Theorem fsumge0 13903

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 11768	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9621	. . . . 5 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3452	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
5		ge0addcl 11772	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6	5	adantl 472	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
7		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
8		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10		elrege0 11766	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
11	8, 9, 10	sylanbrc 675	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
12		0e0icopnf 11770	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 13846	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
15		elrege0 11766	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
16	15	simprbi 470	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
17	14, 16	syl 17	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   e. wcel 1897   C_ wss 3415   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564   + caddc 9567   +oocpnf 9697   <_ cle 9701   [,)cico 11665   sum_csu 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-ico 11669  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801

This theorem is referenced by:  fsumless  13904  fsumle  13907  o1fsum  13921  rrxcph  22399  csbren  22401  trirn  22402  rrxmet  22410  rrxdstprj1  22411  itg1ge0  22692  itg1ge0a  22717  mtest  23407  abelthlem7  23441  abelthlem8  23442  ftalem4  24048  ftalem5  24049  ftalem4OLD  24050  ftalem5OLD  24051  chtge0  24087  vmadivsum  24368  vmadivsumb  24369  rpvmasumlem  24373  dchrvmasumlem2  24384  dchrisum0re  24399  rplogsum  24413  dirith2  24414  mulog2sumlem2  24421  vmalogdivsum2  24424  2vmadivsumlem  24426  selbergb  24435  selberg2b  24438  logdivbnd  24442  selberg3lem2  24444  selberg4lem1  24446  pntrlog2bndlem1  24463  pntrlog2bndlem2  24464  pntrlog2bnd  24470  pntpbnd1  24472  pntlemf  24491  axsegconlem3  24997  ax5seglem3  25009  sibfof  29221  eulerpartlemgc  29243  eulerpartlemb  29249  rrnmet  32205  rrndstprj1  32206  rrndstprj2  32207  fsumge0cl  37689  stoweidlem26  37923  stoweidlem38  37936  stoweidlem44  37942  etransclem35  38171  rrndistlt  38196  hoiqssbllem2  38482