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Theorem fsumiun 13784
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
fsumiun.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumiun  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    ph, k, x    x, C
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3460 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3462 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 iuneq1 4284 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
5 0iun 4327 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
64, 5syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  U_ x  e.  u  B  =  (/) )
76sumeq1d 13670 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
8 sumeq1 13658 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
97, 8eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  = 
sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
)
103, 9imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C
)  <->  ( (/)  C_  A  -> 
sum_ k  e.  (/)  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C
) ) )
1110imbi2d 314 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
) ) )
12 sseq1 3462 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  (
u  C_  A  <->  z  C_  A ) )
13 iuneq1 4284 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  z  B )
1413sumeq1d 13670 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C )
15 sumeq1 13658 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )
1614, 15eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) )
1712, 16imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )
) )
1817imbi2d 314 . . . 4  |-  ( u  =  z  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )
)  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
19 sseq1 3462 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( u  C_  A 
<->  ( z  u.  {
w } )  C_  A ) )
20 iuneq1 4284 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )
2120sumeq1d 13670 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e. 
U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C )
22 sumeq1 13658 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
2321, 22eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
)
2419, 23imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( ( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) )
2524imbi2d 314 . . . 4  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( ( ph  ->  ( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C ) )  <->  ( ph  ->  ( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
) ) )
26 sseq1 3462 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  (
u  C_  A  <->  A  C_  A
) )
27 iuneq1 4284 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  A  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  A  B
)
2827sumeq1d 13670 . . . . . . 7  |-  ( u  =  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C )
29 sumeq1 13658 . . . . . . 7  |-  ( u  =  A  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
3028, 29eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C
) )
3126, 30imbi12d 318 . . . . 5  |-  ( u  =  A  ->  (
( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
) )
3231imbi2d 314 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )
)  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C
) ) ) )
33 sum0 13690 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
34 sum0 13690 . . . . . 6  |-  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  0
3533, 34eqtr4i 2434 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C
3635a1ii 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
)
37 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  ( z  u.  {
w } )  C_  A )
3837unssad 3619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  z  C_  A )
3938imim1i 57 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C ) )
40 oveq1 6284 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  = 
sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )  =  ( sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C ) )
41 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z B
42 nfcsb1v 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
43 csbeq1a 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4441, 42, 43cbviun 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  { w } B  =  U_ z  e.  {
w } [_ z  /  x ]_ B
45 vex 3061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
46 csbeq1 3375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  [_ z  /  x ]_ B  = 
[_ w  /  x ]_ B )
4745, 46iunxsn 4353 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ z  e.  { w } [_ z  /  x ]_ B  =  [_ w  /  x ]_ B
4844, 47eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  { w } B  =  [_ w  /  x ]_ B
4948ineq2i 3637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  {
w } B )  =  ( U_ x  e.  z  B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
5150ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  -> Disj  x  e.  A  B )
5238adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  z  C_  A )
53 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  C_  A
)
5453unssbd 3620 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  { w }  C_  A )
55 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  -.  w  e.  z )
56 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  i^i  { w } )  =  (/)  <->  -.  w  e.  z )
5755, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  i^i  { w } )  =  (/) )
58 disjiun 4385 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( z  C_  A  /\  { w }  C_  A  /\  ( z  i^i 
{ w } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  { w } B
)  =  (/) )
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  {
w } B )  =  (/) )
6049, 59syl5eqr 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  z  B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
61 iunxun 4355 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B )
6248uneq2i 3593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  {
w } B )  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B )
6361, 62eqtri 2431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B ) )
652ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
66 ssfi 7774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  e.  Fin )
6765, 53, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  e.  Fin )
68 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
6968ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
7069ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
71 ssralv 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( z  u.  { w } ) B  e. 
Fin ) )
7253, 70, 71sylc 59 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )
73 iunfi 7841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  u.  {
w } )  e. 
Fin  /\  A. x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
z  u.  { w } ) B  e. 
Fin )
7467, 72, 73syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )
75 iunss1 4282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  C_  U_ x  e.  A  B
)
7675adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
C_  U_ x  e.  A  B )
7776sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B
)
78 eliun 4275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  k  e.  B )
79 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
8079rexlimdvaa 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  CC ) )
8180ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  CC ) )
8278, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  ->  C  e.  CC ) )
8382imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )  ->  C  e.  CC )
8477, 83syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )  ->  C  e.  CC )
8560, 64, 74, 84fsumsplit 13709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
86 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  =  ( z  u.  { w } ) )
8753sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  x  e.  A )
8879anassrs 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8968, 88fsumcl 13702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9089ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9190ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9291r19.21bi 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9387, 92syldan 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9457, 86, 67, 93fsumsplit 13709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C
) )
95 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z sum_ k  e.  B  C
96 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x C
9742, 96nfsum 13660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C
9843sumeq1d 13670 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C )
9995, 97, 98cbvsumi 13666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  {
w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C
10045snss 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  A  <->  { w }  C_  A )
10154, 100sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  w  e.  A )
102 nfcsb1v 3388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
103102, 96nfsum 13660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C
104103nfel1 2580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC
105 csbeq1a 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
106105sumeq1d 13670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
107106eleq1d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  B  C  e.  CC  <->  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )
)
108104, 107rspc 3153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C  e.  CC ) )
109101, 91, 108sylc 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )
11046sumeq1d 13670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
111110sumsn 13710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  _V  /\  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )  ->  sum_ z  e.  { w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  =  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )
11245, 109, 111sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ z  e.  { w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  = 
sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
11399, 112syl5eq 2455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
114113oveq2d 6293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ x  e.  {
w } sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
11594, 114eqtrd 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
11685, 115eqeq12d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  {
w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  <->  (
sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )  =  ( sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C ) ) )
11740, 116syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) )
118117ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  {
w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C
) ) )
119118a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )  ->  ( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
) )
12039, 119syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) )
121120expcom 433 . . . . . 6  |-  ( -.  w  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
122121a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  w  e.  z  -> 
( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
123122adantl 464 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  w  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
12411, 18, 25, 32, 36, 123findcard2s 7794 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C ) ) )
1252, 124mpcom 34 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C ) )
1261, 125mpi 18 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058   [_csb 3372    u. cun 3411    i^i cin 3412    C_ wss 3413   (/)c0 3737   {csn 3971   U_ciun 4270  Disj wdisj 4365  (class class class)co 6277   Fincfn 7553   CCcc 9519   0cc0 9521    + caddc 9524   sum_csu 13655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656
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