Theorem fsumdvdscom 22540

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 22539. Note that A depends on both j and k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	|- ( ph -> N e. NN )
fsumdvdscom.2	|- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
fsumdvdscom.3	|- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	|- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Distinct variable groups:   A, m   B, j   j, k, m, x, N   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, j, k)   B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2589	. . 3 |- F/_ u sum_ k e. { x e. NN | x || j } A
2		nfcv 2589	. . . 4 |- F/_ j { x e. NN | x || u }
3		nfcsb1v 3319	. . . 4 |- F/_ j [_ u / j ]_ A
4	2, 3	nfsum 13183	. . 3 |- F/_ j sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
5		breq2 4311	. . . . 5 |- ( j = u -> ( x || j <-> x || u ) )
6	5	rabbidv 2979	. . . 4 |- ( j = u -> { x e. NN | x || j } = { x e. NN | x || u } )
7		csbeq1a 3312	. . . . 5 |- ( j = u -> A = [_ u / j ]_ A )
8	7	adantr 465	. . . 4 |- ( ( j = u /\ k e. { x e. NN | x || j } ) -> A = [_ u / j ]_ A )
9	6, 8	sumeq12dv 13198	. . 3 |- ( j = u -> sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A )
10	1, 4, 9	cbvsumi 13189	. 2 |- sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
11		breq2 4311	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> ( x || u <-> x || ( N / v ) ) )
12	11	rabbidv 2979	. . . . 5 |- ( u = ( N / v ) -> { x e. NN | x || u } = { x e. NN | x || ( N / v ) } )
13		csbeq1 3306	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
14	13	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( u = ( N / v ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
15	12, 14	sumeq12dv 13198	. . . 4 |- ( u = ( N / v ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
16		fzfid 11810	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
18		sgmss 22459	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
20		ssfi 7548	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
21	16, 19, 20	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
22		eqid 2443	. . . . . 6 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
23		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
24	22, 23	dvdsflip 22537	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
25	17, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
26		oveq2 6114	. . . . . 6 |- ( z = v -> ( N / z ) = ( N / v ) )
27		ovex 6131	. . . . . 6 |- ( N / z ) e. _V
28	26, 23, 27	fvmpt3i 5793	. . . . 5 |- ( v e. { x e. NN | x || N } -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
29	28	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
30		fzfid 11810	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... u ) e. Fin )
31		ssrab2 3452	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
32		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. { x e. NN | x || N } )
33	31, 32	sseldi 3369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. NN )
34		sgmss 22459	. . . . . . 7 |- ( u e. NN -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
35	33, 34	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
36		ssfi 7548	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... u ) e. Fin /\ { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
37	30, 35, 36	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
38		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )
39	38	ralrimivva 2823	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC )
40		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ u A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC
41	3	nfel1 2604	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ u / j ]_ A e. CC
42	2, 41	nfral 2784	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC
43	7	eleq1d 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( j = u -> ( A e. CC <-> [_ u / j ]_ A e. CC ) )
44	6, 43	raleqbidv 2946	. . . . . . . . 9 |- ( j = u -> ( A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC ) )
45	40, 42, 44	cbvral 2958	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
46	39, 45	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
47	46	r19.21bi 2829	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
48	47	r19.21bi 2829	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A e. CC )
49	37, 48	fsumcl 13225	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
50	15, 21, 25, 29, 49	fsumf1o 13215	. . 3 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
51		dvdsdivcl 22536	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
52	17, 51	sylan 471	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
53	46	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
54	13	eleq1d 2509	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( N / v ) -> ( [_ u / j ]_ A e. CC <-> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
55	12, 54	raleqbidv 2946	. . . . . . . 8 |- ( u = ( N / v ) -> ( A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
56	55	rspcv 3084	. . . . . . 7 |- ( ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } -> ( A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
57	52, 53, 56	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
58	57	r19.21bi 2829	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
59	58	anasss 647	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
60	17, 59	fsumdvdsdiag 22539	. . 3 |- ( ph -> sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
61		oveq2 6114	. . . . . . 7 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> ( N / v ) = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) )
62	61	csbeq1d 3310	. . . . . 6 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A = [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
63		fzfid 11810	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin )
64		dvdsdivcl 22536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
65	31, 64	sseldi 3369	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
66	17, 65	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
67		sgmss 22459	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
68	66, 67	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
69		ssfi 7548	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
70	63, 68, 69	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
71		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || ( N / k ) } = { x e. NN | x || ( N / k ) }
72		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) )
73	71, 72	dvdsflip 22537	. . . . . . 7 |- ( ( N / k ) e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
74	66, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
75		oveq2 6114	. . . . . . . 8 |- ( z = m -> ( ( N / k ) / z ) = ( ( N / k ) / m ) )
76		ovex 6131	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) / z ) e. _V
77	75, 72, 76	fvmpt3i 5793	. . . . . . 7 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
78	77	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
79	17	fsumdvdsdiaglem 22538	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) )
80	59	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
81	79, 80	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
82	81	impl 620	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
83	62, 70, 74, 78, 82	fsumf1o 13215	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
84		ovex 6131	. . . . . . . 8 |- ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V )
86		nncn 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. CC )
87		nnne0 10369	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
88	86, 87	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
89	17, 88	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
90	89	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
91	90	simpld 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> N e. CC )
92		elrabi 3129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. { x e. NN | x || N } -> k e. NN )
93	92	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. NN )
94	93	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> k e. NN )
95		nncn 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. CC )
96		nnne0 10369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
97	95, 96	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
98	94, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
99		elrabi 3129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> m e. NN )
100	99	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> m e. NN )
101		nncn 10345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. CC )
102		nnne0 10369	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
103	101, 102	jca 532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
104	100, 103	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
105		divdiv1 10057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( k e. CC /\ k =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
106	91, 98, 104, 105	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
107	106	oveq2d 6122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) )
108		nnmulcl 10360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ m e. NN ) -> ( k x. m ) e. NN )
109	93, 99, 108	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k x. m ) e. NN )
110		nncn 10345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) e. CC )
111		nnne0 10369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) =/= 0 )
112	110, 111	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
113	109, 112	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
114		ddcan 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. CC /\ N =/= 0 ) /\ ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
115	90, 113, 114	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
116	107, 115	eqtrd 2475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( k x. m ) )
117	116	eqeq2d 2454	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) <-> j = ( k x. m ) ) )
118	117	biimpa 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> j = ( k x. m ) )
119		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
120	118, 119	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> A = B )
121	85, 120	csbied 3329	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = B )
122	121	sumeq2dv 13195	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
123	83, 122	eqtrd 2475	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
124	123	sumeq2dv 13195	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
125	50, 60, 124	3eqtrd 2479	. 2 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
126	10, 125	syl5eq 2487	1 |- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2730   {crab 2734   _Vcvv 2987   [_csb 3303   C_ wss 3343   class class class wbr 4307   e. cmpt 4365   -1-1-onto->wf1o 5432   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   Fincfn 7325   CCcc 9295   0cc0 9297   1c1 9298   x. cmul 9302   / cdiv 10008   NNcn 10337   ...cfz 11452   sum_csu 13178   || cdivides 13550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-rp 11007  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-dvds 13551

This theorem is referenced by:  logsqvma  22806