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Theorem fsumiun 13881
Description: Sum over a disjoint indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumiun.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumiun.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
fsumiun.3  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
fsumiun.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumiun  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k    ph, k, x    x, C
Allowed substitution hints:    B( x)    C( k)

Proof of Theorem fsumiun
Dummy variables  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3451 . 2  |-  A  C_  A
2 fsumiun.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
3 sseq1 3453 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( u 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
4 iuneq1 4292 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  (/)  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  (/)  B )
5 0iun 4335 . . . . . . . . 9  |-  U_ x  e.  (/)  B  =  (/)
64, 5syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  (/)  ->  U_ x  e.  u  B  =  (/) )
76sumeq1d 13767 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
8 sumeq1 13755 . . . . . . 7  |-  ( u  =  (/)  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
97, 8eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( u  =  (/)  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  = 
sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
)
103, 9imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( u  =  (/)  ->  ( ( u  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C
)  <->  ( (/)  C_  A  -> 
sum_ k  e.  (/)  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C
) ) )
1110imbi2d 318 . . . 4  |-  ( u  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( u  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C ) )  <->  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
) ) )
12 sseq1 3453 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  (
u  C_  A  <->  z  C_  A ) )
13 iuneq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  z  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  z  B )
1413sumeq1d 13767 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C )
15 sumeq1 13755 . . . . . . 7  |-  ( u  =  z  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )
1614, 15eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( u  =  z  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) )
1712, 16imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( u  =  z  ->  (
( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )
) )
1817imbi2d 318 . . . 4  |-  ( u  =  z  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )
)  <->  ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
19 sseq1 3453 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( u  C_  A 
<->  ( z  u.  {
w } )  C_  A ) )
20 iuneq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )
2120sumeq1d 13767 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e. 
U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C )
22 sumeq1 13755 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
2321, 22eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
)
2419, 23imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( ( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) )
2524imbi2d 318 . . . 4  |-  ( u  =  ( z  u. 
{ w } )  ->  ( ( ph  ->  ( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C ) )  <->  ( ph  ->  ( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
) ) )
26 sseq1 3453 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  (
u  C_  A  <->  A  C_  A
) )
27 iuneq1 4292 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  A  ->  U_ x  e.  u  B  =  U_ x  e.  A  B
)
2827sumeq1d 13767 . . . . . . 7  |-  ( u  =  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C )
29 sumeq1 13755 . . . . . . 7  |-  ( u  =  A  ->  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
3028, 29eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( u  =  A  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C  <->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C
) )
3126, 30imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( u  =  A  ->  (
( u  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )  <->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e. 
U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
) )
3231imbi2d 318 . . . 4  |-  ( u  =  A  ->  (
( ph  ->  ( u 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  u  B C  =  sum_ x  e.  u  sum_ k  e.  B  C )
)  <->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C
) ) ) )
33 sum0 13787 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
34 sum0 13787 . . . . . 6  |-  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C  =  0
3533, 34eqtr4i 2476 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C
36352a1i 12 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  A  ->  sum_ k  e.  (/)  C  = 
sum_ x  e.  (/)  sum_ k  e.  B  C )
)
37 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  ( z  u.  {
w } )  C_  A )
3837unssad 3611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  z  C_  A )
3938imim1i 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C ) )
40 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  = 
sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )  =  ( sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C ) )
41 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z B
42 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ B
43 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  z  ->  B  =  [_ z  /  x ]_ B )
4441, 42, 43cbviun 4315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ x  e.  { w } B  =  U_ z  e.  {
w } [_ z  /  x ]_ B
45 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  w  e. 
_V
46 csbeq1 3366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  [_ z  /  x ]_ B  = 
[_ w  /  x ]_ B )
4745, 46iunxsn 4361 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U_ z  e.  { w } [_ z  /  x ]_ B  =  [_ w  /  x ]_ B
4844, 47eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  { w } B  =  [_ w  /  x ]_ B
4948ineq2i 3631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  {
w } B )  =  ( U_ x  e.  z  B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )
50 fsumiun.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> Disj  x  e.  A  B
)
5150ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  -> Disj  x  e.  A  B )
5238adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  z  C_  A )
53 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  C_  A
)
5453unssbd 3612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  { w }  C_  A )
55 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  -.  w  e.  z )
56 disjsn 4032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  i^i  { w } )  =  (/)  <->  -.  w  e.  z )
5755, 56sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  i^i  { w } )  =  (/) )
58 disjiun 4393 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (Disj  x  e.  A  B  /\  ( z  C_  A  /\  { w }  C_  A  /\  ( z  i^i 
{ w } )  =  (/) ) )  -> 
( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  { w } B
)  =  (/) )
5951, 52, 54, 57, 58syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  z  B  i^i  U_ x  e.  {
w } B )  =  (/) )
6049, 59syl5eqr 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( U_ x  e.  z  B  i^i  [_ w  /  x ]_ B )  =  (/) )
61 iunxun 4363 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  { w } B )
6248uneq2i 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U_ x  e.  z  B  u.  U_ x  e.  {
w } B )  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B )
6361, 62eqtri 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B )
6463a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  =  ( U_ x  e.  z  B  u.  [_ w  /  x ]_ B ) )
652ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A  e.  Fin )
66 ssfi 7792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  e.  Fin )
6765, 53, 66syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  e.  Fin )
68 fsumiun.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  Fin )
6968ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
7069ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  A  B  e.  Fin )
71 ssralv 3493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  Fin  ->  A. x  e.  ( z  u.  { w } ) B  e. 
