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Theorem fsumharmonic 22427
Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound  C only applies asymptotically, and there is a "weak" bound  R for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
fsumharmonic.t  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
fsumharmonic.r  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
fsumharmonic.b  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
fsumharmonic.c  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
fsumharmonic.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
fsumharmonic.1  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
fsumharmonic.2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    ph, n    R, n    T, n
Allowed substitution hints:    B( n)    C( n)

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 11816 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 fsumharmonic.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3 elfznn 11499 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nncnd 10359 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
64nnne0d 10387 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
72, 5, 6divcld 10128 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( B  /  n )  e.  CC )
81, 7fsumcl 13231 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( B  /  n )  e.  CC )
98abscld 12943 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  e.  RR )
102abscld 12943 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
1110, 4nndivred 10391 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
121, 11fsumrecl 13232 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
13 fsumharmonic.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
141, 13fsumrecl 13232 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) C  e.  RR )
15 fsumharmonic.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
1615simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
1817simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
19 0red 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
20 1red 9422 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
21 0lt1 9883 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
2317simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
2419, 20, 18, 22, 23ltletrd 9552 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  T )
2518, 24elrpd 11046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2625relogcld 22094 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  RR )
2726, 20readdcld 9434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
2816, 27remulcld 9435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) )  e.  RR )
2914, 28readdcld 9434 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )  e.  RR )
301, 7fsumabs 13285 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) ) )
312, 5, 6absdivd 12962 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  n ) ) )
324nnrpd 11047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3332rprege0d 11055 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
34 absid 12806 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
3635oveq2d 6128 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3731, 36eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3837sumeq2dv 13201 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3930, 38breqtrd 4337 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
40 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4140, 25rpdivcld 11065 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR+ )
4241rprege0d 11055 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  T )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) ) )
43 flge0nn0 11687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4544nn0red 10658 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
4645ltp1d 10284 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) )
47 fzdisj 11497 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
4846, 47syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
49 nn0p1nn 10640 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 )  e.  NN )
5044, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  NN )
51 nnuz 10917 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5250, 51syl6eleq 2533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5341rpred 11048 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR )
5440rpred 11048 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5518, 24jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )
5640rpregt0d 11054 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
57 lediv2 10243 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
5820, 22, 55, 56, 57syl211anc 1224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
5923, 58mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  ( A  /  1 ) )
6054recnd 9433 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6160div1d 10120 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6259, 61breqtrd 4337 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  A )
63 flword2 11682 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  /  T )  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )
6453, 54, 62, 63syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
65 fzsplit2 11495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ) )
6652, 64, 65syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  u.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
6711recnd 9433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  CC )
6848, 66, 1, 67fsumsplit 13237 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) ) )
69 fzfid 11816 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  e.  Fin )
70 ssun1 3540 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7170, 66syl5sseqr 3426 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7271sselda 3377 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7372, 11syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
7469, 73fsumrecl 13232 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
75 fzfid 11816 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
76 ssun2 3541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) )  C_  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7776, 66syl5sseqr 3426 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7877sselda 3377 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7978, 11syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
8075, 79fsumrecl 13232 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
8172, 13syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
8269, 81fsumrecl 13232 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  e.  RR )
83 fznnfl 11722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  T
) ) ) )
8453, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  T ) ) ) )
8584simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  T ) )
8632rpred 11048 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR )
8754adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
8855adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T ) )
89 lemuldiv2 10233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9086, 87, 88, 89syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9118adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
9291, 87, 32lemuldivd 11093 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9390, 92bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9472, 93syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9585, 94mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  T  <_  ( A  /  n ) )
96 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
9796ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
9872, 97syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
9995, 98mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
)
10072, 2syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
101100abscld 12943 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
10272, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
103102nnrpd 11047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
104101, 81, 103ledivmul2d 11098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  /  n )  <_  C  <->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
10599, 104mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  C
)
10669, 73, 81, 105fsumle 13283 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) C )
107 fsumharmonic.0 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
1081, 13, 107, 71fsumless 13280 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
10974, 82, 14, 106, 108letrd 9549 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
11078, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
111110nnrecred 10388 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11275, 111fsumrecl 13232 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
11316, 112remulcld 9435 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11416adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  RR )
115114recnd 9433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  CC )
116110nncnd 10359 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
117110nnne0d 10387 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
118115, 116, 117divrecd 10131 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  =  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
119114, 110nndivred 10391 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  e.  RR )
