Theorem fsumge0 13250

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrege0 11384	. . . . . . 7 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
2	1	simplbi 460	. . . . . 6 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. RR )
3	2	ssriv 3355	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
4		ax-resscn 9331	. . . . 5 |- RR C_ CC
5	3, 4	sstri 3360	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
7		ge0addcl 11389	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
8	7	adantl 466	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
9		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
10		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
11		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
12		elrege0 11384	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
14		0e0icopnf 11387	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
15	14	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
16	6, 8, 9, 13, 15	fsumcllem 13201	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
17		elrege0 11384	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
18	17	simprbi 464	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
19	16, 18	syl 16	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   C_ wss 3323   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   + caddc 9277   +oocpnf 9407   <_ cle 9411   [,)cico 11294   sum_csu 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-ico 11298  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156

This theorem is referenced by:  fsumless  13251  fsumle  13254  o1fsum  13268  rrxcph  20876  csbren  20878  trirn  20879  rrxmet  20887  rrxdstprj1  20888  itg1ge0  21144  itg1ge0a  21169  mtest  21849  abelthlem7  21883  abelthlem8  21884  ftalem4  22393  ftalem5  22394  chtge0  22430  vmadivsum  22711  vmadivsumb  22712  rpvmasumlem  22716  dchrvmasumlem2  22727  dchrisum0re  22742  rplogsum  22756  dirith2  22757  mulog2sumlem2  22764  vmalogdivsum2  22767  2vmadivsumlem  22769  selbergb  22778  selberg2b  22781  logdivbnd  22785  selberg3lem2  22787  selberg4lem1  22789  pntrlog2bndlem1  22806  pntrlog2bndlem2  22807  pntrlog2bnd  22813  pntpbnd1  22815  pntlemf  22834  axsegconlem3  23133  ax5seglem3  23145  sibfof  26695  eulerpartlemgc  26714  eulerpartlemb  26720  rrnmet  28699  rrndstprj1  28700  rrndstprj2  28701  stoweidlem26  29792  stoweidlem38  29804  stoweidlem44  29810