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Theorem fsumharmonic 23467
Description: Bound a finite sum based on the harmonic series, where the "strong" bound  C only applies asymptotically, and there is a "weak" bound  R for the remaining values. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumharmonic.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
fsumharmonic.t  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
fsumharmonic.r  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
fsumharmonic.b  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
fsumharmonic.c  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
fsumharmonic.0  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
fsumharmonic.1  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
fsumharmonic.2  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
Assertion
Ref Expression
fsumharmonic  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    ph, n    R, n    T, n
Allowed substitution hints:    B( n)    C( n)

Proof of Theorem fsumharmonic
StepHypRef Expression
1 fzfid 12086 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
2 fsumharmonic.b . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  B  e.  CC )
3 elfznn 11739 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  ->  n  e.  NN )
43adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
54nncnd 10572 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
64nnne0d 10601 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
72, 5, 6divcld 10341 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( B  /  n )  e.  CC )
81, 7fsumcl 13567 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( B  /  n )  e.  CC )
98abscld 13279 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  e.  RR )
102abscld 13279 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
1110, 4nndivred 10605 . . 3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
121, 11fsumrecl 13568 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
13 fsumharmonic.c . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  C  e.  RR )
141, 13fsumrecl 13568 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) C  e.  RR )
15 fsumharmonic.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R )
)
1615simpld 459 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
17 fsumharmonic.t . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  1  <_  T )
)
1817simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
19 0red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
20 1red 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
21 0lt1 10096 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
2221a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
2317simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  <_  T )
2419, 20, 18, 22, 23ltletrd 9759 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  T )
2518, 24elrpd 11279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
2625relogcld 23134 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  RR )
2726, 20readdcld 9640 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
2816, 27remulcld 9641 . . 3  |-  ( ph  ->  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) )  e.  RR )
2914, 28readdcld 9640 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )  e.  RR )
301, 7fsumabs 13627 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) ) )
312, 5, 6absdivd 13298 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  ( abs `  n ) ) )
324nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
3332rprege0d 11288 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
34 absid 13141 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
3635oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3731, 36eqtrd 2498 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  ( B  /  n
) )  =  ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3837sumeq2dv 13537 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( abs `  ( B  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
3930, 38breqtrd 4480 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )
40 fsumharmonic.a . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
4140, 25rpdivcld 11298 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR+ )
4241rprege0d 11288 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  T )  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) ) )
43 flge0nn0 11957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A  /  T ) )  -> 
( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4442, 43syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0 )
4544nn0red 10874 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
4645ltp1d 10496 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) )
47 fzdisj 11737 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  <  ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
4846, 47syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  =  (/) )
49 nn0p1nn 10856 . . . . . . 7  |-  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  e.  NN0  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 )  e.  NN )
5044, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  NN )
51 nnuz 11141 . . . . . 6  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5250, 51syl6eleq 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5341rpred 11281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  e.  RR )
5440rpred 11281 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
5518, 24jca 532 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )
5640rpregt0d 11287 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )
57 lediv2 10455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
5820, 22, 55, 56, 57syl211anc 1234 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  <_  T  <->  ( A  /  T )  <_  ( A  / 
1 ) ) )
5923, 58mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  ( A  /  1 ) )
6054recnd 9639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6160div1d 10333 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  /  1
)  =  A )
6259, 61breqtrd 4480 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  /  T
)  <_  A )
63 flword2 11952 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( A  /  T )  <_  A )  ->  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )
6453, 54, 62, 63syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( |_ `  A
)  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
65 fzsplit2 11735 . . . . 5  |-  ( ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( |_ `  A )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  A
) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ) )
6652, 64, 65syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  u.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
6711recnd 9639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  CC )
6848, 66, 1, 67fsumsplit 13574 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) ) )
69 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  e.  Fin )
70 ssun1 3663 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  C_  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7170, 66syl5sseqr 3548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7271sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7372, 11syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
7469, 73fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
75 fzfid 12086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) )  e.  Fin )
76 ssun2 3664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) )  C_  (
( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  u.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )
7776, 66syl5sseqr 3548 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) 
C_  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) )
7877sselda 3499 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )
7978, 11syldan 470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  e.  RR )
8075, 79fsumrecl 13568 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  e.  RR )
8172, 13syldan 470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  C  e.  RR )
8269, 81fsumrecl 13568 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  e.  RR )
83 fznnfl 11992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR  ->  (
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  <->  ( n  e.  NN  /\  n  <_ 
( A  /  T
) ) ) )
8453, 83syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
( n  e.  NN  /\  n  <_  ( A  /  T ) ) ) )
8584simplbda 624 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  <_  ( A  /  T ) )
8632rpred 11281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR )
8754adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
8855adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  e.  RR  /\  0  < 
T ) )
89 lemuldiv2 10445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  ( T  e.  RR  /\  0  <  T ) )  -> 
( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9086, 87, 88, 89syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  n  <_  ( A  /  T ) ) )
9118adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
9291, 87, 32lemuldivd 11326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( T  x.  n )  <_  A  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9390, 92bitr3d 255 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9472, 93syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( n  <_  ( A  /  T
)  <->  T  <_  ( A  /  n ) ) )
9585, 94mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  T  <_  ( A  /  n ) )
96 fsumharmonic.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  T  <_ 
( A  /  n
) )  ->  ( abs `  B )  <_ 
( C  x.  n
) )
9796ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
9872, 97syldan 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( T  <_  ( A  /  n
)  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
9995, 98mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
)
10072, 2syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  B  e.  CC )
101100abscld 13279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
10272, 3syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
103102nnrpd 11280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
104101, 81, 103ledivmul2d 11331 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  /  n )  <_  C  <->  ( abs `  B )  <_  ( C  x.  n )
) )
10599, 104mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  C
)
10669, 73, 81, 105fsumle 13625 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) C )
107 fsumharmonic.0 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  0  <_  C )
1081, 13, 107, 71fsumless 13622 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) C  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
10974, 82, 14, 106, 108letrd 9756 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) C )
11078, 3syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  NN )
111110nnrecred 10602 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
11275, 111fsumrecl 13568 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
11316, 112remulcld 9641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  e.  RR )
11416adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  RR )
115114recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  R  e.  CC )
116110nncnd 10572 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  CC )
117110nnne0d 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  =/=  0 )
118115, 116, 117divrecd 10344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  =  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
119114, 110nndivred 10605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  /  n )  e.  RR )
120118, 119eqeltrrd 2546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( R  x.  ( 1  /  n
) )  e.  RR )
12178, 10syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
12278, 32syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
123 noel 3797 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  n  e.  (/)
124 elin 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  i^i  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  <->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
12548eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  i^i  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
126124, 125syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  n  e.  (/) ) )
127123, 126mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
128 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  ->  -.  n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) )  <->  -.  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  /\  n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ) )
129127, 128sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  ->  -.  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ) )
130129con2d 115 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ) )
131130imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
13283baibd 909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  /  T
)  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
13353, 3, 132syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
n  <_  ( A  /  T ) ) )
134133, 93bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
13578, 134syldan 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) )  <-> 
T  <_  ( A  /  n ) ) )
136131, 135mtbid 300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  -.  T  <_  ( A  /  n
) )
13754adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  A  e.  RR )
138137, 110nndivred 10605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  e.  RR )
13918adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  T  e.  RR )
140138, 139ltnled 9749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  <->  -.  T  <_  ( A  /  n ) ) )
141136, 140mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( A  /  n )  <  T
)
142 fsumharmonic.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  /\  ( A  /  n )  < 
T )  ->  ( abs `  B )  <_  R )
143142ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
14478, 143syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( A  /  n )  < 
T  ->  ( abs `  B )  <_  R
) )
145141, 144mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( abs `  B )  <_  R
)
146121, 114, 122, 145lediv1dd 11335 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  /  n ) )
147146, 118breqtrd 4480 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( ( abs `  B )  /  n )  <_  ( R  x.  ( 1  /  n ) ) )
14875, 79, 120, 147fsumle 13625 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
14916recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
150111recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15175, 149, 150fsummulc2 13611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( R  x.  (
1  /  n ) ) )
152148, 151breqtrrd 4482 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) ) )
1534nnrecred 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
154153recnd 9639 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
15548, 66, 1, 154fsumsplit 13574 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) ) )
156155oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) ) )
157102nnrecred 10602 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
15869, 157fsumrecl 13568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
159158recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  CC )
160112recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  CC )
161159, 160pncan2d 9952 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_
`  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n ) )  = 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )
162156, 161eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )
1631, 153fsumrecl 13568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )
164163adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
165158adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR )
166164, 165resubcld 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  e.  RR )
167 0red 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  e.  RR )
16827adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( log `  T
)  +  1 )  e.  RR )
169 fzfid 12086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )  e. 
Fin )
170103adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
171170rpreccld 11291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR+ )
172171rpred 11281 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
173171rpge0d 11285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A  <  1 )  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )  ->  0  <_  ( 1  /  n ) )
17440adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR+ )
175174rpge0d 11285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  A )
176 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  1 )
177 0p1e1 10668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  1 )  =  1
178176, 177syl6breqr 4496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  <  ( 0  +  1 ) )
17954adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  A  e.  RR )
180 0z 10896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
181 flbi 11955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  A )  =  0  <-> 
( 0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
182179, 180, 181sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( |_ `  A
)  =  0  <->  (
0  <_  A  /\  A  <  ( 0  +  1 ) ) ) )
183175, 178, 182mpbir2and 922 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )
184183oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  ( 1 ... 0
) )
185 fz10 11731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
186184, 185syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  =  (/) )
187 0ss 3823 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  C_  (
1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) )
188186, 187syl6eqss 3549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
1 ... ( |_ `  A ) )  C_  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) )
189169, 172, 173, 188fsumless 13622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
190164, 165suble0d 10164 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0  <->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) ) )
191189, 190mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  0
)
19218, 23logge0d 23141 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( log `  T ) )
193 0le1 10097 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
194193a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  1 )
19526, 20, 192, 194addge0d 10149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
196195adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  0  <_  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
197166, 167, 168, 191, 196letrd 9756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A  <  1 )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
198 harmonicubnd 23465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
19954, 198sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 ) )
200 harmoniclbnd 23464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  /  T )  e.  RR+  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20141, 200syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
202201adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )
20340relogcld 23134 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
204 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( log `  A )  e.  RR  ->  (
( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
205203, 204syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( log `  A
)  +  1 )  e.  RR )
20641relogcld 23134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR )
207 le2sub 10072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n )  e.  RR )  /\  ( ( ( log `  A )  +  1 )  e.  RR  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  e.  RR ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  A
)  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
208163, 158, 205, 206, 207syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
209208adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  <_  ( ( log `  A )  +  1 )  /\  ( log `  ( A  /  T
) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( ( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) ) )
210199, 202, 209mp2and 679 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) ) )
211203recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
21220recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
21326recnd 9639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  T
)  e.  CC )
214211, 212, 213pnncand 9989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) )  =  ( 1  +  ( log `  T ) ) )
21540, 25relogdivd 23137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( log `  ( A  /  T ) )  =  ( ( log `  A )  -  ( log `  T ) ) )
216215oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( ( log `  A )  -  ( log `  T
) ) ) )
217 ax-1cn 9567 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
218 addcom 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( log `  T
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
219213, 217, 218sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( log `  T
)  +  1 )  =  ( 1  +  ( log `  T
) ) )
220214, 216, 2193eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( log `  A )  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T
) ) )  =  ( ( log `  T
)  +  1 ) )
221220adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( (
( log `  A
)  +  1 )  -  ( log `  ( A  /  T ) ) )  =  ( ( log `  T )  +  1 ) )
222210, 221breqtrd 4480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  1  <_  A )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T
) ) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
223197, 222, 54, 20ltlecasei 9709 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( A  /  T ) ) ) ( 1  /  n
) )  <_  (
( log `  T
)  +  1 ) )
224162, 223eqbrtrrd 4478 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  <_  ( ( log `  T )  +  1 ) )
225 lemul2a 10418 . . . . . 6  |-  ( ( ( sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
)  e.  RR  /\  ( ( log `  T
)  +  1 )  e.  RR  /\  ( R  e.  RR  /\  0  <_  R ) )  /\  sum_
n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n )  <_ 
( ( log `  T
)  +  1 ) )  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( 1  /  n
) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) )
226112, 27, 15, 224, 225syl31anc 1231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( R  x.  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T ) )  +  1 ) ... ( |_ `  A
) ) ( 1  /  n ) )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
22780, 113, 28, 152, 226letrd 9756 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( R  x.  ( ( log `  T
)  +  1 ) ) )
22874, 80, 14, 28, 109, 227le2addd 10191 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( A  /  T ) ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( |_ `  ( A  /  T
) )  +  1 ) ... ( |_
`  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) C  +  ( R  x.  (
( log `  T
)  +  1 ) ) ) )
22968, 228eqbrtrd 4476 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  A ) ) ( ( abs `  B
)  /  n )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
2309, 12, 29, 39, 229letrd 9756 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A
) ) ( B  /  n ) )  <_  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  A ) ) C  +  ( R  x.  ( ( log `  T )  +  1 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    u. cun 3469    i^i cin 3470   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824    / cdiv 10227   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   |_cfl 11930   abscabs 13079   sum_csu 13520   logclog 23068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-e 13816  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-em 23448
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  23809  mulog2sumlem2  23846
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