Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmul Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvdsmul 22667
 Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that " is a multiplicative function if is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1
dvdsmulf1o.2
dvdsmulf1o.3
dvdsmulf1o.x
dvdsmulf1o.y
dvdsmulf1o.z
fsumdvdsmul.4
fsumdvdsmul.5
fsumdvdsmul.6
fsumdvdsmul.7
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmul
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem fsumdvdsmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11911 . . . 4
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6
4 sgmss 22576 . . . . . 6
53, 4syl 16 . . . . 5
62, 5syl5eqss 3507 . . . 4
7 ssfi 7643 . . . 4
81, 6, 7syl2anc 661 . . 3
9 fzfid 11911 . . . . 5
10 dvdsmulf1o.y . . . . . 6
11 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7
12 sgmss 22576 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
1410, 13syl5eqss 3507 . . . . 5
15 ssfi 7643 . . . . 5
169, 14, 15syl2anc 661 . . . 4
17 fsumdvdsmul.5 . . . 4
1816, 17fsumcl 13327 . . 3
19 fsumdvdsmul.4 . . 3
208, 18, 19fsummulc1 13369 . 2
2116adantr 465 . . . . 5
2217adantlr 714 . . . . 5
2321, 19, 22fsummulc2 13368 . . . 4
24 fsumdvdsmul.6 . . . . . 6
2524anassrs 648 . . . . 5
2625sumeq2dv 13297 . . . 4
2723, 26eqtrd 2495 . . 3
2827sumeq2dv 13297 . 2
29 fveq2 5798 . . . . . . 7
30 df-ov 6202 . . . . . . 7
3129, 30syl6eqr 2513 . . . . . 6
3231csbeq1d 3401 . . . . 5
33 ovex 6224 . . . . . 6
34 nfcv 2616 . . . . . 6
35 fsumdvdsmul.7 . . . . . 6
3633, 34, 35csbief 3419 . . . . 5
3732, 36syl6eq 2511 . . . 4
3819adantrr 716 . . . . . 6
3917adantrl 715 . . . . . 6
4038, 39mulcld 9516 . . . . 5
4124, 40eqeltrrd 2543 . . . 4
4237, 8, 16, 41fsumxp 13356 . . 3
43 nfcv 2616 . . . . 5
44 nfcsb1v 3410 . . . . 5
45 csbeq1a 3403 . . . . 5
4643, 44, 45cbvsumi 13291 . . . 4
47 csbeq1 3397 . . . . 5
48 xpfi 7693 . . . . . 6
498, 16, 48syl2anc 661 . . . . 5
50 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6
51 dvdsmulf1o.z . . . . . 6
523, 11, 50, 2, 10, 51dvdsmulf1o 22666 . . . . 5
53 fvres 5812 . . . . . 6
5453adantl 466 . . . . 5
5541ralrimivva 2912 . . . . . . . 8
5637eleq1d 2523 . . . . . . . . 9
5756ralxp 5088 . . . . . . . 8
5855, 57sylibr 212 . . . . . . 7
59 ax-mulf 9472 . . . . . . . . . 10
60 ffn 5666 . . . . . . . . . 10
6159, 60ax-mp 5 . . . . . . . . 9
62 ssrab2 3544 . . . . . . . . . . . 12
632, 62eqsstri 3493 . . . . . . . . . . 11
64 nnsscn 10437 . . . . . . . . . . 11
6563, 64sstri 3472 . . . . . . . . . 10
66 ssrab2 3544 . . . . . . . . . . . 12
6710, 66eqsstri 3493 . . . . . . . . . . 11
6867, 64sstri 3472 . . . . . . . . . 10
69 xpss12 5052 . . . . . . . . . 10
7065, 68, 69mp2an 672 . . . . . . . . 9
7147eleq1d 2523 . . . . . . . . . 10
7271ralima 6065 . . . . . . . . 9
7361, 70, 72mp2an 672 . . . . . . . 8
74 df-ima 4960 . . . . . . . . . 10
75 f1ofo 5755 . . . . . . . . . . 11
76 forn 5730 . . . . . . . . . . 11
7752, 75, 763syl 20 . . . . . . . . . 10
7874, 77syl5eq 2507 . . . . . . . . 9
7978raleqdv 3027 . . . . . . . 8
8073, 79syl5bbr 259 . . . . . . 7
8158, 80mpbid 210 . . . . . 6
8281r19.21bi 2918 . . . . 5
8347, 49, 52, 54, 82fsumf1o 13317 . . . 4
8446, 83syl5eq 2507 . . 3
8542, 84eqtr4d 2498 . 2
8620, 28, 853eqtrd 2499 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758  wral 2798  crab 2802  csb 3394   wss 3435  cop 3990   class class class wbr 4399   cxp 4945   crn 4948   cres 4949  cima 4950   wfn 5520  wf 5521  wfo 5523  wf1o 5524  cfv 5525  (class class class)co 6199  cfn 7419  cc 9390  c1 9393   cmul 9397  cn 10432  cfz 11553  csu 13280   cdivides 13652   cgcd 13807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-mulf 9472 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-n0 10690  df-z 10757  df-uz 10972  df-rp 11102  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-fl 11758  df-mod 11825  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-dvds 13653  df-gcd 13808 This theorem is referenced by:  sgmmul  22672  dchrisum0fmul  22887
 Copyright terms: Public domain W3C validator