Theorem fsumge0 13241

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 11380	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
2	1	simplbi 457	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	ssriv 3348	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4		ax-resscn 9327	. . . . 5 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3353	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
7		ge0addcl 11384	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
8	7	adantl 463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
10		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
11		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
12		elrege0 11380	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 657	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
14		0e0icopnf 11382	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
16	6, 8, 9, 13, 15	fsumcllem 13193	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
17		elrege0 11380	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
18	17	simprbi 461	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
19	16, 18	syl 16	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1755   C_ wss 3316   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   + caddc 9273   +oocpnf 9403   <_ cle 9407   [,)cico 11290   sum_csu 13147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-ico 11294  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148

This theorem is referenced by:  fsumless  13242  fsumle  13245  o1fsum  13259  rrxcph  20738  csbren  20740  trirn  20741  rrxmet  20749  rrxdstprj1  20750  itg1ge0  21006  itg1ge0a  21031  mtest  21754  abelthlem7  21788  abelthlem8  21789  ftalem4  22298  ftalem5  22299  chtge0  22335  vmadivsum  22616  vmadivsumb  22617  rpvmasumlem  22621  dchrvmasumlem2  22632  dchrisum0re  22647  rplogsum  22661  dirith2  22662  mulog2sumlem2  22669  vmalogdivsum2  22672  2vmadivsumlem  22674  selbergb  22683  selberg2b  22686  logdivbnd  22690  selberg3lem2  22692  selberg4lem1  22694  pntrlog2bndlem1  22711  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bnd  22718  pntpbnd1  22720  pntlemf  22739  axsegconlem3  22988  ax5seglem3  23000  sibfof  26574  eulerpartlemgc  26593  eulerpartlemb  26599  rrnmet  28572  rrndstprj1  28573  rrndstprj2  28574  stoweidlem26  29667  stoweidlem38  29679  stoweidlem44  29685