120118, 119eqeltrrd 2518 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12178, 10syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
12278, 32syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
123 noel 3662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  n  e.  (/)
124 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  i^i  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
12548eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
126124, 125syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
127123, 126mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
128 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  ->  -.  n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
129127, 128sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
130129con2d 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ) )
131130imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
13283baibd 900 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
13353, 3, 132syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
134133, 93bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
13578, 134syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
136131, 135mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  T  <_  ( A  /  n
) )
13754adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
138137, 110nndivred 10391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
13918adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
140138, 139ltnled 9542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  <->  -.  T  <_  ( A  /  n ) ) )
141136, 140mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  <  T
)
142 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
143142ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
14478, 143syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  R
)
146121, 114, 122, 145lediv1dd 11102 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  /  n ) )
147146, 118breqtrd 4337 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
14875, 79, 120, 147fsumle 13283 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
14916recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
150111recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15175, 149, 150fsummulc2 13272 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
152148, 151breqtrrd 4339 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) ) )
1534nnrecred 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
154153recnd 9433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15548, 66, 1, 154fsumsplit 13237 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) ) )
156155oveq1d 6127 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
157102nnrecred 10388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15869, 157fsumrecl 13232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
159158recnd 9433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  CC )
160112recnd 9433 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
161159, 160pncan2d 9742 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )
162156, 161eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )
1631, 153fsumrecl 13232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
164163adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
165158adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
166164, 165resubcld 9797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
167 0red 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  e.  RR )
16827adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
169 fzfid 11816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  e. 
Fin )
170103adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
171170rpreccld 11058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
172171rpred 11048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
173171rpge0d 11052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  n ) )
17440adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR+ )
175174rpge0d 11052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  A )
176 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  1 )
177 0p1e1 10454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  =  1
178176, 177syl6breqr 4353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( 0  +  1 ) )
17954adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR )
180 0z 10678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
181 flbi 11685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  0  <-> 
( 0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
182179, 180, 181sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( |_ `  A
)  =  0  <->  (
0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
183175, 178, 182mpbir2and 913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )
184183oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... 0
) )
185 fz10 11491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
186184, 185syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  (/) )
187 0ss 3687 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )
188186, 187syl6eqss 3427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
189169, 172, 173, 188fsumless 13280 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
190164, 165suble0d 9951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) ) )
191189, 190mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0
)
19218, 23logge0d 22101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  T ) )
193 0le1 9884 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
194193a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
19526, 20, 192, 194addge0d 9936 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
196195adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
197166, 167, 168, 191, 196letrd 9549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
198 harmonicubnd 22425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
19954, 198sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
200 harmoniclbnd 22424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20141, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
202201adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20340relogcld 22094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
204 peano2re 9563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  A )  e.  RR  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
20641relogcld 22094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
207 le2sub 9859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )  /\  ( ( ( log `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  A
)  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
208163, 158, 205, 206, 207syl22anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
209208adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
210199, 202, 209mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) )
211203recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
21220recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
21326recnd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  CC )
214211, 212, 213pnncand 9779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) )  =  ( 1  +  ( log `  T ) ) )
21540, 25relogdivd 22097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  T ) ) )
216215oveq2d 6128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) ) )
217 ax-1cn 9361 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
218 addcom 9576 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
219213, 217, 218sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
220214, 216, 2193eqtr4d 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
221220adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) )  =  ( ( log `  T )  +  1 ) )
222210, 221breqtrd 4337 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
223197, 222, 54, 20ltlecasei 9503 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
224162, 223eqbrtrrd 4335 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
225 lemul2a 10205 . . . . . 6  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )  /\  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  T
)  +  1 ) )  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )
226112, 27, 15, 224, 225syl31anc 1221 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
22780, 113, 28, 152, 226letrd 9549 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
22874, 80, 14, 28, 109, 227le2addd 9978 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) C  +  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) ) ) )
22968, 228eqbrtrd 4333 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
2309, 12, 29, 39, 229letrd 9549 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    u. cun 3347    i^i cin 3348   (/)c0 3658   class class class wbr 4313   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882   RR+crp 11012   ...cfz 11458   |_cfl 11661   abscabs 12744   sum_csu 13184   logclog 22028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-mod 11730  df-seq 11828  df-exp 11887  df-fac 12073  df-bc 12100  df-hash 12125  df-shft 12577  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-limsup 12970  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-ef 13374  df-e 13375  df-sin 13376  df-cos 13377  df-pi 13379  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-lp 18762  df-perf 18763  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cncf 20476  df-limc 21363  df-dv 21364  df-log 22030  df-em 22408
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  22769  mulog2sumlem2  22806
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