Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsmul Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvdsmul 23987
 Description: Product of two divisor sums. (This is also the main part of the proof that " is a multiplicative function if is".) (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvdsmulf1o.1
dvdsmulf1o.2
dvdsmulf1o.3
dvdsmulf1o.x
dvdsmulf1o.y
dvdsmulf1o.z
fsumdvdsmul.4
fsumdvdsmul.5
fsumdvdsmul.6
fsumdvdsmul.7
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsmul
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,   ,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem fsumdvdsmul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12183 . . . 4
2 dvdsmulf1o.x . . . . 5
3 dvdsmulf1o.1 . . . . . 6
4 sgmss 23896 . . . . . 6
53, 4syl 17 . . . . 5
62, 5syl5eqss 3514 . . . 4
7 ssfi 7798 . . . 4
81, 6, 7syl2anc 665 . . 3
9 fzfid 12183 . . . . 5
10 dvdsmulf1o.y . . . . . 6
11 dvdsmulf1o.2 . . . . . . 7
12 sgmss 23896 . . . . . . 7
1311, 12syl 17 . . . . . 6
1410, 13syl5eqss 3514 . . . . 5
15 ssfi 7798 . . . . 5
169, 14, 15syl2anc 665 . . . 4
17 fsumdvdsmul.5 . . . 4
1816, 17fsumcl 13777 . . 3
19 fsumdvdsmul.4 . . 3
208, 18, 19fsummulc1 13824 . 2
2116adantr 466 . . . . 5
2217adantlr 719 . . . . 5
2321, 19, 22fsummulc2 13823 . . . 4
24 fsumdvdsmul.6 . . . . . 6
2524anassrs 652 . . . . 5
2625sumeq2dv 13747 . . . 4
2723, 26eqtrd 2470 . . 3
2827sumeq2dv 13747 . 2
29 fveq2 5881 . . . . . . 7
30 df-ov 6308 . . . . . . 7
3129, 30syl6eqr 2488 . . . . . 6
3231csbeq1d 3408 . . . . 5
33 ovex 6333 . . . . . 6
34 fsumdvdsmul.7 . . . . . 6
3533, 34csbie 3427 . . . . 5
3632, 35syl6eq 2486 . . . 4
3719adantrr 721 . . . . . 6
3817adantrl 720 . . . . . 6
3937, 38mulcld 9662 . . . . 5
4024, 39eqeltrrd 2518 . . . 4
4136, 8, 16, 40fsumxp 13811 . . 3
42 nfcv 2591 . . . . 5
43 nfcsb1v 3417 . . . . 5
44 csbeq1a 3410 . . . . 5
4542, 43, 44cbvsumi 13741 . . . 4
46 csbeq1 3404 . . . . 5
47 xpfi 7848 . . . . . 6
488, 16, 47syl2anc 665 . . . . 5
49 dvdsmulf1o.3 . . . . . 6
50 dvdsmulf1o.z . . . . . 6
513, 11, 49, 2, 10, 50dvdsmulf1o 23986 . . . . 5
52 fvres 5895 . . . . . 6
5352adantl 467 . . . . 5
5440ralrimivva 2853 . . . . . . . 8
5536eleq1d 2498 . . . . . . . . 9
5655ralxp 4996 . . . . . . . 8
5754, 56sylibr 215 . . . . . . 7
58 ax-mulf 9618 . . . . . . . . . 10
59 ffn 5746 . . . . . . . . . 10
6058, 59ax-mp 5 . . . . . . . . 9
61 ssrab2 3552 . . . . . . . . . . . 12
622, 61eqsstri 3500 . . . . . . . . . . 11
63 nnsscn 10614 . . . . . . . . . . 11
6462, 63sstri 3479 . . . . . . . . . 10
65 ssrab2 3552 . . . . . . . . . . . 12
6610, 65eqsstri 3500 . . . . . . . . . . 11
6766, 63sstri 3479 . . . . . . . . . 10
68 xpss12 4960 . . . . . . . . . 10
6964, 67, 68mp2an 676 . . . . . . . . 9
7046eleq1d 2498 . . . . . . . . . 10
7170ralima 6160 . . . . . . . . 9
7260, 69, 71mp2an 676 . . . . . . . 8
73 df-ima 4867 . . . . . . . . . 10
74 f1ofo 5838 . . . . . . . . . . 11
75 forn 5813 . . . . . . . . . . 11
7651, 74, 753syl 18 . . . . . . . . . 10
7773, 76syl5eq 2482 . . . . . . . . 9
7877raleqdv 3038 . . . . . . . 8
7972, 78syl5bbr 262 . . . . . . 7
8057, 79mpbid 213 . . . . . 6
8180r19.21bi 2801 . . . . 5
8246, 48, 51, 53, 81fsumf1o 13767 . . . 4
8345, 82syl5eq 2482 . . 3
8441, 83eqtr4d 2473 . 2
8520, 28, 843eqtrd 2474 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  crab 2786  csb 3401   wss 3442  cop 4008   class class class wbr 4426   cxp 4852   crn 4855   cres 4856  cima 4857   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305  cfn 7577  cc 9536  c1 9539   cmul 9543  cn 10609  cfz 11782  csu 13730   cdvds 14283   cgcd 14442 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-gcd 14443 This theorem is referenced by:  sgmmul  23992  dchrisum0fmul  24207
 Copyright terms: Public domain W3C validator