Theorem fsumdvdscom 20923

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 20922. Note that A depends on both j and k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	|- ( ph -> N e. NN )
fsumdvdscom.2	|- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
fsumdvdscom.3	|- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	|- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Distinct variable groups:   A, m   B, j   j, k, m, x, N   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, j, k)   B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2540	. . 3 |- F/_ u sum_ k e. { x e. NN | x || j } A
2		nfcv 2540	. . . 4 |- F/_ j { x e. NN | x || u }
3		nfcsb1v 3243	. . . 4 |- F/_ j [_ u / j ]_ A
4	2, 3	nfsum 12440	. . 3 |- F/_ j sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
5		breq2 4176	. . . . 5 |- ( j = u -> ( x || j <-> x || u ) )
6	5	rabbidv 2908	. . . 4 |- ( j = u -> { x e. NN | x || j } = { x e. NN | x || u } )
7		csbeq1a 3219	. . . . 5 |- ( j = u -> A = [_ u / j ]_ A )
8	7	adantr 452	. . . 4 |- ( ( j = u /\ k e. { x e. NN | x || j } ) -> A = [_ u / j ]_ A )
9	6, 8	sumeq12dv 12455	. . 3 |- ( j = u -> sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A )
10	1, 4, 9	cbvsumi 12446	. 2 |- sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
11		breq2 4176	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> ( x || u <-> x || ( N / v ) ) )
12	11	rabbidv 2908	. . . . 5 |- ( u = ( N / v ) -> { x e. NN | x || u } = { x e. NN | x || ( N / v ) } )
13		csbeq1 3214	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
14	13	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( u = ( N / v ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
15	12, 14	sumeq12dv 12455	. . . 4 |- ( u = ( N / v ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
16		fzfid 11267	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
18		sgmss 20842	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
20		ssfi 7288	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
21	16, 19, 20	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
22		eqid 2404	. . . . . 6 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
23		eqid 2404	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
24	22, 23	dvdsflip 20920	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
25	17, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
26		oveq2 6048	. . . . . 6 |- ( z = v -> ( N / z ) = ( N / v ) )
27		ovex 6065	. . . . . 6 |- ( N / z ) e. _V
28	26, 23, 27	fvmpt3i 5768	. . . . 5 |- ( v e. { x e. NN | x || N } -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
29	28	adantl 453	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
30		fzfid 11267	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... u ) e. Fin )
31		ssrab2 3388	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
32		simpr 448	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. { x e. NN | x || N } )
33	31, 32	sseldi 3306	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. NN )
34		sgmss 20842	. . . . . . 7 |- ( u e. NN -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
36		ssfi 7288	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... u ) e. Fin /\ { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
37	30, 35, 36	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
38		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )
39	38	ralrimivva 2758	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC )
40		nfv 1626	. . . . . . . . 9 |- F/ u A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC
41	3	nfel1 2550	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ u / j ]_ A e. CC
42	2, 41	nfral 2719	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC
43	7	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( j = u -> ( A e. CC <-> [_ u / j ]_ A e. CC ) )
44	6, 43	raleqbidv 2876	. . . . . . . . 9 |- ( j = u -> ( A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC ) )
45	40, 42, 44	cbvral 2888	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
46	39, 45	sylib 189	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
47	46	r19.21bi 2764	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
48	47	r19.21bi 2764	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A e. CC )
49	37, 48	fsumcl 12482	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
50	15, 21, 25, 29, 49	fsumf1o 12472	. . 3 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
51		dvdsdivcl 20919	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
52	17, 51	sylan 458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
53	46	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
54	13	eleq1d 2470	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( N / v ) -> ( [_ u / j ]_ A e. CC <-> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
55	12, 54	raleqbidv 2876	. . . . . . . 8 |- ( u = ( N / v ) -> ( A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
56	55	rspcv 3008	. . . . . . 7 |- ( ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } -> ( A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
57	52, 53, 56	sylc 58	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
58	57	r19.21bi 2764	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
59	58	anasss 629	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
60	17, 59	fsumdvdsdiag 20922	. . 3 |- ( ph -> sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
61		oveq2 6048	. . . . . . 7 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> ( N / v ) = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) )
62	61	csbeq1d 3217	. . . . . 6 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A = [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
63		fzfid 11267	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin )
64		dvdsdivcl 20919	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
65	31, 64	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
66	17, 65	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
67		sgmss 20842	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
69		ssfi 7288	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
70	63, 68, 69	syl2anc 643	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
71		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || ( N / k ) } = { x e. NN | x || ( N / k ) }
72		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) )
73	71, 72	dvdsflip 20920	. . . . . . 7 |- ( ( N / k ) e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
74	66, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
75		oveq2 6048	. . . . . . . 8 |- ( z = m -> ( ( N / k ) / z ) = ( ( N / k ) / m ) )
76		ovex 6065	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) / z ) e. _V
77	75, 72, 76	fvmpt3i 5768	. . . . . . 7 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
78	77	adantl 453	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
79	17	fsumdvdsdiaglem 20921	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) )
80	59	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
81	79, 80	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
82	81	impl 604	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
83	62, 70, 74, 78, 82	fsumf1o 12472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
84		ovex 6065	. . . . . . . 8 |- ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V )
86		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. CC )
87		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
88	86, 87	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
89	17, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
90	89	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
91	90	simpld 446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> N e. CC )
92		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. { x e. NN | x || N } -> k e. NN )
93	92	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. NN )
94	93	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> k e. NN )
95		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. CC )
96		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
97	95, 96	jca 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
98	94, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
99		elrabi 3050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> m e. NN )
100	99	adantl 453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> m e. NN )
101		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. CC )
102		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
103	101, 102	jca 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
104	100, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
105		divdiv1 9681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( k e. CC /\ k =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
106	91, 98, 104, 105	syl3anc 1184	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
107	106	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) )
108		nnmulcl 9979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ m e. NN ) -> ( k x. m ) e. NN )
109	93, 99, 108	syl2an 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k x. m ) e. NN )
110		nncn 9964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) e. CC )
111		nnne0 9988	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) =/= 0 )
112	110, 111	jca 519	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
113	109, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
114		ddcan 9684	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. CC /\ N =/= 0 ) /\ ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
115	90, 113, 114	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
116	107, 115	eqtrd 2436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( k x. m ) )
117	116	eqeq2d 2415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) <-> j = ( k x. m ) ) )
118	117	biimpa 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> j = ( k x. m ) )
119		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
120	118, 119	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> A = B )
121	85, 120	csbied 3253	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = B )
122	121	sumeq2dv 12452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
123	83, 122	eqtrd 2436	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
124	123	sumeq2dv 12452	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
125	50, 60, 124	3eqtrd 2440	. 2 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
126	10, 125	syl5eq 2448	1 |- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   {crab 2670   _Vcvv 2916   [_csb 3211   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   / cdiv 9633   NNcn 9956   ...cfz 10999   sum_csu 12434   || cdivides 12807

This theorem is referenced by:  logsqvma  21189

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808