MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumm1 Structured version   Unicode version

Theorem fsumm1 13715
Description: Separate out the last term in a finite sum. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumm1.1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
fsumm1.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
fsumm1.3  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
fsumm1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  +  B ) )
Distinct variable groups:    B, k    k, M    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    A( k)

Proof of Theorem fsumm1
StepHypRef Expression
1 fsumm1.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 eluzelz 11135 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
31, 2syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
4 fzsn 11778 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N ... N )  =  { N } )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N ... N
)  =  { N } )
65ineq2d 3640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  ( N ... N ) )  =  ( ( M ... ( N  - 
1 ) )  i^i 
{ N } ) )
73zred 11007 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
87ltm1d 10517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  <  N )
9 fzdisj 11764 . . . . 5  |-  ( ( N  -  1 )  <  N  ->  (
( M ... ( N  -  1 ) )  i^i  ( N ... N ) )  =  (/) )
108, 9syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  ( N ... N ) )  =  (/) )
116, 10eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  i^i  { N } )  =  (/) )
12 eluzel2 11131 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
131, 12syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
14 peano2zm 10947 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1513, 14syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
1613zcnd 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
17 ax-1cn 9579 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
18 npcan 9864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
1916, 17, 18sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
2019fveq2d 5852 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  ( ( M  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ZZ>= `  M
) )
211, 20eleqtrrd 2493 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )
22 eluzp1m1 11149 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( ( M  - 
1 )  +  1 ) ) )  -> 
( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
2315, 21, 22syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( N  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )
24 fzsuc2 11790 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ( ZZ>= `  ( M  -  1
) ) )  -> 
( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
2513, 23, 24syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) } ) )
263zcnd 11008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
27 npcan 9864 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2826, 17, 27sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
2928oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( N  -  1 )  +  1 ) )  =  ( M ... N ) )
3025, 29eqtr3d 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  {
( ( N  - 
1 )  +  1 ) } )  =  ( M ... N
) )
3128sneqd 3983 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( ( N  -  1 )  +  1 ) }  =  { N } )
3231uneq2d 3596 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  {
( ( N  - 
1 )  +  1 ) } )  =  ( ( M ... ( N  -  1
) )  u.  { N } ) )
3330, 32eqtr3d 2445 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  =  ( ( M ... ( N  -  1 ) )  u.  { N }
) )
34 fzfid 12122 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M ... N
)  e.  Fin )
35 fsumm1.2 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... N ) )  ->  A  e.  CC )
3611, 33, 34, 35fsumsplit 13709 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  +  sum_ k  e.  { N } A ) )
37 eluzfz2 11746 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ( M ... N ) )
381, 37syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( M ... N ) )
3935ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC )
40 fsumm1.3 . . . . . . 7  |-  ( k  =  N  ->  A  =  B )
4140eleq1d 2471 . . . . . 6  |-  ( k  =  N  ->  ( A  e.  CC  <->  B  e.  CC ) )
4241rspcv 3155 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( M ... N )  ->  ( A. k  e.  ( M ... N ) A  e.  CC  ->  B  e.  CC ) )
4338, 39, 42sylc 59 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4440sumsn 13710 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= `  M )  /\  B  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { N } A  =  B )
451, 43, 44syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { N } A  =  B )
4645oveq2d 6293 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  +  sum_ k  e.  { N } A
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  +  B ) )
4736, 46eqtrd 2443 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... N ) A  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( N  -  1 ) ) A  +  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753    u. cun 3411    i^i cin 3412   (/)c0 3737   {csn 3971   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   1c1 9522    + caddc 9524    < clt 9657    - cmin 9840   ZZcz 10904   ZZ>=cuz 11126   ...cfz 11724   sum_csu 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656
This theorem is referenced by:  fzosump1  13716  fsump1  13720  telfsumo  13765  fsumparts  13769  binom1dif  13794  bpolysum  13996  bpolydiflem  13997  prmreclem4  14644  ovolicc2lem4  22221  dvfsumlem1  22717  abelthlem6  23121  log2ublem2  23601  harmonicbnd4  23664  ftalem1  23725  ftalem5  23729  chpp1  23808  1sgmprm  23853  chtublem  23865  logdivbnd  24120  pntrlog2bndlem1  24141  mettrifi  31512  stoweidlem17  37148  nnsum4primeseven  37829  nnsum4primesevenALTV  37830
  Copyright terms: Public domain W3C validator