Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumkthpow Structured version   Unicode version

Theorem fsumkthpow 14087
 Description: A closed-form expression for the sum of -th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumkthpow BernPoly BernPoly
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumkthpow
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0p1nn 10909 . . . 4
32nncnd 10625 . 2
4 fzfid 12183 . . 3
5 elfzelz 11798 . . . . 5
65zcnd 11041 . . . 4
7 simpl 458 . . . 4
8 expcl 12287 . . . 4
96, 7, 8syl2anr 480 . . 3
104, 9fsumcl 13777 . 2
112nnne0d 10654 . 2
124, 3, 9fsummulc2 13823 . . 3
13 bpolydif 14086 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
142, 6, 13syl2an 479 . . . . 5 BernPoly BernPoly
15 nn0cn 10879 . . . . . . . . 9
1615ad2antrr 730 . . . . . . . 8
17 ax-1cn 9596 . . . . . . . 8
18 pncan 9880 . . . . . . . 8
1916, 17, 18sylancl 666 . . . . . . 7
2019oveq2d 6321 . . . . . 6
2120oveq2d 6321 . . . . 5
2214, 21eqtrd 2470 . . . 4 BernPoly BernPoly
2322sumeq2dv 13747 . . 3 BernPoly BernPoly
24 oveq2 6313 . . . 4 BernPoly BernPoly
25 oveq2 6313 . . . 4 BernPoly BernPoly
26 oveq2 6313 . . . 4 BernPoly BernPoly
27 oveq2 6313 . . . 4 BernPoly BernPoly
28 nn0z 10960 . . . . 5
2928adantl 467 . . . 4
30 peano2nn0 10910 . . . . . 6
3130adantl 467 . . . . 5
32 nn0uz 11193 . . . . 5
3331, 32syl6eleq 2527 . . . 4
34 peano2nn0 10910 . . . . . 6
3534ad2antrr 730 . . . . 5
36 elfznn0 11885 . . . . . . 7
3736adantl 467 . . . . . 6
3837nn0cnd 10927 . . . . 5
39 bpolycl 14083 . . . . 5 BernPoly
4035, 38, 39syl2anc 665 . . . 4 BernPoly
4124, 25, 26, 27, 29, 33, 40telfsum2 13843 . . 3 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
4212, 23, 413eqtr2d 2476 . 2 BernPoly BernPoly
433, 10, 11, 42mvllmuld 10438 1 BernPoly BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc 9536  cc0 9538  c1 9539   caddc 9541   cmul 9543   cmin 9859   cdiv 10268  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cuz 11159  cfz 11782  cexp 12269  csu 13730   BernPoly cbp 14077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-bpoly 14078 This theorem is referenced by:  fsumcube  14091
 Copyright terms: Public domain W3C validator