Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumkthpow Structured version   Unicode version

Theorem fsumkthpow 29745
 Description: A closed-form expression for the sum of -th powers. (Contributed by Scott Fenton, 16-May-2014.) This is Metamath 100 proof #77. (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
fsumkthpow BernPoly BernPoly
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem fsumkthpow
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12063 . . . 4
2 elfzelz 11700 . . . . . 6
32zcnd 10979 . . . . 5
4 simpl 457 . . . . 5
5 expcl 12164 . . . . 5
63, 4, 5syl2anr 478 . . . 4
71, 6fsumcl 13535 . . 3
8 nn0p1nn 10847 . . . . 5
98adantr 465 . . . 4
109nncnd 10564 . . 3
119nnne0d 10592 . . 3
127, 10, 11divcan3d 10337 . 2
131, 10, 6fsummulc2 13579 . . . 4
14 bpolydif 29744 . . . . . . 7 BernPoly BernPoly
159, 3, 14syl2an 477 . . . . . 6 BernPoly BernPoly
16 nn0cn 10817 . . . . . . . . . 10
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
18 ax-1cn 9562 . . . . . . . . 9
19 pncan 9838 . . . . . . . . 9
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6311 . . . . . . 7
2221oveq2d 6311 . . . . . 6
2315, 22eqtrd 2508 . . . . 5 BernPoly BernPoly
2423sumeq2dv 13505 . . . 4 BernPoly BernPoly
25 oveq2 6303 . . . . 5 BernPoly BernPoly
26 oveq2 6303 . . . . 5 BernPoly BernPoly
27 oveq2 6303 . . . . 5 BernPoly BernPoly
28 oveq2 6303 . . . . 5 BernPoly BernPoly
29 nn0z 10899 . . . . . 6
3029adantl 466 . . . . 5
31 peano2nn0 10848 . . . . . . 7
3231adantl 466 . . . . . 6
33 nn0uz 11128 . . . . . 6
3432, 33syl6eleq 2565 . . . . 5
35 peano2nn0 10848 . . . . . . 7
3635ad2antrr 725 . . . . . 6
37 elfznn0 11782 . . . . . . . 8
3837adantl 466 . . . . . . 7
3938nn0cnd 10866 . . . . . 6
40 bpolycl 29741 . . . . . 6 BernPoly
4136, 39, 40syl2anc 661 . . . . 5 BernPoly
4225, 26, 27, 28, 30, 34, 41telfsum2 13599 . . . 4 BernPoly BernPoly BernPoly BernPoly
4313, 24, 423eqtr2d 2514 . . 3 BernPoly BernPoly
4443oveq1d 6310 . 2 BernPoly BernPoly
4512, 44eqtr3d 2510 1 BernPoly BernPoly
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cmin 9817   cdiv 10218  cn 10548  cn0 10807  cz 10876  cuz 11094  cfz 11684  cexp 12146  csu 13488   BernPoly cbp 29735 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-pred 29171  df-wrecs 29263  df-bpoly 29736 This theorem is referenced by:  fsumcube  29749
 Copyright terms: Public domain W3C validator