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Theorem fsumf1o 13192
Description: Re-index a finite sum using a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumf1o.1  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
fsumf1o.2  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
fsumf1o.3  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
fsumf1o.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
fsumf1o.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumf1o  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Distinct variable groups:    k, n, A    B, n    C, n    D, k    n, F    k, G    ph, k, n
Allowed substitution hints:    B( k)    C( k)    D( n)    F( k)    G( n)

Proof of Theorem fsumf1o
Dummy variables  f  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sum0 13190 . . . 4  |-  sum_ k  e.  (/)  B  =  0
2 fsumf1o.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : C -1-1-onto-> A )
3 f1oeq2 5628 . . . . . . . 8  |-  ( C  =  (/)  ->  ( F : C -1-1-onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
42, 3syl5ibcom 220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  ->  F : (/) -1-1-onto-> A ) )
54imp 429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
6 f1ofo 5643 . . . . . 6  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
7 fo00 5669 . . . . . . 7  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
87simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  A  =  (/) )
95, 6, 83syl 20 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  A  =  (/) )
109sumeq1d 13170 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ k  e.  (/)  B )
11 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  C  =  (/) )
1211sumeq1d 13170 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  sum_ n  e.  (/)  D )
13 sum0 13190 . . . . 5  |-  sum_ n  e.  (/)  D  =  0
1412, 13syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ n  e.  C  D  =  0 )
151, 10, 143eqtr4a 2496 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  =  (/) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
1615ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
17 fveq2 5686 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  ( F `  m )  =  ( F `  ( f `  n
) ) )
1817fveq2d 5690 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( f `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 ( f `  n ) ) ) )
19 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( # `
 C )  e.  NN )
20 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )
21 f1of 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : C -1-1-onto-> A  ->  F : C
--> A )
222, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : C --> A )
2322ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  ( F `  m )  e.  A )
24 fsumf1o.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  A  |->  B )  =  ( k  e.  A  |->  B )
2624, 25fmptd 5862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
2726ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( F `  m )  e.  A
)  ->  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  e.  CC )
2823, 27syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)  e.  CC )
2928adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) )  e.  CC )
302adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  F : C -1-1-onto-> A )
31 f1oco 5658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : C -1-1-onto-> A  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
3230, 20, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A )
33 f1of 5636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C ) ) --> A )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  ( F  o.  f ) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A )
35 fvco3 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  o.  f
) : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> A  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
3634, 35sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  (
( F  o.  f
) `  n )
) )
37 f1of 5636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  f :
( 1 ... ( # `
 C ) ) --> C )
3837ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C )
39 fvco3 5763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f : ( 1 ... ( # `  C
) ) --> C  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4038, 39sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( F  o.  f ) `  n
)  =  ( F `
 ( f `  n ) ) )
4140fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `  n
) )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4236, 41eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  C
) ) )  -> 
( ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f ) ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  ( f `  n ) ) ) )
4318, 19, 20, 29, 42fsum 13189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
44 fsumf1o.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  =  G )
4522ffvelrnda 5838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  ( F `  n )  e.  A )
4644, 45eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  G  e.  A )
47 fsumf1o.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  G  ->  B  =  D )
4847, 25fvmpti 5768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  A  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  G
)  =  (  _I 
`  D ) )
5044fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  G ) )
51 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  C  |->  D )  =  ( n  e.  C  |->  D )
5251fvmpt2i 5775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  C  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  (  _I 
`  D ) )
5449, 50, 533eqtr4rd 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 n ) ) )
5554ralrimiva 2794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
) )
56 nffvmpt1 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )
5756nfeq1 2583 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n
( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
)
58 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  n
)  =  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
59 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
6059fveq2d 5690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6158, 60eqeq12d 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  <->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `
 m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) ) )
6257, 61rspc 3062 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  C  ->  ( A. n  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  n )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  n )
)  ->  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `
 ( F `  m ) ) ) )
6355, 62mpan9 469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  C )  ->  (
( n  e.  C  |->  D ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `
 m ) ) )
6463adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  C )  ->  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m )
) )
6564sumeq2dv 13172 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ m  e.  C  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( F `  m ) ) )
66 fveq2 5686 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( ( F  o.  f ) `  n )  ->  (
( k  e.  A  |->  B ) `  m
)  =  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  ( ( F  o.  f ) `
 n ) ) )
6726adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  (
k  e.  A  |->  B ) : A --> CC )
6867ffvelrnda 5838 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( # `  C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C ) )  /\  m  e.  A )  ->  ( ( k  e.  A  |->  B ) `  m )  e.  CC )
6966, 19, 32, 68, 36fsum 13189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( ( k  e.  A  |->  B )  o.  ( F  o.  f )
) ) `  ( # `
 C ) ) )
7043, 65, 693eqtr4rd 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ m  e.  C  ( ( n  e.  C  |->  D ) `  m ) )
71 sumfc 13178 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  A  ( (
k  e.  A  |->  B ) `  m )  =  sum_ k  e.  A  B
72 sumfc 13178 . . . . . 6  |-  sum_ m  e.  C  ( (
n  e.  C  |->  D ) `  m )  =  sum_ n  e.  C  D
7370, 71, 723eqtr3g 2493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( # `
 C )  e.  NN  /\  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C ) )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D
)
7473expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
7574exlimdv 1690 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  C
)  e.  NN )  ->  ( E. f 
f : ( 1 ... ( # `  C
) ) -1-1-onto-> C  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
7675expimpd 603 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  C )  e.  NN  /\ 
E. f  f : ( 1 ... ( # `
 C ) ) -1-1-onto-> C )  ->  sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D ) )
77 fsumf1o.2 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  Fin )
78 fz1f1o 13179 . . 3  |-  ( C  e.  Fin  ->  ( C  =  (/)  \/  (
( # `  C )  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
7977, 78syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  =  (/)  \/  ( ( # `  C
)  e.  NN  /\  E. f  f : ( 1 ... ( # `  C ) ) -1-1-onto-> C ) ) )
8016, 76, 79mpjaod 381 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  sum_ n  e.  C  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2710   (/)c0 3632    e. cmpt 4345    _I cid 4626    o. ccom 4839   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277   NNcn 10314   ...cfz 11429    seqcseq 11798   #chash 12095   sum_csu 13155
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156
This theorem is referenced by:  fsumss  13194  fsum2dlem  13229  fsumcnv  13232  fsumrev  13238  fsumshft  13239  ackbijnn  13283  incexclem  13291  ovoliunlem1  20965  ovolicc2lem4  20983  itg1addlem4  21157  itg1mulc  21162  basellem3  22400  basellem5  22402  fsumdvdscom  22505  dvdsflsumcom  22508  musum  22511  fsumdvdsmul  22515  sgmppw  22516  fsumvma  22532  dchrsum2  22587  sumdchr2  22589  dchrisumlem1  22718  dchrisum0flblem1  22737  dchrisum0fno1  22740  eulerpartlemgs2  26732  phisum  29538
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