Theorem fsumge0 13558

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 11616	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
2	1	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	ssriv 3501	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4		ax-resscn 9538	. . . . 5 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3506	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
7		ge0addcl 11621	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
8	7	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
10		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
11		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
12		elrege0 11616	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
14		0e0icopnf 11619	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
16	6, 8, 9, 13, 15	fsumcllem 13503	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
17		elrege0 11616	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
18	17	simprbi 464	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
19	16, 18	syl 16	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1762   C_ wss 3469   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   + caddc 9484   +oocpnf 9614   <_ cle 9618   [,)cico 11520   sum_csu 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-ico 11524  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458

This theorem is referenced by:  fsumless  13559  fsumle  13562  o1fsum  13576  rrxcph  21552  csbren  21554  trirn  21555  rrxmet  21563  rrxdstprj1  21564  itg1ge0  21821  itg1ge0a  21846  mtest  22526  abelthlem7  22560  abelthlem8  22561  ftalem4  23070  ftalem5  23071  chtge0  23107  vmadivsum  23388  vmadivsumb  23389  rpvmasumlem  23393  dchrvmasumlem2  23404  dchrisum0re  23419  rplogsum  23433  dirith2  23434  mulog2sumlem2  23441  vmalogdivsum2  23444  2vmadivsumlem  23446  selbergb  23455  selberg2b  23458  logdivbnd  23462  selberg3lem2  23464  selberg4lem1  23466  pntrlog2bndlem1  23483  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bnd  23490  pntpbnd1  23492  pntlemf  23511  axsegconlem3  23891  ax5seglem3  23903  sibfof  27772  eulerpartlemgc  27791  eulerpartlemb  27797  rrnmet  29779  rrndstprj1  29780  rrndstprj2  29781  stoweidlem26  31145  stoweidlem38  31157  stoweidlem44  31163