MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Structured version   Unicode version

Theorem fsumless 13259
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fsumless.4  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
fsumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 difss 3483 . . . . 5  |-  ( A 
\  C )  C_  A
3 ssfi 7533 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  C ) 
C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  C
)  e.  Fin )
5 eldifi 3478 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  k  e.  A )
6 fsumge0.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
75, 6sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  e.  RR )
8 fsumge0.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
95, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  0  <_  B )
104, 7, 9fsumge0 13258 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B )
11 fsumless.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
12 ssfi 7533 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  Fin )
131, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
1411sselda 3356 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  A )
1514, 6syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B  e.  RR )
1613, 15fsumrecl 13211 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  e.  RR )
174, 7fsumrecl 13211 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  \  C ) B  e.  RR )
1816, 17addge01d 9927 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B  <->  sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) ) )
1910, 18mpbid 210 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A 
\  C ) B ) )
20 disjdif 3751 . . . 4  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
2120a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
22 undif 3759 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
2311, 22sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
2423eqcomd 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )
256recnd 9412 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2621, 24, 1, 25fsumsplit 13216 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) )
2719, 26breqtrrd 4318 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3325    u. cun 3326    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   Fincfn 7310   RRcr 9281   0cc0 9282    + caddc 9285    <_ cle 9419   sum_csu 13163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-rp 10992  df-ico 11306  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164
This theorem is referenced by:  fsumge1  13260  fsum00  13261  ovolicc2lem4  21003  fsumharmonic  22405  chtwordi  22494  chpwordi  22495  chtlepsi  22545  chtublem  22550  perfectlem2  22569  chtppilimlem1  22722  vmadivsumb  22732  rplogsumlem2  22734  rpvmasumlem  22736  dchrvmasumiflem1  22750  rplogsum  22776  dirith2  22777  mulog2sumlem2  22784  selbergb  22798  selberg2b  22801  chpdifbndlem1  22802  logdivbnd  22805  selberg3lem2  22807  pntrsumbnd  22815  pntlemf  22854  esumpcvgval  26527  eulerpartlemgc  26745
  Copyright terms: Public domain W3C validator