Fin ) )
7253, 70, 71sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )
73 iunfi 7862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( z  u.  {
w } )  e. 
Fin  /\  A. x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )  ->  U_ x  e.  (
z  u.  { w } ) B  e. 
Fin )
7467, 72, 73syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B  e.  Fin )
75 iunss1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  ->  U_ x  e.  ( z  u.  { w } ) B  C_  U_ x  e.  A  B
)
7675adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B 
C_  U_ x  e.  A  B )
7776sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )  ->  k  e.  U_ x  e.  A  B
)
78 eliun 4283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  U_ x  e.  A  B  <->  E. x  e.  A  k  e.  B )
79 fsumiun.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  CC )
8079rexlimdvaa 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  CC ) )
8180ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( E. x  e.  A  k  e.  B  ->  C  e.  CC ) )
8278, 81syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
k  e.  U_ x  e.  A  B  ->  C  e.  CC ) )
8382imp 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  A  B )  ->  C  e.  CC )
8477, 83syldan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  k  e.  U_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) B )  ->  C  e.  CC )
8560, 64, 74, 84fsumsplit 13806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
86 eqidd 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  (
z  u.  { w } )  =  ( z  u.  { w } ) )
8753sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  x  e.  A )
8879anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8968, 88fsumcl 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9089ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9190ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9291r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9387, 92syldan 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z
)  /\  ( z  u.  { w } ) 
C_  A )  /\  x  e.  ( z  u.  { w } ) )  ->  sum_ k  e.  B  C  e.  CC )
9457, 86, 67, 93fsumsplit 13806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C
) )
95 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z sum_ k  e.  B  C
96 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x C
9742, 96nfsum 13757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C
9843sumeq1d 13767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  z  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C )
9995, 97, 98cbvsumi 13763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ z  e.  {
w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C
10045snss 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  A  <->  { w }  C_  A )
10154, 100sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  w  e.  A )
102 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x [_ w  /  x ]_ B
103102, 96nfsum 13757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C
104103nfel1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC
105 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  w  ->  B  =  [_ w  /  x ]_ B )
106105sumeq1d 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  w  ->  sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
107106eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  w  ->  ( sum_ k  e.  B  C  e.  CC  <->  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )
)
108104, 107rspc 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  B  C  e.  CC  ->  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C  e.  CC ) )
109101, 91, 108sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )
11046sumeq1d 13767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  w  ->  sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
111110sumsn 13807 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  _V  /\  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C  e.  CC )  ->  sum_ z  e.  { w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  =  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )
11245, 109, 111sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ z  e.  { w } sum_ k  e.  [_  z  /  x ]_ B C  = 
sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
11399, 112syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  { w } sum_ k  e.  B  C  =  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C )
114113oveq2d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ x  e.  {
w } sum_ k  e.  B  C )  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
11594, 114eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  =  ( sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e.  [_  w  /  x ]_ B C ) )
11685, 115eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  {
w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C  <->  (
sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C )  =  ( sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  +  sum_ k  e. 
[_  w  /  x ]_ B C ) ) )
11740, 116syl5ibr 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  w  e.  z )  /\  ( z  u.  {
w } )  C_  A )  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) )
118117ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  ( sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  {
w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  {
w } ) sum_ k  e.  B  C
) ) )
119118a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )  ->  ( ( z  u. 
{ w } ) 
C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u.  { w } ) sum_ k  e.  B  C )
) )
12039, 119syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  w  e.  z )  ->  (
( z  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) )
121120expcom 437 . . . . . 6  |-  ( -.  w  e.  z  -> 
( ph  ->  ( ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C )  ->  (
( z  u.  {
w } )  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
122121a2d 29 . . . . 5  |-  ( -.  w  e.  z  -> 
( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z 
sum_ k  e.  B  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
123122adantl 468 . . . 4  |-  ( ( z  e.  Fin  /\  -.  w  e.  z
)  ->  ( ( ph  ->  ( z  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  z  B C  =  sum_ x  e.  z  sum_ k  e.  B  C ) )  -> 
( ph  ->  ( ( z  u.  { w } )  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  ( z  u.  { w } ) B C  =  sum_ x  e.  ( z  u. 
{ w } )
sum_ k  e.  B  C ) ) ) )
12411, 18, 25, 32, 36, 123findcard2s 7812 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( A  C_  A  ->  sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C ) ) )
1252, 124mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  A  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C ) )
1261, 125mpi 20 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  U_  x  e.  A  B C  =  sum_ x  e.  A  sum_ k  e.  B  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   [_csb 3363    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   {csn 3968   U_ciun 4278  Disj wdisj 4373  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   CCcc 9537   0cc0 9539    + caddc 9542   sum_csu 13752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753
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