MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumless Structured version   Unicode version

Theorem fsumless 13572
Description: A shorter sum of nonnegative terms is smaller than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fsumless.4  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
Assertion
Ref Expression
fsumless  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumless
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 difss 3631 . . . . 5  |-  ( A 
\  C )  C_  A
3 ssfi 7740 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( A  \  C ) 
C_  A )  -> 
( A  \  C
)  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  \  C
)  e.  Fin )
5 eldifi 3626 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( A  \  C )  ->  k  e.  A )
6 fsumge0.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
75, 6sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  B  e.  RR )
8 fsumge0.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
95, 8sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( A  \  C ) )  ->  0  <_  B )
104, 7, 9fsumge0 13571 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B )
11 fsumless.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  C_  A )
12 ssfi 7740 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  Fin )
131, 11, 12syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
1411sselda 3504 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  k  e.  A )
1514, 6syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  C )  ->  B  e.  RR )
1613, 15fsumrecl 13518 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  e.  RR )
174, 7fsumrecl 13518 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( A  \  C ) B  e.  RR )
1816, 17addge01d 10139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  sum_ k  e.  ( A  \  C
) B  <->  sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) ) )
1910, 18mpbid 210 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A 
\  C ) B ) )
20 disjdif 3899 . . . 4  |-  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/)
2120a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  i^i  ( A  \  C ) )  =  (/) )
22 undif 3907 . . . . 5  |-  ( C 
C_  A  <->  ( C  u.  ( A  \  C
) )  =  A )
2311, 22sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  u.  ( A  \  C ) )  =  A )
2423eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =  ( C  u.  ( A  \  C ) ) )
256recnd 9621 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2621, 24, 1, 25fsumsplit 13524 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  ( sum_ k  e.  C  B  +  sum_ k  e.  ( A  \  C ) B ) )
2719, 26breqtrrd 4473 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  C  B  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447  (class class class)co 6283   Fincfn 7516   RRcr 9490   0cc0 9491    + caddc 9494    <_ cle 9628   sum_csu 13470
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-rp 11220  df-ico 11534  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-sum 13471
This theorem is referenced by:  fsumge1  13573  fsum00  13574  ovolicc2lem4  21682  fsumharmonic  23085  chtwordi  23174  chpwordi  23175  chtlepsi  23225  chtublem  23230  perfectlem2  23249  chtppilimlem1  23402  vmadivsumb  23412  rplogsumlem2  23414  rpvmasumlem  23416  dchrvmasumiflem1  23430  rplogsum  23456  dirith2  23457  mulog2sumlem2  23464  selbergb  23478  selberg2b  23481  chpdifbndlem1  23482  logdivbnd  23485  selberg3lem2  23487  pntrsumbnd  23495  pntlemf  23534  esumpcvgval  27740  eulerpartlemgc  27957
  Copyright terms: Public domain W3C validator