Theorem fsumdvdscom 23842

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 23841. Note that A depends on both j and k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	|- ( ph -> N e. NN )
fsumdvdscom.2	|- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
fsumdvdscom.3	|- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	|- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Distinct variable groups:   A, m   B, j   j, k, m, x, N   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, j, k)   B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2564	. . 3 |- F/_ u sum_ k e. { x e. NN | x || j } A
2		nfcv 2564	. . . 4 |- F/_ j { x e. NN | x || u }
3		nfcsb1v 3389	. . . 4 |- F/_ j [_ u / j ]_ A
4	2, 3	nfsum 13662	. . 3 |- F/_ j sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
5		breq2 4399	. . . . 5 |- ( j = u -> ( x || j <-> x || u ) )
6	5	rabbidv 3051	. . . 4 |- ( j = u -> { x e. NN | x || j } = { x e. NN | x || u } )
7		csbeq1a 3382	. . . . 5 |- ( j = u -> A = [_ u / j ]_ A )
8	7	adantr 463	. . . 4 |- ( ( j = u /\ k e. { x e. NN | x || j } ) -> A = [_ u / j ]_ A )
9	6, 8	sumeq12dv 13677	. . 3 |- ( j = u -> sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A )
10	1, 4, 9	cbvsumi 13668	. 2 |- sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
11		breq2 4399	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> ( x || u <-> x || ( N / v ) ) )
12	11	rabbidv 3051	. . . . 5 |- ( u = ( N / v ) -> { x e. NN | x || u } = { x e. NN | x || ( N / v ) } )
13		csbeq1 3376	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
14	13	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( u = ( N / v ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
15	12, 14	sumeq12dv 13677	. . . 4 |- ( u = ( N / v ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
16		fzfid 12124	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
18		sgmss 23761	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
20		ssfi 7775	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
21	16, 19, 20	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
22		eqid 2402	. . . . . 6 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
23		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
24	22, 23	dvdsflip 23839	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
25	17, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
26		oveq2 6286	. . . . . 6 |- ( z = v -> ( N / z ) = ( N / v ) )
27		ovex 6306	. . . . . 6 |- ( N / z ) e. _V
28	26, 23, 27	fvmpt3i 5937	. . . . 5 |- ( v e. { x e. NN | x || N } -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
29	28	adantl 464	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
30		fzfid 12124	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... u ) e. Fin )
31		ssrab2 3524	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
32		simpr 459	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. { x e. NN | x || N } )
33	31, 32	sseldi 3440	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. NN )
34		sgmss 23761	. . . . . . 7 |- ( u e. NN -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
36		ssfi 7775	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... u ) e. Fin /\ { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
37	30, 35, 36	syl2anc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
38		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )
39	38	ralrimivva 2825	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC )
40		nfv 1728	. . . . . . . . 9 |- F/ u A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC
41	3	nfel1 2580	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ u / j ]_ A e. CC
42	2, 41	nfral 2790	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC
43	7	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( j = u -> ( A e. CC <-> [_ u / j ]_ A e. CC ) )
44	6, 43	raleqbidv 3018	. . . . . . . . 9 |- ( j = u -> ( A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC ) )
45	40, 42, 44	cbvral 3030	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
46	39, 45	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
47	46	r19.21bi 2773	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
48	47	r19.21bi 2773	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A e. CC )
49	37, 48	fsumcl 13704	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
50	15, 21, 25, 29, 49	fsumf1o 13694	. . 3 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
51		dvdsdivcl 23838	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
52	17, 51	sylan 469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
53	46	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
54	13	eleq1d 2471	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( N / v ) -> ( [_ u / j ]_ A e. CC <-> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
55	12, 54	raleqbidv 3018	. . . . . . . 8 |- ( u = ( N / v ) -> ( A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
56	55	rspcv 3156	. . . . . . 7 |- ( ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } -> ( A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
57	52, 53, 56	sylc 59	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
58	57	r19.21bi 2773	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
59	58	anasss 645	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
60	17, 59	fsumdvdsdiag 23841	. . 3 |- ( ph -> sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
61		oveq2 6286	. . . . . . 7 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> ( N / v ) = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) )
62	61	csbeq1d 3380	. . . . . 6 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A = [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
63		fzfid 12124	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin )
64		dvdsdivcl 23838	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
65	31, 64	sseldi 3440	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
66	17, 65	sylan 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
67		sgmss 23761	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
69		ssfi 7775	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
70	63, 68, 69	syl2anc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
71		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || ( N / k ) } = { x e. NN | x || ( N / k ) }
72		eqid 2402	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) )
73	71, 72	dvdsflip 23839	. . . . . . 7 |- ( ( N / k ) e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
74	66, 73	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
75		oveq2 6286	. . . . . . . 8 |- ( z = m -> ( ( N / k ) / z ) = ( ( N / k ) / m ) )
76		ovex 6306	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) / z ) e. _V
77	75, 72, 76	fvmpt3i 5937	. . . . . . 7 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
78	77	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
79	17	fsumdvdsdiaglem 23840	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) )
80	59	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
81	79, 80	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
82	81	impl 618	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
83	62, 70, 74, 78, 82	fsumf1o 13694	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
84		ovex 6306	. . . . . . . 8 |- ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V )
86		nncn 10584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. CC )
87		nnne0 10609	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
88	86, 87	jca 530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
89	17, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
90	89	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
91	90	simpld 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> N e. CC )
92		elrabi 3204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. { x e. NN | x || N } -> k e. NN )
93	92	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. NN )
94	93	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> k e. NN )
95		nncn 10584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. CC )
96		nnne0 10609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
97	95, 96	jca 530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
98	94, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
99		elrabi 3204	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> m e. NN )
100	99	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> m e. NN )
101		nncn 10584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. CC )
102		nnne0 10609	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
103	101, 102	jca 530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
104	100, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
105		divdiv1 10296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( k e. CC /\ k =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
106	91, 98, 104, 105	syl3anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
107	106	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) )
108		nnmulcl 10599	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ m e. NN ) -> ( k x. m ) e. NN )
109	93, 99, 108	syl2an 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k x. m ) e. NN )
110		nncn 10584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) e. CC )
111		nnne0 10609	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) =/= 0 )
112	110, 111	jca 530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
113	109, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
114		ddcan 10299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. CC /\ N =/= 0 ) /\ ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
115	90, 113, 114	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
116	107, 115	eqtrd 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( k x. m ) )
117	116	eqeq2d 2416	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) <-> j = ( k x. m ) ) )
118	117	biimpa 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> j = ( k x. m ) )
119		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> A = B )
121	85, 120	csbied 3400	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = B )
122	121	sumeq2dv 13674	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
123	83, 122	eqtrd 2443	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
124	123	sumeq2dv 13674	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
125	50, 60, 124	3eqtrd 2447	. 2 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
126	10, 125	syl5eq 2455	1 |- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758   _Vcvv 3059   [_csb 3373   C_ wss 3414   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523   x. cmul 9527   / cdiv 10247   NNcn 10576   ...cfz 11726   sum_csu 13657   || cdvds 14195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-rp 11266  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-dvds 14196

This theorem is referenced by:  logsqvma  24108