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Theorem fsummulc2 13370
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 9680 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 13285 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 13317 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 6217 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 13285 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 13317 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2476 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 9476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
15 adddi 9483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( n  +  m ) )  =  ( ( C  x.  n )  +  ( C  x.  m ) ) )
16153expb 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
1714, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
18 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
19 nnuz 11008 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19syl6eleq 2552 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
22 eqid 2454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2321, 22fmptd 5977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
25 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
29 fco 5677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> CC )
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
3230, 31ffvelrnd 5954 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3328, 31ffvelrnd 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
351adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3635, 21mulcld 9518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
37 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
3837fvmpt2 5891 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 k )  =  ( C  x.  B
) )
3934, 36, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  B ) )
4022fvmpt2 5891 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4134, 21, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4241oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  B ) )
4339, 42eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 k ) ) )
4443ralrimiva 2830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
46 nffvmpt1 5808 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )
47 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k C
48 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  x.
49 nffvmpt1 5808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
5047, 48, 49nfov 6224 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
5146, 50nfeq 2627 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
52 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
53 fveq2 5800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
5453oveq2d 6217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) ) ) )
5552, 54eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) ) ) )
5651, 55rspc 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) ) ) )
5733, 45, 56sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
5827ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
59 fvco3 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
6058, 59sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
61 fvco3 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6258, 61sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6362oveq2d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( C  x.  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
6457, 60, 633eqtr4d 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )
) )
6513, 17, 20, 32, 64seqdistr 11975 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( C  x.  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) ) )
66 fveq2 5800 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
6736, 37fmptd 5977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
6867adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC )
6968ffvelrnda 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  e.  CC )
7066, 18, 25, 69, 60fsum 13316 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
71 fveq2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7223adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7471, 18, 25, 73, 62fsum 13316 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7574oveq2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( C  x.  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
7665, 70, 753eqtr4rd 2506 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
77 sumfc 13305 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
7877oveq2i 6212 . . . . . 6  |-  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)
79 sumfc 13305 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)
8076, 78, 793eqtr3g 2518 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
8180expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
8281exlimdv 1691 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
8382expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
84 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
85 fz1f1o 13306 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8684, 85syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8711, 83, 86mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   (/)c0 3746    |-> cmpt 4459    o. ccom 4953   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Fincfn 7421   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399   NNcn 10434   ZZ>=cuz 10973   ...cfz 11555    seqcseq 11924   #chash 12221   sum_csu 13282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283
This theorem is referenced by:  fsummulc1  13371  fsumneg  13373  fsum2mul  13375  incexc2  13420  mertens  13465  eirrlem  13605  csbren  21031  trirn  21032  itg1addlem4  21311  itg1addlem5  21312  itg1mulc  21316  elqaalem3  21921  advlogexp  22234  fsumharmonic  22539  basellem8  22559  muinv  22667  fsumdvdsmul  22669  logfaclbnd  22695  dchrsum2  22741  sumdchr2  22743  rplogsumlem2  22868  rpvmasumlem  22870  dchrmusum2  22877  dchrvmasumlem1  22878  dchrvmasum2lem  22879  dchrvmasumlem2  22881  dchrvmasumiflem1  22884  rpvmasum2  22895  dchrisum0lem2  22901  mudivsum  22913  mulogsum  22915  mulog2sumlem1  22917  mulog2sumlem2  22918  mulog2sumlem3  22919  vmalogdivsum2  22921  logsqvma  22925  selberglem1  22928  selberglem2  22929  selberg  22931  selberg3lem1  22940  selberg4lem1  22943  selberg4  22944  selbergr  22951  selberg3r  22952  selberg34r  22954  pntsval2  22959  pntrlog2bndlem2  22961  pntrlog2bndlem3  22962  pntrlog2bndlem4  22963  pntrlog2bndlem6  22966  pntpbnd2  22970  pntlemk  22989  axsegconlem9  23324  ax5seglem1  23327  ax5seglem2  23328  ax5seglem9  23336  binomrisefac  27690  fsumkthpow  28344  jm2.22  29493  stoweidlem26  29970  stirlinglem12  30029  altgsumbcALT  30899
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