MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumlt Unicode version

Theorem fsumlt 12534
Description: If every term in one finite sum is less than the corresponding term in another, then the first sum is less than the second. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumlt.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumlt.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
fsumlt.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumlt.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fsumlt.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
fsumlt  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumlt
StepHypRef Expression
1 fsumlt.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumlt.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  =/=  (/) )
3 fsumlt.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <  C )
4 fsumlt.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
5 fsumlt.4 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
6 difrp 10601 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  C  <->  ( C  -  B )  e.  RR+ ) )
74, 5, 6syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  <  C  <->  ( C  -  B )  e.  RR+ ) )
83, 7mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  -  B )  e.  RR+ )
91, 2, 8fsumrpcl 12486 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  e.  RR+ )
109rpgt0d 10607 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  sum_ k  e.  A  ( C  -  B ) )
115recnd 9070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
124recnd 9070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
131, 11, 12fsumsub 12526 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  =  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
1410, 13breqtrd 4196 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
151, 4fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
161, 5fsumrecl 12483 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  RR )
1715, 16posdifd 9569 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  <  sum_ k  e.  A  C 
<->  0  <  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) ) )
1814, 17mpbird 224 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721    =/= wne 2567   (/)c0 3588   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946    < clt 9076    - cmin 9247   RR+crp 10568   sum_csu 12434
This theorem is referenced by:  lebnumlem3  18941  rrndstprj2  26430  stoweidlem11  27627  stoweidlem26  27642
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435
  Copyright terms: Public domain W3C validator