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Theorem fsumharmonic 22289
Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound  C only applies asymptotically, and there is a "weak" bound  R for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
fsumharmonic.t  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
fsumharmonic.r  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
fsumharmonic.b  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
fsumharmonic.c  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
fsumharmonic.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
fsumharmonic.1  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
fsumharmonic.2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    ph, n    R, n    T, n
Allowed substitution hints:    B( n)    C( n)

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 11778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 fsumharmonic.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3 elfznn 11464 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nncnd 10325 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
64nnne0d 10353 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
72, 5, 6divcld 10094 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( B  /  n )  e.  CC )
81, 7fsumcl 13193 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( B  /  n )  e.  CC )
98abscld 12905 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  e.  RR )
102abscld 12905 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
1110, 4nndivred 10357 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
121, 11fsumrecl 13194 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
13 fsumharmonic.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
141, 13fsumrecl 13194 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) C  e.  RR )
15 fsumharmonic.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
1615simpld 456 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
1817simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
19 0red 9374 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
20 1red 9388 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
21 0lt1 9849 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
2317simprd 460 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
2419, 20, 18, 22, 23ltletrd 9518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  T )
2518, 24elrpd 11012 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2625relogcld 21956 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  RR )
2726, 20readdcld 9400 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
2816, 27remulcld 9401 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) )  e.  RR )
2914, 28readdcld 9400 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )  e.  RR )
301, 7fsumabs 13246 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) ) )
312, 5, 6absdivd 12924 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  n ) ) )
324nnrpd 11013 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3332rprege0d 11021 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
34 absid 12768 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
3635oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3731, 36eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3837sumeq2dv 13163 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3930, 38breqtrd 4304 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
40 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4140, 25rpdivcld 11031 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR+ )
4241rprege0d 11021 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  T )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) ) )
43 flge0nn0 11649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4544nn0red 10624 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
4645ltp1d 10250 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) )
47 fzdisj 11462 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
4846, 47syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
49 nn0p1nn 10606 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 )  e.  NN )
5044, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  NN )
51 nnuz 10883 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5250, 51syl6eleq 2523 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5341rpred 11014 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR )
5440rpred 11014 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5518, 24jca 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )
5640rpregt0d 11020 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
57 lediv2 10209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
5820, 22, 55, 56, 57syl211anc 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
5923, 58mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  ( A  /  1 ) )
6054recnd 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6160div1d 10086 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6259, 61breqtrd 4304 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  A )
63 flword2 11644 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  /  T )  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )
6453, 54, 62, 63syl3anc 1211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
65 fzsplit2 11460 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ) )
6652, 64, 65syl2anc 654 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  u.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
6711recnd 9399 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  CC )
6848, 66, 1, 67fsumsplit 13199 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) ) )
69 fzfid 11778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  e.  Fin )
70 ssun1 3507 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7170, 66syl5sseqr 3393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7271sselda 3344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7372, 11syldan 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
7469, 73fsumrecl 13194 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
75 fzfid 11778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
76 ssun2 3508 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) )  C_  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7776, 66syl5sseqr 3393 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7877sselda 3344 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7978, 11syldan 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
8075, 79fsumrecl 13194 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
8172, 13syldan 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
8269, 81fsumrecl 13194 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  e.  RR )
83 fznnfl 11684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  T
) ) ) )
8453, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  T ) ) ) )
8584simplbda 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  T ) )
8632rpred 11014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR )
8754adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
8855adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T ) )
89 lemuldiv2 10199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9086, 87, 88, 89syl3anc 1211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9118adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
9291, 87, 32lemuldivd 11059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9390, 92bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9472, 93syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9585, 94mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  T  <_  ( A  /  n ) )
96 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
9796ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
9872, 97syldan 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
9995, 98mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
)
10072, 2syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
101100abscld 12905 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
10272, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
103102nnrpd 11013 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
104101, 81, 103ledivmul2d 11064 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  /  n )  <_  C  <->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
10599, 104mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  C
)
10669, 73, 81, 105fsumle 13244 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) C )
107 fsumharmonic.0 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
1081, 13, 107, 71fsumless 13241 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
10974, 82, 14, 106, 108letrd 9515 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
11078, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
111110nnrecred 10354 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11275, 111fsumrecl 13194 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
11316, 112remulcld 9401 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11416adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  RR )
115114recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  CC )
116110nncnd 10325 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
117110nnne0d 10353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
118115, 116, 117divrecd 10097 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  =  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
119114, 110nndivred 10357 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  e.  RR )
120118, 119eqeltrrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12178, 10syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
12278, 32syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
123 noel 3629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  n  e.  (/)
124 elin 3527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  i^i  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
12548eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
126124, 125syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
127123, 126mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
128 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  ->  -.  n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
129127, 128sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
130129con2d 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ) )
131130imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
13283baibd 893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
13353, 3, 132syl2an 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
134133, 93bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
13578, 134syldan 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
136131, 135mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  T  <_  ( A  /  n
) )
13754adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
138137, 110nndivred 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
13918adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
140138, 139ltnled 9508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  <->  -.  T  <_  ( A  /  n ) ) )
141136, 140mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  <  T
)
142 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
143142ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
14478, 143syldan 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  R
)
146121, 114, 122, 145lediv1dd 11068 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  /  n ) )
147146, 118breqtrd 4304 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
14875, 79, 120, 147fsumle 13244 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
14916recnd 9399 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
150111recnd 9399 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15175, 149, 150fsummulc2 13233 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
152148, 151breqtrrd 4306 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) ) )
1534nnrecred 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
154153recnd 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15548, 66, 1, 154fsumsplit 13199 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) ) )
156155oveq1d 6095 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
157102nnrecred 10354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15869, 157fsumrecl 13194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
159158recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  CC )
160112recnd 9399 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
161159, 160pncan2d 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )
162156, 161eqtrd 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )
1631, 153fsumrecl 13194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
164163adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
165158adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
166164, 165resubcld 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
167 0red 9374 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  e.  RR )
16827adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
169 fzfid 11778 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  e. 
