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Theorem fsumdvdsdiaglem 23187
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 13551. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiaglem  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem fsumdvdsdiaglem
StepHypRef Expression
1 elrabi 3258 . . . . 5  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
21ad2antll 728 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  NN )
3 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  ( N  /  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
43elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  ( N  /  j
) ) )
54simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  ->  k  ||  ( N  /  j
) )
65ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  ( N  /  j ) )
7 fsumdvdsdiag.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
87adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  NN )
9 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
10 dvdsdivcl 23185 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
118, 9, 10syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
12 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( N  / 
j )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  j )  ||  N ) )
1312elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( ( N  /  j )  e.  NN  /\  ( N  /  j )  ||  N ) )
1413simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  ||  N )
1511, 14syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  ||  N
)
162nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  ZZ )
17 elrabi 3258 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  j )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( N  /  j )  e.  NN )
1811, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
1918nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
j )  e.  ZZ )
208nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  ZZ )
21 dvdstr 13874 . . . . . 6  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( k  ||  ( N  /  j
)  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k 
||  ( N  / 
j )  /\  ( N  /  j )  ||  N )  ->  k  ||  N ) )
236, 15, 22mp2and 679 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  ||  N
)
24 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( x  =  k  ->  (
x  ||  N  <->  k  ||  N ) )
2524elrab 3261 . . . 4  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  <->  ( k  e.  NN  /\  k  ||  N ) )
262, 23, 25sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
27 elrabi 3258 . . . . 5  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  j  e.  NN )
2827ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  NN )
2928nnzd 10961 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  ZZ )
3028nnne0d 10576 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  =/=  0
)
31 dvdsmulcr 13870 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( N  /  j
)  e.  ZZ  /\  ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( ( N  /  j )  x.  j )  <->  k  ||  ( N  /  j
) ) )
3216, 19, 29, 30, 31syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( ( N  / 
j )  x.  j
)  <->  k  ||  ( N  /  j ) ) )
336, 32mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
( N  /  j
)  x.  j ) )
348nncnd 10548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  N  e.  CC )
3528nncnd 10548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  CC )
3634, 35, 30divcan1d 10317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  N )
372nncnd 10548 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  e.  CC )
382nnne0d 10576 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  k  =/=  0
)
3934, 37, 38divcan2d 10318 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  ( N  /  k
) )  =  N )
4036, 39eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( N  /  j )  x.  j )  =  ( k  x.  ( N  /  k ) ) )
4133, 40breqtrd 4471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  x.  j )  ||  (
k  x.  ( N  /  k ) ) )
42 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
43 dvdsdivcl 23185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
448, 26, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
4542, 44sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
4645nnzd 10961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( N  / 
k )  e.  ZZ )
47 dvdscmulr 13869 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  ( N  /  k
)  e.  ZZ  /\  ( k  e.  ZZ  /\  k  =/=  0 ) )  ->  ( (
k  x.  j ) 
||  ( k  x.  ( N  /  k
) )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
4829, 46, 16, 38, 47syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( ( k  x.  j )  ||  ( k  x.  ( N  /  k ) )  <-> 
j  ||  ( N  /  k ) ) )
4941, 48mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  ||  ( N  /  k ) )
50 breq1 4450 . . . . 5  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  ( N  /  k )  <->  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5150elrab 3261 . . . 4  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  ( N  /  k
) ) )
5228, 49, 51sylanbrc 664 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )
5326, 52jca 532 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) )
5453ex 434 1  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767    =/= wne 2662   {crab 2818   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   0cc0 9488    x. cmul 9493    / cdiv 10202   NNcn 10532   ZZcz 10860    || cdivides 13843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-dvds 13844
This theorem is referenced by:  fsumdvdsdiag  23188  fsumdvdscom  23189
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