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Theorem fsumiun 13276
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
fsumiun.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumiun  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    ph, k, x    x, C
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3370 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3372 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 iuneq1 4179 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
5 0iun 4222 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
64, 5syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  U_ x  e.  u  B  =  (/) )
76sumeq1d 13170 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
8 sumeq1 13158 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
97, 8eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  = 
sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
)
103, 9imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C
)  <->  ( (/)  C_  A  -> 
sum_ k  e.  (/)  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C
) ) )
1110imbi2d 316 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
) ) )
12 sseq1 3372 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  (
u  C_  A  <->  z  C_  A ) )
13 iuneq1 4179 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  z  B )
1413sumeq1d 13170 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C )
15 sumeq1 13158 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )
1614, 15eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) )
1712, 16imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )
) )
1817imbi2d 316 . . . 4  |-  ( u  =  z  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )
)  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
19 sseq1 3372 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( u  C_  A 
<->  ( z  u.  {
w } )  C_  A ) )
20 iuneq1 4179 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )
2120sumeq1d 13170 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e. 
U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C )
22 sumeq1 13158 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
2321, 22eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
)
2419, 23imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( ( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) )
2524imbi2d 316 . . . 4  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( ( ph  ->  ( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C ) )  <->  ( ph  ->  ( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
) ) )
26 sseq1 3372 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  (
u  C_  A  <->  A  C_  A
) )
27 iuneq1 4179 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  A  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  A  B
)
2827sumeq1d 13170 . . . . . . 7  |-  ( u  =  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C )
29 sumeq1 13158 . . . . . . 7  |-  ( u  =  A  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
3028, 29eqeq12d 2452 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C
) )
3126, 30imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( u  =  A  ->  (
( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
) )
3231imbi2d 316 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )
)  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C
) ) ) )
33 sum0 13190 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
34 sum0 13190 . . . . . 6  |-  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  0
3533, 34eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C
3635a1ii 27 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
)
37 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  ( z  u.  {
w } )  C_  A )
3837unssad 3528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  z  C_  A )
3938imim1i 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C ) )
40 oveq1 6093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  = 
sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )  =  ( sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C ) )
41 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z B
42 nfcsb1v 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
43 csbeq1a 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4441, 42, 43cbviun 4202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  { w } B  =  U_ z  e.  {
w } [_ z  /  x ]_ B
45 vex 2970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
46 csbeq1 3286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  [_ z  /  x ]_ B  = 
[_ w  /  x ]_ B )
4745, 46iunxsn 4245 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ z  e.  { w } [_ z  /  x ]_ B  =  [_ w  /  x ]_ B
4844, 47eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  { w } B  =  [_ w  /  x ]_ B
4948ineq2i 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  {
w } B )  =  ( U_ x  e.  z  B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  -> Disj  x  e.  A  B )
5238adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  z  C_  A )
53 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  C_  A
)
5453unssbd 3529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  { w }  C_  A )
55 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  -.  w  e.  z )
56 disjsn 3931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  i^i  { w } )  =  (/)  <->  -.  w  e.  z )
5755, 56sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  i^i  { w } )  =  (/) )
58 disjiun 4277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( z  C_  A  /\  { w }  C_  A  /\  ( z  i^i 
{ w } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  { w } B
)  =  (/) )
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  {
w } B )  =  (/) )
6049, 59syl5eqr 2484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  z  B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
61 iunxun 4247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B )
6248uneq2i 3502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  {
w } B )  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B )
6361, 62eqtri 2458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B ) )
652ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
66 ssfi 7525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  e.  Fin )
6765, 53, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  e.  Fin )
68 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
6968ralrimiva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
7069ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
71 ssralv 3411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( z  u.  { w } ) B  e. 
Fin ) )
7253, 70, 71sylc 60 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )
73 iunfi 7591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  u.  {
w } )  e. 
Fin  /\  A. x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
z  u.  { w } ) B  e. 
Fin )
7467, 72, 73syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )
75 iunss1 4177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  C_  U_ x  e.  A  B
)
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
C_  U_ x  e.  A  B )
7776sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B
)
78 eliun 4170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  k  e.  B )
79 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
8079rexlimdvaa 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  CC ) )
8180ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  CC ) )
8278, 81syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  ->  C  e.  CC ) )
8382imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )  ->  C  e.  CC )
8477, 83syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )  ->  C  e.  CC )
8560, 64, 74, 84fsumsplit 13208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
86 eqidd 2439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  =  ( z  u.  { w } ) )
8753sselda 3351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  x  e.  A )
8879anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8968, 88fsumcl 13202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9089ralrimiva 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9190ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9291r19.21bi 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9387, 92syldan 470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9457, 86, 67, 93fsumsplit 13208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C
) )
95 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z sum_ k  e.  B  C
96 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x C
9742, 96nfsum 13160 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C
9843sumeq1d 13170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C )
9995, 97, 98cbvsumi 13166 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  {
w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C
10045snss 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  A  <->  { w }  C_  A )
10154, 100sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  w  e.  A )
102 nfcsb1v 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
103102, 96nfsum 13160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C
104103nfel1 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC
105 csbeq1a 3292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
106105sumeq1d 13170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
107106eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  B  C  e.  CC  <->  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )
)
108104, 107rspc 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C  e.  CC ) )
109101, 91, 108sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )
11046sumeq1d 13170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
111110sumsn 13209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  _V  /\  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )  ->  sum_ z  e.  { w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  =  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )
11245, 109, 111sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ z  e.  { w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  = 
sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
11399, 112syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
114113oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ x  e.  {
w } sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
11594, 114eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
11685, 115eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  {
w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  <->  (
sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )  =  ( sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C ) ) )
11740, 116syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) )
118117ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  {
w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C
) ) )
119118a2d 26 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )  ->  ( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
) )
12039, 119syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) )
121120expcom 435 . . . . . 6  |-  ( -.  w  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
122121a2d 26 . . . . 5  |-  ( -.  w  e.  z  -> 
( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
123122adantl 466 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  w  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
12411, 18, 25, 32, 36, 123findcard2s 7545 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C ) ) )
1252, 124mpcom 36 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C ) )
1261, 125mpi 17 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   [_csb 3283    u. cun 3321    i^i cin 3322    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {csn 3872   U_ciun 4166  Disj wdisj 4257  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277   sum_csu 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156
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