Table of ContentsTable of Contents Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem fsumltisum 15824
Description: A partial sum of a series with positive terms is less than the infinite sum.
Assertion
Ref Expression
fsumltisum |- (((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ (F:(ZZ>=` M)-->RR+ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> sum_k e. (M...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k))
Distinct variable groups:   k,M,x   k,N,x   k,F,x
Proof of Theorem fsumltisum
StepHypRef Expression
1 fveq2 4681 . . . . . 6 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (ZZ>=` M) = (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)))
21feq2d 4557 . . . . 5 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (F:(ZZ>=` M)-->RR+ <-> F:(ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))-->RR+))
3 opeq1 3158 . . . . . . . 8 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> <.M, + >. = <.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >.)
43opreq1d 4897 . . . . . . 7 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (<.M, + >. seq F) = (<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F))
54breq1d 3348 . . . . . 6 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> ((<.M, + >. seq F) ~~> x <-> (<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x))
65exbidv 1657 . . . . 5 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x <-> E.x(<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x))
72, 6anbi12d 690 . . . 4 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> ((F:(ZZ>=` M)-->RR+ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) <-> (F:(ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))-->RR+ /\ E.x(<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x)))
8 opreq1 4889 . . . . . 6 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (M...N) = (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N))
98sumeq1d 8250 . . . . 5 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> sum_k e. (M...N)(F` k) = sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N)(F` k))
101sumeq1d 8250 . . . . 5 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) = sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k))
119, 10breq12d 3351 . . . 4 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (sum_k e. (M...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k) <-> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k)))
127, 11imbi12d 688 . . 3 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (((F:(ZZ>=` M)-->RR+ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (M...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)) <-> ((F:(ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))-->RR+ /\ E.x(<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k))))
13 opreq2 4890 . . . . . 6 |- (N = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) -> (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N) = (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1)))
1413sumeq1d 8250 . . . . 5 |- (N = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) -> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N)(F` k) = sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1))(F` k))
1514breq1d 3348 . . . 4 |- (N = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) -> (sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k) <-> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1))(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k)))
1615imbi2d 674 . . 3 |- (N = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) -> (((F:(ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))-->RR+ /\ E.x(<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k)) <-> ((F:(ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))-->RR+ /\ E.x(<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1))(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k))))
171eleq2d 1964 . . . . . 6 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (N e. (ZZ>=` M) <-> N e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))))
18 eluzel2 7593 . . . . . . 7 |- (N e. (ZZ>=` M) -> M e. ZZ)
1918pm4.71ri 700 . . . . . 6 |- (N e. (ZZ>=` M) <-> (M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)))
2017, 19syl5bbr 593 . . . . 5 |- (M = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> ((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) <-> N e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))))
21 eleq1 1957 . . . . 5 |- (N = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) -> (N e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)) <-> if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))))
22 fveq2 4681 . . . . . 6 |- (1 = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (ZZ>=` 1) = (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)))
2322eleq2d 1964 . . . . 5 |- (1 = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1) -> (1 e. (ZZ>=` 1) <-> 1 e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))))
24 eleq1 1957 . . . . 5 |- (1 = if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) -> (1 e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)) <-> if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))))
25 1z 7368 . . . . . 6 |- 1 e. ZZ
26 uzid 7596 . . . . . 6 |- (1 e. ZZ -> 1 e. (ZZ>=` 1))
2725, 26ax-mp 7 . . . . 5 |- 1 e. (ZZ>=` 1)
2820, 21, 23, 24, 27elimhyp2v 3022 . . . 4 |- if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1) e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))
2928fsumltisumi 15823 . . 3 |- ((F:(ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))-->RR+ /\ E.x(<.if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1), + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1)...if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), N, 1))(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` if((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)), M, 1))(F` k))
3012, 16, 29dedth2v 3018 . 2 |- ((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) -> ((F:(ZZ>=` M)-->RR+ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x) -> sum_k e. (M...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k)))
3130imp 377 1 |- (((M e. ZZ /\ N e. (ZZ>=` M)) /\ (F:(ZZ>=` M)-->RR+ /\ E.x(<.M, + >. seq F) ~~> x)) -> sum_k e. (M...N)(F` k) < sum_k e. (ZZ>=` M)(F` k))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  ifcif 2982  <.cop 3046   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  1c1 6387   + caddc 6389  ZZcz 6451  RR+crp 6453   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586  ...cfz 7637   seq cseqz 7774   ~~> cli 8234  sum_csu 8239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240
Copyright terms: Public domain