Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummmodsnunz Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsummmodsnunz 39140
Description: A finite sum of summands modulo a positive number with an additional summand is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsummmodsnunz  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem fsummmodsnunz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2603 . . 3  |-  F/_ x
( B  mod  N
)
2 nfcsb1v 3391 . . 3  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)
3 csbeq1a 3384 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  ( B  mod  N )  = 
[_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
) )
41, 2, 3cbvsumi 13812 . 2  |-  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  =  sum_ x  e.  ( A  u.  { z } ) [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )
5 snfi 7676 . . . . 5  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7864 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
75, 6mpan2 682 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )
873ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
9 rspcsbela 3807 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  { z } )  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
109expcom 441 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( x  e.  ( A  u.  { z } )  ->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  ZZ ) )
11103ad2ant3 1037 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( A  u.  {
z } )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ ) )
1211imp 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  u.  { z } ) )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
13 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
14 csbov1g 6352 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)
16 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
17 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
1816, 17zmodcld 12149 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  NN0 )
1918nn0zd 11067 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  ZZ )
2015, 19syl5eqel 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
2120ex 440 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ ) )
22213ad2ant2 1036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  / 
k ]_ ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
2322adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  u.  { z } ) )  -> 
( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ ) )
2412, 23mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  u.  { z } ) )  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
258, 24fsumzcl 13850 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ x  e.  ( A  u.  { z } ) [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  e.  ZZ )
264, 25syl5eqel 2544 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   [_csb 3375    u. cun 3414   {csn 3980  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   NNcn 10637   ZZcz 10966    mod cmo 12128   sum_csu 13801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-oadd 7212  df-er 7389  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-rp 11332  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-hash 12548  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-clim 13601  df-sum 13802
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator