MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumge1 Structured version   Unicode version

Theorem fsumge1 13577
Description: A sum of nonnegative numbers is greater than or equal to any one of its terms. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsumge0.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
fsumge0.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
fsumge1.4  |-  ( k  =  M  ->  B  =  C )
fsumge1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
Assertion
Ref Expression
fsumge1  |-  ( ph  ->  C  <_  sum_ k  e.  A  B )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    k, M    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumge1
StepHypRef Expression
1 fsumge1.5 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  A )
2 fsumge0.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  RR )
32recnd 9623 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
43ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
5 fsumge1.4 . . . . . 6  |-  ( k  =  M  ->  B  =  C )
65eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( k  =  M  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
76rspcv 3210 . . . 4  |-  ( M  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  C  e.  CC ) )
81, 4, 7sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
95sumsn 13529 . . 3  |-  ( ( M  e.  A  /\  C  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { M } B  =  C )
101, 8, 9syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } B  =  C )
11 fsumge0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
12 fsumge0.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  0  <_  B )
131snssd 4172 . . 3  |-  ( ph  ->  { M }  C_  A )
1411, 2, 12, 13fsumless 13576 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { M } B  <_  sum_ k  e.  A  B )
1510, 14eqbrtrrd 4469 1  |-  ( ph  ->  C  <_  sum_ k  e.  A  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {csn 4027   class class class wbr 4447   Fincfn 7517   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493    <_ cle 9630   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  lebnumlem1  21288  rrxdstprj1  21663  eulerpartlemgc  28052  eulerpartlemb  28058  rrndstprj1  30156
  Copyright terms: Public domain W3C validator