Theorem fsumo1 13396

Description: The finite sum of eventually bounded functions (where the index set B does not depend on x) is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2016.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumo1.1	|- ( ph -> A C_ RR )
fsumo1.2	|- ( ph -> B e. Fin )
fsumo1.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
fsumo1.4	|- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )

Assertion

Ref	Expression
fsumo1	|- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, k, A   B, k, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   C( x, k)   V( x, k)

Proof of Theorem fsumo1

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3486	. 2 |- B C_ B
2		fsumo1.2	. . 3 |- ( ph -> B e. Fin )
3		sseq1 3488	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( w C_ B <-> (/) C_ B ) )
4		sumeq1 13287	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. (/) C )
5		sum0 13319	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. (/) C = 0
6	4, 5	syl6eq 2511	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> sum_ k e. w C = 0 )
7	6	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> 0 ) )
8	7	eleq1d 2523	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
9	3, 8	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) )
10	9	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) ) ) )
11		sseq1 3488	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w C_ B <-> y C_ B ) )
12		sumeq1 13287	. . . . . . . 8 |- ( w = y -> sum_ k e. w C = sum_ k e. y C )
13	12	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = y -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
14	13	eleq1d 2523	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
15	11, 14	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = y -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) ) )
17		sseq1 3488	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w C_ B <-> ( y u. { z } ) C_ B ) )
18		sumeq1 13287	. . . . . . . 8 |- ( w = ( y u. { z } ) -> sum_ k e. w C = sum_ k e. ( y u. { z } ) C )
19	18	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) )
20	19	eleq1d 2523	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
21	17, 20	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
22	21	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
23		sseq1 3488	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( w C_ B <-> B C_ B ) )
24		sumeq1 13287	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> sum_ k e. w C = sum_ k e. B C )
25	24	mpteq2dv 4490	. . . . . . 7 |- ( w = B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) )
26	25	eleq1d 2523	. . . . . 6 |- ( w = B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
27	23, 26	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( w = B -> ( ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) <-> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
28	27	imbi2d 316	. . . 4 |- ( w = B -> ( ( ph -> ( w C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. w C ) e. O(1) ) ) <-> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) ) )
29		fsumo1.1	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ RR )
30		0cn 9492	. . . . . 6 |- 0 e. CC
31		o1const 13218	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ 0 e. CC ) -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
32	29, 30, 31	sylancl 662	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) )
33	32	a1d 25	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) C_ B -> ( x e. A |-> 0 ) e. O(1) ) )
34		ssun1 3630	. . . . . . . . . 10 |- y C_ ( y u. { z } )
35		sstr 3475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y C_ ( y u. { z } ) /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> y C_ B )
36	34, 35	mpan 670	. . . . . . . . 9 |- ( ( y u. { z } ) C_ B -> y C_ B )
37	36	imim1i 58	. . . . . . . 8 |- ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) )
38		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> -. z e. y )
39		disjsn 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
40	38, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
41	40	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
42		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) = ( y u. { z } ) )
43	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> B e. Fin )
44		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) C_ B )
45		ssfi 7647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. Fin /\ ( y u. { z } ) C_ B ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
46	43, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
47	46	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
48	44	sselda 3467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
49	48	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> k e. B )
50		fsumo1.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ k e. B ) ) -> C e. V )
51	50	anass1rs 805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. V )
52		fsumo1.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
53	51, 52	o1mptrcl 13221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. B ) /\ x e. A ) -> C e. CC )
54	53	an32s 802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
55	54	adantllr 718	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. B ) -> C e. CC )
56	49, 55	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) /\ k e. ( y u. { z } ) ) -> C e. CC )
57	41, 42, 47, 56	fsumsplit 13337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) )
58		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ w C
59		nfcsb1v 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k [_ w / k ]_ C
60		csbeq1a 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k = w -> C = [_ w / k ]_ C )
61	58, 59, 60	cbvsumi 13295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. { z } C = sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C
62	44	unssbd 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> { z } C_ B )
63		vex 3081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- z e. _V
64	63	snss 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. B <-> { z } C_ B )
65	62, 64	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> z e. B )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> z e. B )
67	55	ralrimiva 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> A. k e. B C e. CC )
68		nfcsb1v 3414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k [_ z / k ]_ C
69	68	nfel1 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k [_ z / k ]_ C e. CC
70		csbeq1a 3407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = z -> C = [_ z / k ]_ C )
71	70	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = z -> ( C e. CC <-> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
72	69, 71	rspc 3173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. B -> ( A. k e. B C e. CC -> [_ z / k ]_ C e. CC ) )
73	66, 67, 72	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> [_ z / k ]_ C e. CC )
74		csbeq1 3401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = z -> [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
75	74	sumsn 13338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. B /\ [_ z / k ]_ C e. CC ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
76	66, 73, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ w e. { z } [_ w / k ]_ C = [_ z / k ]_ C )
77	61, 76	syl5eq 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. { z } C = [_ z / k ]_ C )
78	77	oveq2d 6219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> ( sum_ k e. y C + sum_ k e. { z } C ) = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
79	57, 78	eqtrd 2495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. ( y u. { z } ) C = ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) )
80	79	mpteq2dva 4489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
81	29	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A C_ RR )
82		reex 9487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- RR e. _V
83	82	ssex 4547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A C_ RR -> A e. _V )
84	81, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A e. _V )
85		sumex 13286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- sum_ k e. y C e. _V
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ x e. A ) -> sum_ k e. y C e. _V )
87		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) = ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) )
88		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
89	84, 86, 73, 87, 88	offval2 6449	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) = ( x e. A |-> ( sum_ k e. y C + [_ z / k ]_ C ) ) )
90	80, 89	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
91	90	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) = ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) )
92		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) )
93	52	ralrimiva 2830	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) )
95		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ k A
96	95, 68	nfmpt 4491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C )
97	96	nfel1 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1)
98	70	mpteq2dv 4490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> ( x e. A |-> C ) = ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) )
99	98	eleq1d 2523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( ( x e. A |-> C ) e. O(1) <-> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
100	97, 99	rspc 3173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. B -> ( A. k e. B ( x e. A |-> C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) )
101	65, 94, 100	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) )
102		o1add 13212	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) /\ ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
103	92, 101, 102	syl2anr 478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) oF + ( x e. A |-> [_ z / k ]_ C ) ) e. O(1) )
104	91, 103	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) /\ ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) )
105	104	ex 434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( -. z e. y /\ ( y u. { z } ) C_ B ) ) -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) )
106	105	expr 615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
107	106	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
108	37, 107	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. z e. y ) -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) )
109	108	expcom 435	. . . . . 6 |- ( -. z e. y -> ( ph -> ( ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
110	109	a2d 26	. . . . 5 |- ( -. z e. y -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
111	110	adantl 466	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( y C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. y C ) e. O(1) ) ) -> ( ph -> ( ( y u. { z } ) C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. ( y u. { z } ) C ) e. O(1) ) ) ) )
112	10, 16, 22, 28, 33, 111	findcard2s 7667	. . 3 |- ( B e. Fin -> ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) ) )
113	2, 112	mpcom 36	. 2 |- ( ph -> ( B C_ B -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) ) )
114	1, 113	mpi 17	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> sum_ k e. B C ) e. O(1) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   [_csb 3398   u. cun 3437   i^i cin 3438   C_ wss 3439   (/)c0 3748   {csn 3988   |-> cmpt 4461  (class class class)co 6203   oFcof 6431   Fincfn 7423   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   + caddc 9399   O(1)co1 13085   sum_csu 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-o1 13089  df-sum 13285

This theorem is referenced by:  rpvmasum2  22897