Theorem fsumo1 12546

Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set B does not depend on x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumo1.1	|- ( ph -> A C_ RR )
fsumo1.2	|- ( ph -> B e. Fin )
fsumo1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
fsumo1.4	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O ( 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
fsumo1	|- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3327	. 2 |- B C_ B
2		fsumo1.2	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
3		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ B <-> (/) C_ B ) )
4		sumeq1 12438	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. (/) C )
5		sum0 12470	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. (/) C = 0
6	4, 5	syl6eq 2452	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = 0 )
7	6	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> 0 ) )
8	7	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. A |-> 0 ) e. O ( 1 ) ) )
9	3, 8	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) <-> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O ( 1 ) ) ) )
10	9	imbi2d 308	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
11		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ B <-> y C_ B ) )
12		sumeq1 12438	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w C = sum_ k e. y C )
13	12	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
14	13	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) )
15	11, 14	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) <-> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 308	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
17		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ B <-> ( y u. { z } ) C_ B ) )
18		sumeq1 12438	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. ( y u. { z } ) C )
19	18	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
20	19	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) )
21	17, 20	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) )
22	21	imbi2d 308	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
23		sseq1 3329	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ B <-> B C_ B ) )
24		sumeq1 12438	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> sum_ k e. w C = sum_ k e. B C )
25	24	mpteq2dv 4256	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) )
26	25	eleq1d 2470	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) ) )
27	23, 26	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) <-> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) ) ) )
28	27	imbi2d 308	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O ( 1 ) ) ) <-> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
29		fsumo1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
30		0cn 9040	. . . . . 6 |- 0 e. CC
31		o1const 12368	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ 0 e. CC ) -> ( x e. A |-> 0 ) e. O ( 1 ) )
32	29, 30, 31	sylancl 644	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. O ( 1 ) )
33	32	a1d 23	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O ( 1 ) ) )
34		ssun1 3470	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
35		sstr 3316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> y C_ B )
36	34, 35	mpan 652	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ B -> y C_ B )
37	36	imim1i 56	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) )
38		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> -. z e. y )
39		disjsn 3828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
40	38, 39	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
41	40	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
42		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
43	2	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> B e. Fin )
44		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) C_ B )
45		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
46	43, 44, 45	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
47	46	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	44	sselda 3308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
49	48	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
50		fsumo1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
51	50	anass1rs 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. V )
52		fsumo1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O ( 1 ) )
53	51, 52	o1mptrcl 12371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. CC )
54	53	an32s 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
55	54	adantllr 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
56	49, 55	syldan 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> C e. CC )
57	41, 42, 47, 56	fsumsplit 12488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) )
58		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ w C
59		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k [_ w / k ]_ C
60		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = w -> C = [_ w / k ]_ C )
61	58, 59, 60	cbvsumi 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { z } C = sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C
62	44	unssbd 3485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> { z } C_ B )
63		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
64	63	snss 3886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B <-> { z } C_ B )
65	62, 64	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> z e. B )
66	65	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> z e. B )
67	55	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
68		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
69	68	nfel1 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. CC
70		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
71	70	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( C e. CC <-> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
72	69, 71	rspc 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
73	66, 67, 72	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
74		csbeq1 3214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = z -> [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
75	74	sumsn 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. B /\ [_ z / k ]_ C e. CC ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
76	66, 73, 75	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
77	61, 76	syl5eq 2448	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. { z } C = [_ z / k ]_ C )
78	77	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
79	57, 78	eqtrd 2436	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
80	79	mpteq2dva 4255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
81	29	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A C_ RR )
82		reex 9037	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
83	82	ssex 4307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
84	81, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A e. _V )
85		sumex 12436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ k e. y C e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. y C e. _V )
87		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
88		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
89	84, 86, 73, 87, 88	offval2 6281	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) o F + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
90	80, 89	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) o F + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
91	90	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) o F + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
92		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) )
93	52	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O ( 1 ) )
94	93	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O ( 1 ) )
95		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k A
96	95, 68	nfmpt 4257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C )
97	96	nfel1 2550	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O ( 1 )
98	70	mpteq2dv 4256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
99	98	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. A |-> C ) e. O ( 1 ) <-> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O ( 1 ) ) )
100	97, 99	rspc 3006	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O ( 1 ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O ( 1 ) ) )
101	65, 94, 100	sylc 58	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O ( 1 ) )
102		o1add 12362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) /\ ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O ( 1 ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) o F + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O ( 1 ) )
103	92, 101, 102	syl2anr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) o F + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O ( 1 ) )
104	91, 103	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) )
105	104	ex 424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) )
106	105	expr 599	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) )
107	106	a2d 24	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) )
108	37, 107	syl5 30	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) )
109	108	expcom 425	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
110	109	a2d 24	. . . . 5 |- ( -. z e. y -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
111	110	adantl 453	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O ( 1 ) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O ( 1 ) ) ) ) )
112	10, 16, 22, 28, 33, 111	findcard2s 7308	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) ) ) )
113	2, 112	mpcom 34	. 2 |- ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) ) )
114	1, 113	mpi 17	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O ( 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   u. cun 3278   i^i cin 3279   C_ wss 3280   (/)c0 3588   {csn 3774   e. cmpt 4226  (class class class)co 6040   o Fcof 6262   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   O ( 1 )co1 12235   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  21159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-o1 12239  df-sum 12435