MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdsdiag Structured version   Unicode version

Theorem fsumdvdsdiag 22652
Description: A "diagonal commutation" of divisor sums analogous to fsum0diag 13357. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdsdiag.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
fsumdvdsdiag.2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdsdiag  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } A  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } A )
Distinct variable groups:    j, k, x, N    ph, j, k
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, j, k)

Proof of Theorem fsumdvdsdiag
StepHypRef Expression
1 fzfid 11907 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
2 fsumdvdsdiag.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
3 sgmss 22572 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )
5 ssfi 7639 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
61, 4, 5syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
7 fzfid 11907 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... ( N  /  j
) )  e.  Fin )
8 ssrab2 3540 . . . . 5  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
9 dvdsdivcl 22649 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  j )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
102, 9sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
j )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
118, 10sseldi 3457 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
j )  e.  NN )
12 sgmss 22572 . . . 4  |-  ( ( N  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
j ) ) )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
j ) ) )
14 ssfi 7639 . . 3  |-  ( ( ( 1 ... ( N  /  j ) )  e.  Fin  /\  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
j ) }  C_  ( 1 ... ( N  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  e.  Fin )
157, 13, 14syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) }  e.  Fin )
162fsumdvdsdiaglem 22651 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  -> 
( k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
172fsumdvdsdiaglem 22651 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  -> 
( j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) ) )
1816, 17impbid 191 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } )  <->  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } ) ) )
19 fsumdvdsdiag.2 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } ) )  ->  A  e.  CC )
206, 6, 15, 18, 19fsumcom2 13354 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  j
) } A  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2800    C_ wss 3431   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   Fincfn 7415   CCcc 9386   1c1 9389    / cdiv 10099   NNcn 10428   ...cfz 11549   sum_csu 13276    || cdivides 13648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277  df-dvds 13649
This theorem is referenced by:  fsumdvdscom  22653  muinv  22661
  Copyright terms: Public domain W3C validator