Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsummmodsndifre Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsummmodsndifre 39235
Description: A finite sum of summands modulo a positive number with one of its summands removed is a real number. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
fsummmodsndifre  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) ( B  mod  N )  e.  RR )
Distinct variable groups:    A, k    k, X    k, N
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsummmodsndifre
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2603 . . 3  |-  F/_ x
( B  mod  N
)
2 nfcsb1v 3391 . . 3  |-  F/_ k [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)
3 csbeq1a 3384 . . 3  |-  ( k  =  x  ->  ( B  mod  N )  = 
[_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
) )
41, 2, 3cbvsumi 13818 . 2  |-  sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) ( B  mod  N )  = 
sum_ x  e.  ( A  \  { X }
) [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)
5 diffi 7834 . . . 4  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  \  { X }
)  e.  Fin )
653ad2ant1 1035 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( A  \  { X }
)  e.  Fin )
7 eldifi 3567 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( A  \  { X } )  ->  x  e.  A )
8 rspcsbela 3807 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
97, 8sylan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( A 
\  { X }
)  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
109expcom 441 . . . . . 6  |-  ( A. k  e.  A  B  e.  ZZ  ->  ( x  e.  ( A  \  { X } )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ ) )
11103ad2ant3 1037 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  (
x  e.  ( A 
\  { X }
)  ->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  ZZ ) )
1211imp 435 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  \  { X } ) )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )
13 vex 3060 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
14 csbov1g 6357 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  _V  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  =  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)
16 zre 10975 . . . . . . . . . 10  |-  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  / 
k ]_ B  e.  RR )
1716adantl 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ B  e.  RR )
18 nnrp 11345 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
1918adantr 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR+ )
2017, 19modcld 12140 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  / 
k ]_ B  mod  N
)  e.  RR )
2115, 20syl5eqel 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ )  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  RR )
2221ex 440 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  RR ) )
23223ad2ant2 1036 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  ( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  RR ) )
2423adantr 471 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  \  { X } ) )  -> 
( [_ x  /  k ]_ B  e.  ZZ  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  RR ) )
2512, 24mpd 15 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  /\  x  e.  ( A  \  { X } ) )  ->  [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N
)  e.  RR )
266, 25fsumrecl 13855 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ x  e.  ( A  \  { X } ) [_ x  /  k ]_ ( B  mod  N )  e.  RR )
274, 26syl5eqel 2544 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  NN  /\  A. k  e.  A  B  e.  ZZ )  ->  sum_ k  e.  ( A  \  { X } ) ( B  mod  N )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   [_csb 3375    \ cdif 3413   {csn 3980  (class class class)co 6320   Fincfn 7600   RRcr 9569   NNcn 10642   ZZcz 10971   RR+crp 11336    mod cmo 12134   sum_csu 13807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-inf2 8177  ax-cnex 9626  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647  ax-pre-sup 9648
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-tr 4514  df-eprel 4767  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-fr 4815  df-se 4816  df-we 4817  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-pred 5403  df-ord 5449  df-on 5450  df-lim 5451  df-suc 5452  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-isom 5614  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-om 6725  df-1st 6825  df-2nd 6826  df-wrecs 7059  df-recs 7121  df-rdg 7159  df-1o 7213  df-oadd 7217  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-fin 7604  df-sup 7987  df-inf 7988  df-oi 8056  df-card 8404  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-div 10303  df-nn 10643  df-2 10701  df-3 10702  df-n0 10904  df-z 10972  df-uz 11194  df-rp 11337  df-fz 11820  df-fzo 11953  df-fl 12066  df-mod 12135  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13217  df-re 13218  df-im 13219  df-sqrt 13353  df-abs 13354  df-clim 13607  df-sum 13808
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator