Theorem fsumge0 13583

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 11632	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9547	. . . . 5 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3495	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
5		ge0addcl 11636	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6	5	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
7		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
8		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10		elrege0 11631	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
11	8, 9, 10	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
12		0e0icopnf 11634	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 13528	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
15		elrege0 11631	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
16	15	simprbi 464	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
17	14, 16	syl 16	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1802   C_ wss 3458   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   Fincfn 7514   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   + caddc 9493   +oocpnf 9623   <_ cle 9627   [,)cico 11535   sum_csu 13482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-ico 11539  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483

This theorem is referenced by:  fsumless  13584  fsumle  13587  o1fsum  13601  rrxcph  21690  csbren  21692  trirn  21693  rrxmet  21701  rrxdstprj1  21702  itg1ge0  21959  itg1ge0a  21984  mtest  22664  abelthlem7  22698  abelthlem8  22699  ftalem4  23214  ftalem5  23215  chtge0  23251  vmadivsum  23532  vmadivsumb  23533  rpvmasumlem  23537  dchrvmasumlem2  23548  dchrisum0re  23563  rplogsum  23577  dirith2  23578  mulog2sumlem2  23585  vmalogdivsum2  23588  2vmadivsumlem  23590  selbergb  23599  selberg2b  23602  logdivbnd  23606  selberg3lem2  23608  selberg4lem1  23610  pntrlog2bndlem1  23627  pntrlog2bndlem2  23628  pntrlog2bnd  23634  pntpbnd1  23636  pntlemf  23655  axsegconlem3  24087  ax5seglem3  24099  sibfof  28148  eulerpartlemgc  28167  eulerpartlemb  28173  rrnmet  30293  rrndstprj1  30294  rrndstprj2  30295  stoweidlem26  31693  stoweidlem38  31705  stoweidlem44  31711