Fin )
170103adantlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
171170rpreccld 11024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
172171rpred 11014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
173171rpge0d 11018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  n ) )
17440adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR+ )
175174rpge0d 11018 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  A )
176 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  1 )
177 0p1e1 10420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  =  1
178176, 177syl6breqr 4320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( 0  +  1 ) )
17954adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR )
180 0z 10644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
181 flbi 11647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  0  <-> 
( 0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
182179, 180, 181sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( |_ `  A
)  =  0  <->  (
0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
183175, 178, 182mpbir2and 906 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )
184183oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... 0
) )
185 fz10 11456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
186184, 185syl6eq 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  (/) )
187 0ss 3654 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )
188186, 187syl6eqss 3394 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
189169, 172, 173, 188fsumless 13241 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
190164, 165suble0d 9917 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) ) )
191189, 190mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0
)
19218, 23logge0d 21963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  T ) )
193 0le1 9850 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
194193a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
19526, 20, 192, 194addge0d 9902 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
196195adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
197166, 167, 168, 191, 196letrd 9515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
198 harmonicubnd 22287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
19954, 198sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
200 harmoniclbnd 22286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20141, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
202201adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20340relogcld 21956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
204 peano2re 9529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  A )  e.  RR  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
20641relogcld 21956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
207 le2sub 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )  /\  ( ( ( log `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  A
)  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
208163, 158, 205, 206, 207syl22anc 1212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
209208adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
210199, 202, 209mp2and 672 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) )
211203recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
21220recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
21326recnd 9399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  CC )
214211, 212, 213pnncand 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) )  =  ( 1  +  ( log `  T ) ) )
21540, 25relogdivd 21959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  T ) ) )
216215oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) ) )
217 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
218 addcom 9542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
219213, 217, 218sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
220214, 216, 2193eqtr4d 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
221220adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) )  =  ( ( log `  T )  +  1 ) )
222210, 221breqtrd 4304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
223197, 222, 54, 20ltlecasei 9469 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
224162, 223eqbrtrrd 4302 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
225 lemul2a 10171 . . . . . 6  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )  /\  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  T
)  +  1 ) )  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )
226112, 27, 15, 224, 225syl31anc 1214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
22780, 113, 28, 152, 226letrd 9515 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
22874, 80, 14, 28, 109, 227le2addd 9944 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) C  +  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) ) ) )
22968, 228eqbrtrd 4300 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
2309, 12, 29, 39, 229letrd 9515 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    u. cun 3314    i^i cin 3315   (/)c0 3625   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    <_ cle 9406    - cmin 9582    / cdiv 9980   NNcn 10309   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   RR+crp 10978   ...cfz 11423   |_cfl 11623   abscabs 12706   sum_csu 13146   logclog 21890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-addf 9348  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-pm 7205  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-ioc 11292  df-ico 11293  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-fl 11625  df-mod 11692  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-shft 12539  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-limsup 12932  df-clim 12949  df-rlim 12950  df-sum 13147  df-ef 13335  df-e 13336  df-sin 13337  df-cos 13338  df-pi 13340  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-fbas 17657  df-fg 17658  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cld 18464  df-ntr 18465  df-cls 18466  df-nei 18543  df-lp 18581  df-perf 18582  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-haus 18760  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-fil 19260  df-fm 19352  df-flim 19353  df-flf 19354  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295  df-limc 21182  df-dv 21183  df-log 21892  df-em 22270
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  22631  mulog2sumlem2  22668
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