MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Structured version   Unicode version

Theorem fsumle 13572
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumle.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fsumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3 fsumle.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
42, 3resubcld 9983 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
5 fsumle.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
62, 3subge0d 10138 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
75, 6mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
81, 4, 7fsumge0 13568 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C  -  B ) )
92recnd 9618 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103recnd 9618 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
111, 9, 10fsumsub 13562 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  =  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
128, 11breqtrd 4471 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
131, 2fsumrecl 13515 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  RR )
141, 3fsumrecl 13515 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
1513, 14subge0d 10138 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
)
1612, 15mpbid 210 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   RRcr 9487   0cc0 9488    <_ cle 9625    - cmin 9801   sum_csu 13467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-ico 11531  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468
This theorem is referenced by:  o1fsum  13586  climcndslem1  13620  climcndslem2  13621  mertenslem1  13652  ovoliunlem1  21648  ovolicc2lem4  21666  uniioombllem4  21730  dvfsumle  22157  dvfsumabs  22159  mtest  22533  mtestbdd  22534  abelthlem7  22567  birthdaylem3  23011  fsumharmonic  23069  ftalem1  23074  ftalem5  23078  basellem8  23089  chtleppi  23213  chpub  23223  logfaclbnd  23225  bposlem1  23287  chebbnd1lem1  23382  chtppilimlem1  23386  vmadivsum  23395  rplogsumlem1  23397  rplogsumlem2  23398  rpvmasumlem  23400  dchrisumlem2  23403  dchrmusum2  23407  dchrvmasumlem3  23412  dchrvmasumiflem1  23414  dchrisum0fno1  23424  dchrisum0lem1  23429  dchrisum0lem2a  23430  mudivsum  23443  mulogsumlem  23444  mulog2sumlem2  23448  vmalogdivsum2  23451  2vmadivsumlem  23453  selberglem2  23459  selbergb  23462  selberg2b  23465  chpdifbndlem1  23466  logdivbnd  23469  selberg3lem1  23470  selberg4lem1  23473  pntrlog2bndlem1  23490  pntrlog2bndlem2  23491  pntrlog2bndlem3  23492  pntrlog2bndlem5  23494  pntrlog2bndlem6  23496  pntpbnd2  23500  pntlemj  23516  geomcau  29855  stoweidlem11  31311  stoweidlem26  31326  stoweidlem38  31338  stirlinglem12  31385
  Copyright terms: Public domain W3C validator