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Theorem fsumdvdsdiaglem 23584
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 13603. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 elrabi 3254 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
21ad2antll 728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  NN )
3 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  ( N  /  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
43elrab 3257 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  ( N  /  j
) ) )
54simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  ||  ( N  /  j
) )
65ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  ( N  /  j ) )
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  NN )
9 simprl 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
10 dvdsdivcl 23582 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
12 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  / 
j )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  j )  ||  N ) )
1312elrab 3257 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  j )  e.  NN  /\  ( N  /  j )  ||  N ) )
1413simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  ||  N )
1511, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  ||  N
)
162nnzd 10989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  ZZ )
17 elrabi 3254 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  e.  NN )
1811, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
1918nnzd 10989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  ZZ )
208nnzd 10989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 dvdstr 14029 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( k  ||  ( N  /  j
)  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k 
||  ( N  / 
j )  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
236, 15, 22mp2and 679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  N
)
24 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  N  <->  k  ||  N ) )
2524elrab 3257 . . . 4  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  N ) )
262, 23, 25sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
27 elrabi 3254 . . . . 5  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  j  e.  NN )
2827ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  NN )
2928nnzd 10989 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  ZZ )
3028nnne0d 10601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  =/=  0
)
31 dvdsmulcr 14024 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( ( N  /  j )  x.  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
3216, 19, 29, 30, 31syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( ( N  / 
j )  x.  j
)  <->  k  ||  ( N  /  j ) ) )
336, 32mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
( N  /  j
)  x.  j ) )
348nncnd 10572 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  CC )
3528nncnd 10572 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  CC )
3634, 35, 30divcan1d 10342 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  N )
372nncnd 10572 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  CC )
382nnne0d 10601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  =/=  0
)
3934, 37, 38divcan2d 10343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  ( N  /  k
) )  =  N )
4036, 39eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  ( k  x.  ( N  /  k ) ) )
4133, 40breqtrd 4480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
k  x.  ( N  /  k ) ) )
42 ssrab2 3581 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
43 dvdsdivcl 23582 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
448, 26, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4542, 44sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
4645nnzd 10989 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  ZZ )
47 dvdscmulr 14023 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( N  /  k
)  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  k  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( k  x.  ( N  /  k
) )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
4829, 46, 16, 38, 47syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( k  x.  ( N  /  k ) )  <-> 
j  ||  ( N  /  k ) ) )
4941, 48mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  ||  ( N  /  k ) )
50 breq1 4459 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  ( N  /  k )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5150elrab 3257 . . . 4  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5228, 49, 51sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )
5326, 52jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) )
5453ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819    =/= wne 2652   {crab 2811   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   0cc0 9509    x. cmul 9514    / cdiv 10227   NNcn 10556   ZZcz 10885    || cdvds 13997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-dvds 13998
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  23585  fsumdvdscom  23586
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