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Theorem fsumf1o 13184
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 13182 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5621 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5636 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5662 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 461 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 13162 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 13162 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 13182 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13syl6eq 2481 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 fveq2 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( f `  n
) ) )
1817fveq2d 5683 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
19 simprl 748 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( # `
 C )  e.  NN )
20 simprr 749 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
21 f1of 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2322ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
24 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
25 eqid 2433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2624, 25fmptd 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2726ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2823, 27syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2928adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) )  e.  CC )
302adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
31 f1oco 5651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
3230, 20, 31syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
33 f1of 5629 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C ) ) --> A )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A )
35 fvco3 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3634, 35sylan 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
37 f1of 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  f :
( 1 ... ( # `
 C ) ) --> C )
3837ad2antll 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
39 fvco3 5756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4038, 39sylan 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4140fveq2d 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4236, 41eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4318, 19, 20, 29, 42fsum 13181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4522ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4644, 45eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
47 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
4847, 25fvmpti 5761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5044fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
51 eqid 2433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5251fvmpt2i 5768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  C  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5352adantl 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5449, 50, 533eqtr4rd 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5554ralrimiva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
56 nffvmpt1 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
5756nfeq1 2578 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
58 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
59 fveq2 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
6059fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6158, 60eqeq12d 2447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6257, 61rspc 3056 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6355, 62mpan9 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6463adantlr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
) )
6564sumeq2dv 13164 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) )
66 fveq2 5679 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
6726adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6867ffvelrnda 5831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
6966, 19, 32, 68, 36fsum 13181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
7043, 65, 693eqtr4rd 2476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
71 sumfc 13170 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
72 sumfc 13170 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D
7370, 71, 723eqtr3g 2488 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
)
7473expr 610 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
7574exlimdv 1689 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
7675expimpd 598 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  C )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
77 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
78 fz1f1o 13171 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( # `  C )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
7977, 78syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8016, 76, 79mpjaod 381 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362   E.wex 1589    e. wcel 1755   A.wral 2705   (/)c0 3625    e. cmpt 4338    _I cid 4618    o. ccom 4831   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273   NNcn 10310   ...cfz 11424    seqcseq 11790   #chash 12087   sum_csu 13147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148
This theorem is referenced by:  fsumss  13186  fsum2dlem  13221  fsumcnv  13224  fsumrev  13229  fsumshft  13230  ackbijnn  13274  incexclem  13282  ovoliunlem1  20827  ovolicc2lem4  20845  itg1addlem4  21019  itg1mulc  21024  basellem3  22305  basellem5  22307  fsumdvdscom  22410  dvdsflsumcom  22413  musum  22416  fsumdvdsmul  22420  sgmppw  22421  fsumvma  22437  dchrsum2  22492  sumdchr2  22494  dchrisumlem1  22623  dchrisum0flblem1  22642  dchrisum0fno1  22645  eulerpartlemgs2  26611  phisum  29412
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