Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumiunss Structured version   Unicode version

Theorem fsumiunss 37595
Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set  D. Similar to fsumiun 13880, but here  A and 
B need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunss.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
fsumiunss.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
fsumiunss.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
fsumiunss.fi  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fsumiunss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k    x, C    D, k, x    x, V    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem fsumiunss
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2580 . . . . 5  |-  F/_ y
( B  i^i  D
)
2 nfcsb1v 3411 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
3 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ x D
42, 3nfin 3669 . . . . 5  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
5 csbeq1a 3404 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
65ineq1d 3663 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  i^i  D )  =  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) )
71, 4, 6cbviun 4336 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  D )  =  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
87sumeq1i 13763 . . 3  |-  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C
98a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C )
10 eliun 4304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y  e.  A  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
1110biimpi 197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y  e.  A  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
12 df-rex 2777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) ) )
1311, 12sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
14 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
z
15 nfiu1 4329 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
1614, 15nfel 2593 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
17 simpl 458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
y  e.  A )
18 ne0i 3767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) )
1918adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) )
2017, 19jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( y  e.  A  /\  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
21 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
y
22 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  y  e.  A
2322nfci 2569 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x A
24 nfcv 2580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x (/)
254, 24nfne 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/)
266neeq1d 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  i^i  D
)  =/=  (/)  <->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
2721, 23, 25, 26elrabf 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  <->  ( y  e.  A  /\  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
2820, 27sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } )
29 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
3028, 29jca 534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  ( (
y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) ) )
3216, 31eximd 1937 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) )  ->  E. y
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) ) )
3313, 32mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
34 df-rex 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } z  e.  (
[_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y ( y  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
3533, 34sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
36 eliun 4304 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } z  e.  (
[_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
3735, 36sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  z  e.  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
3837rgen 2781 . . . . . 6  |-  A. z  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) z  e.  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
39 dfss3 3454 . . . . . 6  |-  ( U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  U_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  A. z  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) z  e. 
U_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
4038, 39mpbir 212 . . . . 5  |-  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
41 elrabi 3225 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ->  y  e.  A )
4241ssriv 3468 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  C_  A
43 iunss1 4311 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  C_  A  ->  U_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
4540, 44eqssi 3480 . . . 4  |-  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
4645sumeq1i 13763 . . 3  |-  sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C
4746a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C )
48 fsumiunss.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
49 fsumiunss.dj . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
50 fsumiunss.fi . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
5148, 49, 50disjinfi 37429 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  e.  Fin )
52 inss2 3683 . . . . . . 7  |-  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  D
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
)  C_  D )
54 ssfi 7801 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  D )  -> 
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  e.  Fin )
5550, 53, 54syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
)  e.  Fin )
5655adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } )  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  e.  Fin )
5742a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  C_  A )
58 inss1 3682 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  [_ y  /  x ]_ B
5958rgenw 2783 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  [_ y  /  x ]_ B
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  [_ y  /  x ]_ B )
61 nfcv 2580 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
62 eqcom 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
6362imbi1i 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( y  =  x  ->  B  = 
[_ y  /  x ]_ B ) )
64 eqcom 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ y  /  x ]_ B  =  B )
6564imbi2i 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ B  =  B ) )
6663, 65bitri 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ B  =  B ) )
675, 66mpbi 211 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ B  =  B )
682, 61, 67cbvdisj 4404 . . . . . . 7  |-  (Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  <-> Disj  x  e.  A  B )
6949, 68sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
70 disjss2 4397 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  [_ y  /  x ]_ B  ->  (Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  -> Disj  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
7160, 69, 70sylc 62 . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
72 disjss1 4400 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  C_  A  ->  (Disj  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  -> Disj  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
7357, 71, 72sylc 62 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
74 simpl 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  ph )
7541ad2antrl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  y  e.  A
)
7658sseli 3460 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
7776adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) )  ->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
7877adantl 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
)
79 nfv 1755 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
80 nfcv 2580 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
k
8180, 2nfel 2593 . . . . . . . 8  |-  F/ x  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
8279, 22, 81nf3an 1990 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
83 nfv 1755 . . . . . . 7  |-  F/ x  C  e.  CC
8482, 83nfim 1980 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  CC )
85 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
865eleq2d 2492 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  B  <->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B ) )
8785, 863anbi23d 1338 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8887imbi1d 318 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  CC )
) )
89 fsumiunss.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
9084, 88, 89chvar 2071 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  C  e.  CC )
9174, 75, 78, 90syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  C  e.  CC )
9251, 56, 73, 91fsumiun 13880 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  (
[_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C )
9367ineq1d 3663 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =  ( B  i^i  D ) )
9493sumeq1d 13766 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) C  =  sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
95 nfrab1 3006 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }
96 nfcv 2580 . . . . 5  |-  F/_ y { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }
97 nfcv 2580 . . . . . 6  |-  F/_ x C
984, 97nfsum 13756 . . . . 5  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C
99 nfcv 2580 . . . . 5  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C
10094, 95, 96, 98, 99cbvsum 13760 . . . 4  |-  sum_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  = 
sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C
101100a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  = 
sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
10292, 101eqtrd 2463 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
1039, 47, 1023eqtrd 2467 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   [_csb 3395    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   U_ciun 4299  Disj wdisj 4394   Fincfn 7580   CCcc 9544   sum_csu 13751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  38165
  Copyright terms: Public domain W3C validator