754	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ k e. y C e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. y C e. _V )
87		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
88		eqidd 2452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
89	84, 86, 73, 87, 88	offval2 6548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
90	80, 89	eqtr4d 2488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
91	90	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) )
93	52	ralrimiva 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
94	93	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
95		nfcv 2592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k A
96	95, 68	nfmpt 4491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C )
97	96	nfel1 2606	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1)
98	70	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
99	98	eleq1d 2513	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. A |-> C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
100	97, 99	rspc 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
101	65, 94, 100	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) )
102		o1add 13677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) /\ ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
103	92, 101, 102	syl2anr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
104	91, 103	eqeltrd 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) )
105	104	ex 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
106	105	expr 620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
107	106	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
108	37, 107	syl5 33	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
109	108	expcom 437	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
110	109	a2d 29	. . . . 5 |- ( -. z e. y -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
111	110	adantl 468	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
112	10, 16, 22, 28, 33, 111	findcard2s 7812	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
113	2, 112	mpcom 37	. 2 |- ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
114	1, 113	mpi 20	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   |-> cmpt 4461  (class class class)co 6290   oFcof 6529   Fincfn 7569   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   + caddc 9542   O(1)co1 13550   sum_csu 13752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-o1 13554  df-sum 13753

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  24350