Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiaglem Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvdsdiaglem 23187
 Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 13551. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 elrabi 3258 . . . . 5
21ad2antll 728 . . . 4
3 breq1 4450 . . . . . . . 8
43elrab 3261 . . . . . . 7
54simprbi 464 . . . . . 6
65ad2antll 728 . . . . 5
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8
87adantr 465 . . . . . . 7
9 simprl 755 . . . . . . 7
10 dvdsdivcl 23185 . . . . . . 7
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6
12 breq1 4450 . . . . . . . 8
1312elrab 3261 . . . . . . 7
1413simprbi 464 . . . . . 6
1511, 14syl 16 . . . . 5
162nnzd 10961 . . . . . 6
17 elrabi 3258 . . . . . . . 8
1811, 17syl 16 . . . . . . 7
1918nnzd 10961 . . . . . 6
208nnzd 10961 . . . . . 6
21 dvdstr 13874 . . . . . 6
2216, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . 5
236, 15, 22mp2and 679 . . . 4
24 breq1 4450 . . . . 5
2524elrab 3261 . . . 4
262, 23, 25sylanbrc 664 . . 3
27 elrabi 3258 . . . . 5
2827ad2antrl 727 . . . 4
2928nnzd 10961 . . . . . . . 8
3028nnne0d 10576 . . . . . . . 8
31 dvdsmulcr 13870 . . . . . . . 8
3216, 19, 29, 30, 31syl112anc 1232 . . . . . . 7
336, 32mpbird 232 . . . . . 6
348nncnd 10548 . . . . . . . 8
3528nncnd 10548 . . . . . . . 8
3634, 35, 30divcan1d 10317 . . . . . . 7
372nncnd 10548 . . . . . . . 8
382nnne0d 10576 . . . . . . . 8
3934, 37, 38divcan2d 10318 . . . . . . 7
4036, 39eqtr4d 2511 . . . . . 6
4133, 40breqtrd 4471 . . . . 5
42 ssrab2 3585 . . . . . . . 8
43 dvdsdivcl 23185 . . . . . . . . 9
448, 26, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8
4542, 44sseldi 3502 . . . . . . 7
4645nnzd 10961 . . . . . 6
47 dvdscmulr 13869 . . . . . 6
4829, 46, 16, 38, 47syl112anc 1232 . . . . 5
4941, 48mpbid 210 . . . 4
50 breq1 4450 . . . . 5
5150elrab 3261 . . . 4
5228, 49, 51sylanbrc 664 . . 3
5326, 52jca 532 . 2
5453ex 434 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wcel 1767   wne 2662  crab 2818   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282  cc0 9488   cmul 9493   cdiv 10202  cn 10532  cz 10860   cdivides 13843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 13844 This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  23188  fsumdvdscom  23189
 Copyright terms: Public domain W3C validator