Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummmodsnunz Structured version   Unicode version

Theorem fsummmodsnunz 32666
Description: A finite sum of summands modulo a positive number with an additional summand is an integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsummmodsnunz  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
Distinct variable groups:    A, k    k, N    z, k
Allowed substitution hints:    A( z)    B( z, k)    N( z)

Proof of Theorem fsummmodsnunz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2544 . . 3  |-  F/_ x
( B  mod  N
)
2 nfcsb1v 3364 . . 3  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)
3 csbeq1a 3357 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  ( B  mod  N )  = 
[_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
) )
41, 2, 3cbvsumi 13521 . 2  |-  sum_ k  e.  ( A  u.  {
z } ) ( B  mod  N )  =  sum_ x  e.  ( A  u.  { z } ) [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )
5 snfi 7515 . . . . 5  |-  { z }  e.  Fin
6 unfi 7702 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
75, 6mpan2 669 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  u.  { z } )  e.  Fin )
873ad2ant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( A  u.  { z } )  e. 
Fin )
9 rspcsbela 3773 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  { z } )  /\  A. k  e.  ( A  u.  {
z } ) B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
109expcom 433 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ  ->  ( x  e.  ( A  u.  { z } )  ->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  ZZ ) )
11103ad2ant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  ( A  u.  {
z } )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ ) )
1211imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  u.  { z } ) )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
13 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
14 csbov1g 6233 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)
16 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
17 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
1816, 17zmodcld 11917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  NN0 )
1918nn0zd 10882 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  ZZ )
2015, 19syl5eqel 2474 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
2120ex 432 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ ) )
22213ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  / 
k ]_ ( B  mod  N )  e.  ZZ ) )
2322adantr 463 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  u.  { z } ) )  -> 
( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ ) )
2412, 23mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  u.  { z } ) )  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  ZZ )
258, 24fsumzcl 13559 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ x  e.  ( A  u.  { z } ) [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  e.  ZZ )
264, 25syl5eqel 2474 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  ( A  u.  { z } ) B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  u.  { z } ) ( B  mod  N )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034   [_csb 3348    u. cun 3387   {csn 3944  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   NNcn 10452   ZZcz 10781    mod cmo 11896   sum_csu 13510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator