Theorem fsumge0 13362

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 11495	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
2	1	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	ssriv 3460	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4		ax-resscn 9442	. . . . 5 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3465	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
7		ge0addcl 11500	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
8	7	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
10		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
11		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
12		elrege0 11495	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
14		0e0icopnf 11498	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
16	6, 8, 9, 13, 15	fsumcllem 13313	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
17		elrege0 11495	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
18	17	simprbi 464	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
19	16, 18	syl 16	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   C_ wss 3428   class class class wbr 4392  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   + caddc 9388   +oocpnf 9518   <_ cle 9522   [,)cico 11405   sum_csu 13267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-rp 11095  df-ico 11409  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-sum 13268

This theorem is referenced by:  fsumless  13363  fsumle  13366  o1fsum  13380  rrxcph  21014  csbren  21016  trirn  21017  rrxmet  21025  rrxdstprj1  21026  itg1ge0  21282  itg1ge0a  21307  mtest  21987  abelthlem7  22021  abelthlem8  22022  ftalem4  22531  ftalem5  22532  chtge0  22568  vmadivsum  22849  vmadivsumb  22850  rpvmasumlem  22854  dchrvmasumlem2  22865  dchrisum0re  22880  rplogsum  22894  dirith2  22895  mulog2sumlem2  22902  vmalogdivsum2  22905  2vmadivsumlem  22907  selbergb  22916  selberg2b  22919  logdivbnd  22923  selberg3lem2  22925  selberg4lem1  22927  pntrlog2bndlem1  22944  pntrlog2bndlem2  22945  pntrlog2bnd  22951  pntpbnd1  22953  pntlemf  22972  axsegconlem3  23302  ax5seglem3  23314  sibfof  26862  eulerpartlemgc  26881  eulerpartlemb  26887  rrnmet  28868  rrndstprj1  28869  rrndstprj2  28870  stoweidlem26  29961  stoweidlem38  29973  stoweidlem44  29979