MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Structured version   Unicode version

Theorem fsumle 13258
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumle.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumle.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
fsumle.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
Assertion
Ref Expression
fsumle  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Distinct variable groups:    A, k    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsumle.3 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  RR )
3 fsumle.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
42, 3resubcld 9772 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( C  -  B )  e.  RR )
5 fsumle.4 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  <_  C )
62, 3subge0d 9925 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  (
0  <_  ( C  -  B )  <->  B  <_  C ) )
75, 6mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  ( C  -  B
) )
81, 4, 7fsumge0 13254 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sum_ k  e.  A  ( C  -  B ) )
92recnd 9408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103recnd 9408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
111, 9, 10fsumsub 13251 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( C  -  B
)  =  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
128, 11breqtrd 4313 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B ) )
131, 2fsumrecl 13207 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  C  e.  RR )
141, 3fsumrecl 13207 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  RR )
1513, 14subge0d 9925 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( sum_ k  e.  A  C  -  sum_ k  e.  A  B )  <->  sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
)
1612, 15mpbid 210 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  <_  sum_ k  e.  A  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1761   class class class wbr 4289  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   RRcr 9277   0cc0 9278    <_ cle 9415    - cmin 9591   sum_csu 13159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-oadd 6920  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-ico 11302  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160
This theorem is referenced by:  o1fsum  13272  climcndslem1  13308  climcndslem2  13309  mertenslem1  13340  ovoliunlem1  20944  ovolicc2lem4  20962  uniioombllem4  21025  dvfsumle  21452  dvfsumabs  21454  mtest  21828  mtestbdd  21829  abelthlem7  21862  birthdaylem3  22306  fsumharmonic  22364  ftalem1  22369  ftalem5  22373  basellem8  22384  chtleppi  22508  chpub  22518  logfaclbnd  22520  bposlem1  22582  chebbnd1lem1  22677  chtppilimlem1  22681  vmadivsum  22690  rplogsumlem1  22692  rplogsumlem2  22693  rpvmasumlem  22695  dchrisumlem2  22698  dchrmusum2  22702  dchrvmasumlem3  22707  dchrvmasumiflem1  22709  dchrisum0fno1  22719  dchrisum0lem1  22724  dchrisum0lem2a  22725  mudivsum  22738  mulogsumlem  22739  mulog2sumlem2  22743  vmalogdivsum2  22746  2vmadivsumlem  22748  selberglem2  22754  selbergb  22757  selberg2b  22760  chpdifbndlem1  22761  logdivbnd  22764  selberg3lem1  22765  selberg4lem1  22768  pntrlog2bndlem1  22785  pntrlog2bndlem2  22786  pntrlog2bndlem3  22787  pntrlog2bndlem5  22789  pntrlog2bndlem6  22791  pntpbnd2  22795  pntlemj  22811  geomcau  28580  stoweidlem11  29731  stoweidlem26  29746  stoweidlem38  29758  stirlinglem12  29805
  Copyright terms: Public domain W3C validator