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Theorem fsummulc2 13580
Description: A finite sum multiplied by a constant. (Contributed by NM, 12-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsummulc2  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummulc2
Dummy variables  f  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
21mul01d 9782 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
3 sumeq1 13492 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
4 sum0 13524 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
53, 4syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  B  = 
0 )
65oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  ( C  x.  0 ) )
7 sumeq1 13492 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B ) )
8 sum0 13524 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  ( C  x.  B )  =  0
97, 8syl6eq 2500 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )  =  0 )
106, 9eqeq12d 2465 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)  <->  ( C  x.  0 )  =  0 ) )
112, 10syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
12 addcl 9577 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( n  +  m
)  e.  CC )
1312adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( n  +  m )  e.  CC )
141adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  C  e.  CC )
15 adddi 9584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  m  e.  CC )  ->  ( C  x.  ( n  +  m ) )  =  ( ( C  x.  n )  +  ( C  x.  m ) ) )
16153expb 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
1714, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  ( n  e.  CC  /\  m  e.  CC ) )  ->  ( C  x.  ( n  +  m
) )  =  ( ( C  x.  n
)  +  ( C  x.  m ) ) )
18 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  NN )
19 nnuz 11126 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2018, 19syl6eleq 2541 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( # `
 A )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
21 fsummulc2.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2321, 22fmptd 6040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2423ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
25 simprr 757 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A )
27 f1of 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  f :
( 1 ... ( # `
 A ) ) --> A )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
29 fco 5731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC  /\  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> A )  ->  ( (
k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> CC )
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  A ) ) --> CC )
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )
3230, 31ffvelrnd 6017 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  e.  CC )
3328, 31ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( f `  n
)  e.  A )
34 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  k  e.  A )
351adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
3635, 21mulcld 9619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  B )  e.  CC )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  =  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )
3837fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  A  /\  ( C  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 k )  =  ( C  x.  B
) )
3934, 36, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  B ) )
4022fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  A  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k )  =  B )
4134, 21, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  B )
4241oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  B ) )
4339, 42eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 k ) ) )
4443ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) ) )
46 nffvmpt1 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )
47 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k C
48 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k  x.
49 nffvmpt1 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ k
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) )
5047, 48, 49nfov 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k
( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
5146, 50nfeq 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
52 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
53 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  k
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
5453oveq2d 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  ( C  x.  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( f `  n ) ) ) )
5552, 54eqeq12d 2465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( f `  n )  ->  (
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  <->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `
 ( f `  n ) )  =  ( C  x.  (
( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) ) ) )
5651, 55rspc 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f `  n )  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  k )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  k ) )  ->  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `  n
) ) ) ) )
5733, 45, 56sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
5827ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A )
59 fvco3 5935 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
6058, 59sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  (
f `  n )
) )
61 fvco3 5935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  A
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6258, 61sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
f `  n )
) )
6362oveq2d 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( C  x.  (
( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) `  n
) )  =  ( C  x.  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) ) )
6457, 60, 633eqtr4d 2494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) `  n )
) )
6513, 17, 20, 32, 64seqdistr 12139 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (  seq 1 (  +  , 
( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) )  o.  f ) ) `  ( # `  A ) )  =  ( C  x.  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) ) )
66 fveq2 5856 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  ( f `
 n ) ) )
6736, 37fmptd 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) ) : A --> CC )
6867adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) : A --> CC )
6968ffvelrnda 6016 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  e.  CC )
7066, 18, 25, 69, 60fsum 13523 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B
) )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
71 fveq2 5856 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( f `
 n ) ) )
7223adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
7372ffvelrnda 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
7471, 18, 25, 73, 62fsum 13523 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f
) ) `  ( # `
 A ) ) )
7574oveq2d 6297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  ( C  x.  (  seq 1 (  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  f ) ) `
 ( # `  A
) ) ) )
7665, 70, 753eqtr4rd 2495 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 m ) )  =  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m ) )
77 sumfc 13512 . . . . . . 7  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
7877oveq2i 6292 . . . . . 6  |-  ( C  x.  sum_ m  e.  A  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m ) )  =  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)
79 sumfc 13512 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  ( C  x.  B ) ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
)
8076, 78, 793eqtr3g 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 A )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A ) )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( C  x.  B
) )
8180expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) ) )
8281exlimdv 1711 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  A
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  A
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
8382expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  A )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 A ) ) -1-1-onto-> A )  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B )
) )
84 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
85 fz1f1o 13513 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =  (/)  \/  (
( # `  A )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8684, 85syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  =  (/)  \/  ( ( # `  A
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
8711, 83, 86mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( C  x.  sum_ k  e.  A  B
)  =  sum_ k  e.  A  ( C  x.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   (/)c0 3770    |-> cmpt 4495    o. ccom 4993   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500   NNcn 10543   ZZ>=cuz 11091   ...cfz 11682    seqcseq 12088   #chash 12386   sum_csu 13489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-rp 11231  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490
This theorem is referenced by:  fsummulc1  13581  fsumneg  13583  fsum2mul  13585  incexc2  13631  mertens  13676  eirrlem  13918  csbren  21803  trirn  21804  itg1addlem4  22083  itg1addlem5  22084  itg1mulc  22088  elqaalem3  22693  advlogexp  23012  fsumharmonic  23317  basellem8  23337  muinv  23445  fsumdvdsmul  23447  logfaclbnd  23473  dchrsum2  23519  sumdchr2  23521  rplogsumlem2  23646  rpvmasumlem  23648  dchrmusum2  23655  dchrvmasumlem1  23656  dchrvmasum2lem  23657  dchrvmasumlem2  23659  dchrvmasumiflem1  23662  rpvmasum2  23673  dchrisum0lem2  23679  mudivsum  23691  mulogsum  23693  mulog2sumlem1  23695  mulog2sumlem2  23696  mulog2sumlem3  23697  vmalogdivsum2  23699  logsqvma  23703  selberglem1  23706  selberglem2  23707  selberg  23709  selberg3lem1  23718  selberg4lem1  23721  selberg4  23722  selbergr  23729  selberg3r  23730  selberg34r  23732  pntsval2  23737  pntrlog2bndlem2  23739  pntrlog2bndlem3  23740  pntrlog2bndlem4  23741  pntrlog2bndlem6  23744  pntpbnd2  23748  pntlemk  23767  axsegconlem9  24204  ax5seglem1  24207  ax5seglem2  24208  ax5seglem9  24216  binomrisefac  29139  fsumkthpow  29793  jm2.22  30912  stoweidlem26  31697  stirlinglem12  31756  fourierdlem83  31861  altgsumbcALT  32675
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