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Theorem fsumiunss 37750
Description: Sum over a disjoint indexed union, intersected with a finite set  D. Similar to fsumiun 13958, but here  A and 
B need not be finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiunss.b  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
fsumiunss.dj  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
fsumiunss.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
fsumiunss.fi  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
fsumiunss  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
Distinct variable groups:    A, k, x    B, k    x, C    D, k, x    x, V    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)    V( k)

Proof of Theorem fsumiunss
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ y
( B  i^i  D
)
2 nfcsb1v 3365 . . . . . 6  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
3 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x D
42, 3nfin 3630 . . . . 5  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
5 csbeq1a 3358 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
65ineq1d 3624 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( B  i^i  D )  =  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) )
71, 4, 6cbviun 4306 . . . 4  |-  U_ x  e.  A  ( B  i^i  D )  =  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
87sumeq1i 13841 . . 3  |-  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C
98a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C )
10 eliun 4274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y  e.  A  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
1110biimpi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y  e.  A  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
12 df-rex 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) ) )
1311, 12sylib 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y
( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
14 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
z
15 nfiu1 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
1614, 15nfel 2624 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y  z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
17 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
y  e.  A )
18 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) )
1918adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) )
2017, 19jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( y  e.  A  /\  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
)  =/=  (/) ) )
21 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
y
22 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  y  e.  A
2322nfci 2602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x A
24 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x (/)
254, 24nfne 2742 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/)
266neeq1d 2702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  i^i  D
)  =/=  (/)  <->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
2721, 23, 25, 26elrabf 3182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  <->  ( y  e.  A  /\  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =/=  (/) ) )
2820, 27sylibr 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } )
29 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
3028, 29jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  ( (
y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )  -> 
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) ) )
3216, 31eximd 1980 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  ( E. y ( y  e.  A  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) )  ->  E. y
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) ) )
3313, 32mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y
( y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
34 df-rex 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } z  e.  (
[_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y ( y  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
3533, 34sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  E. y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } z  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
36 eliun 4274 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  U_ y  e. 
{ x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  E. y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } z  e.  (
[_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
3735, 36sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  z  e.  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
3837rgen 2766 . . . . . 6  |-  A. z  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) z  e.  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
39 dfss3 3408 . . . . . 6  |-  ( U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  U_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  <->  A. z  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) z  e. 
U_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
4038, 39mpbir 214 . . . . 5  |-  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
41 elrabi 3181 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ->  y  e.  A )
4241ssriv 3422 . . . . . 6  |-  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  C_  A
43 iunss1 4281 . . . . . 6  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  C_  A  ->  U_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
4442, 43ax-mp 5 . . . . 5  |-  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
4540, 44eqssi 3434 . . . 4  |-  U_ y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =  U_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )
4645sumeq1i 13841 . . 3  |-  sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C
4746a1i 11 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ k  e.  U_  y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C )
48 fsumiunss.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
49 fsumiunss.dj . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
50 fsumiunss.fi . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  Fin )
5148, 49, 50disjinfi 37539 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  e.  Fin )
52 inss2 3644 . . . . . . 7  |-  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  D
5352a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
)  C_  D )
54 ssfi 7810 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  D )  -> 
( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  e.  Fin )
5550, 53, 54syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
)  e.  Fin )
5655adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  { x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } )  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  e.  Fin )
5742a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  C_  A )
58 inss1 3643 . . . . . . . 8  |-  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  [_ y  /  x ]_ B
5958rgenw 2768 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  C_  [_ y  /  x ]_ B
6059a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  [_ y  /  x ]_ B )
61 nfcv 2612 . . . . . . . 8  |-  F/_ y B
62 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
6362imbi1i 332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( y  =  x  ->  B  = 
[_ y  /  x ]_ B ) )
64 eqcom 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  [_ y  /  x ]_ B  <->  [_ y  /  x ]_ B  =  B )
6564imbi2i 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  x  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ B  =  B ) )
6663, 65bitri 257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )  <->  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ B  =  B ) )
675, 66mpbi 213 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  [_ y  /  x ]_ B  =  B )
682, 61, 67cbvdisj 4376 . . . . . . 7  |-  (Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  <-> Disj  x  e.  A  B )
6949, 68sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B )
70 disjss2 4369 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) 
C_  [_ y  /  x ]_ B  ->  (Disj  y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  -> Disj  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
7160, 69, 70sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
72 disjss1 4372 . . . . 5  |-  ( { x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) }  C_  A  ->  (Disj  y  e.  A  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  -> Disj  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )
7357, 71, 72sylc 61 . . . 4  |-  ( ph  -> Disj  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) )
74 simpl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  ph )
7541ad2antrl 742 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  y  e.  A
)
7658sseli 3414 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  ->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
7776adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) )  ->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
7877adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
)
79 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x ph
80 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
k
8180, 2nfel 2624 . . . . . . . 8  |-  F/ x  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
8279, 22, 81nf3an 2033 . . . . . . 7  |-  F/ x
( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )
83 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ x  C  e.  CC
8482, 83nfim 2023 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  CC )
85 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
865eleq2d 2534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
k  e.  B  <->  k  e.  [_ y  /  x ]_ B ) )
8785, 863anbi23d 1368 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  <->  ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8887imbi1d 324 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )  <-> 
( ( ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B )  ->  C  e.  CC )
) )
89 fsumiunss.c . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A  /\  k  e.  B
)  ->  C  e.  CC )
9084, 88, 89chvar 2119 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A  /\  k  e.  [_ y  /  x ]_ B
)  ->  C  e.  CC )
9174, 75, 78, 90syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  /\  k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) ) )  ->  C  e.  CC )
9251, 56, 73, 91fsumiun 13958 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  (
[_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C )
9367ineq1d 3624 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D )  =  ( B  i^i  D ) )
9493sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D
) C  =  sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
95 nfrab1 2957 . . . . 5  |-  F/_ x { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }
96 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ y { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }
97 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x C
984, 97nfsum 13834 . . . . 5  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C
99 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ y sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C
10094, 95, 96, 98, 99cbvsum 13838 . . . 4  |-  sum_ y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  = 
sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C
101100a1i 11 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ y  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  = 
sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
10292, 101eqtrd 2505 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  y  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) }  ( [_ y  /  x ]_ B  i^i  D ) C  =  sum_ x  e.  { x  e.  A  |  ( B  i^i  D )  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
1039, 47, 1023eqtrd 2509 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  ( B  i^i  D ) C  =  sum_ x  e.  {
x  e.  A  | 
( B  i^i  D
)  =/=  (/) } sum_ k  e.  ( B  i^i  D ) C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   [_csb 3349    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   U_ciun 4269  Disj wdisj 4366   Fincfn 7587   CCcc 9555   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  sge0iunmptlemre  38371
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