Theorem fsumdvdscom 24193

Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 24192. Note that A depends on both j and k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumdvdscom.1	|- ( ph -> N e. NN )
fsumdvdscom.2	|- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
fsumdvdscom.3	|- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumdvdscom	|- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Distinct variable groups:   A, m   B, j   j, k, m, x, N   ph, j, k, m

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( x, j, k)   B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom

Dummy variables u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2612	. . 3 |- F/_ u sum_ k e. { x e. NN | x || j } A
2		nfcv 2612	. . . 4 |- F/_ j { x e. NN | x || u }
3		nfcsb1v 3365	. . . 4 |- F/_ j [_ u / j ]_ A
4	2, 3	nfsum 13834	. . 3 |- F/_ j sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
5		breq2 4399	. . . . 5 |- ( j = u -> ( x || j <-> x || u ) )
6	5	rabbidv 3022	. . . 4 |- ( j = u -> { x e. NN | x || j } = { x e. NN | x || u } )
7		csbeq1a 3358	. . . . 5 |- ( j = u -> A = [_ u / j ]_ A )
8	7	adantr 472	. . . 4 |- ( ( j = u /\ k e. { x e. NN | x || j } ) -> A = [_ u / j ]_ A )
9	6, 8	sumeq12dv 13849	. . 3 |- ( j = u -> sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A )
10	1, 4, 9	cbvsumi 13840	. 2 |- sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A
11		breq2 4399	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> ( x || u <-> x || ( N / v ) ) )
12	11	rabbidv 3022	. . . . 5 |- ( u = ( N / v ) -> { x e. NN | x || u } = { x e. NN | x || ( N / v ) } )
13		csbeq1 3352	. . . . . 6 |- ( u = ( N / v ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
14	13	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( u = ( N / v ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A = [_ ( N / v ) / j ]_ A )
15	12, 14	sumeq12dv 13849	. . . 4 |- ( u = ( N / v ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
16		fzfid 12224	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... N ) e. Fin )
17		fsumdvdscom.1	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. NN )
18		sgmss 24112	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) )
20		ssfi 7810	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { x e. NN | x || N } C_ ( 1 ... N ) ) -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
21	16, 19, 20	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> { x e. NN | x || N } e. Fin )
22		eqid 2471	. . . . . 6 |- { x e. NN | x || N } = { x e. NN | x || N }
23		eqid 2471	. . . . . 6 |- ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) )
24	22, 23	dvdsflip 24190	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
25	17, 24	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) : { x e. NN | x || N } -1-1-onto-> { x e. NN | x || N } )
26		oveq2 6316	. . . . . 6 |- ( z = v -> ( N / z ) = ( N / v ) )
27		ovex 6336	. . . . . 6 |- ( N / z ) e. _V
28	26, 23, 27	fvmpt3i 5968	. . . . 5 |- ( v e. { x e. NN | x || N } -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
29	28	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || N } |-> ( N / z ) ) ` v ) = ( N / v ) )
30		fzfid 12224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... u ) e. Fin )
31		ssrab2 3500	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
32		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. { x e. NN | x || N } )
33	31, 32	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> u e. NN )
34		sgmss 24112	. . . . . . 7 |- ( u e. NN -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) )
36		ssfi 7810	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... u ) e. Fin /\ { x e. NN | x || u } C_ ( 1 ... u ) ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
37	30, 35, 36	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || u } e. Fin )
38		fsumdvdscom.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || j } ) ) -> A e. CC )
39	38	ralrimivva 2814	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC )
40		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ u A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC
41	3	nfel1 2626	. . . . . . . . . 10 |- F/ j [_ u / j ]_ A e. CC
42	2, 41	nfral 2789	. . . . . . . . 9 |- F/ j A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC
43	7	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( j = u -> ( A e. CC <-> [_ u / j ]_ A e. CC ) )
44	6, 43	raleqbidv 2987	. . . . . . . . 9 |- ( j = u -> ( A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC ) )
45	40, 42, 44	cbvral 3001	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || j } A e. CC <-> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
46	39, 45	sylib 201	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
47	46	r19.21bi 2776	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
48	47	r19.21bi 2776	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || u } ) -> [_ u / j ]_ A e. CC )
49	37, 48	fsumcl 13876	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
50	15, 21, 25, 29, 49	fsumf1o 13866	. . 3 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
51		dvdsdivcl 24189	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
52	17, 51	sylan 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } )
53	46	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC )
54	13	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( N / v ) -> ( [_ u / j ]_ A e. CC <-> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
55	12, 54	raleqbidv 2987	. . . . . . . 8 |- ( u = ( N / v ) -> ( A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC <-> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
56	55	rspcv 3132	. . . . . . 7 |- ( ( N / v ) e. { x e. NN | x || N } -> ( A. u e. { x e. NN | x || N } A. k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A e. CC -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
57	52, 53, 56	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) -> A. k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
58	57	r19.21bi 2776	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. { x e. NN | x || N } ) /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
59	58	anasss 659	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
60	17, 59	fsumdvdsdiag 24192	. . 3 |- ( ph -> sum_ v e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A )
61		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> ( N / v ) = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) )
62	61	csbeq1d 3356	. . . . . 6 |- ( v = ( ( N / k ) / m ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A = [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
63		fzfid 12224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin )
64		dvdsdivcl 24189	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. { x e. NN | x || N } )
65	31, 64	sseldi 3416	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
66	17, 65	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( N / k ) e. NN )
67		sgmss 24112	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) e. NN -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
68	66, 67	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) )
69		ssfi 7810	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... ( N / k ) ) e. Fin /\ { x e. NN | x || ( N / k ) } C_ ( 1 ... ( N / k ) ) ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
70	63, 68, 69	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> { x e. NN | x || ( N / k ) } e. Fin )
71		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- { x e. NN | x || ( N / k ) } = { x e. NN | x || ( N / k ) }
72		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) = ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) )
73	71, 72	dvdsflip 24190	. . . . . . 7 |- ( ( N / k ) e. NN -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
74	66, 73	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) : { x e. NN | x || ( N / k ) } -1-1-onto-> { x e. NN | x || ( N / k ) } )
75		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( z = m -> ( ( N / k ) / z ) = ( ( N / k ) / m ) )
76		ovex 6336	. . . . . . . 8 |- ( ( N / k ) / z ) e. _V
77	75, 72, 76	fvmpt3i 5968	. . . . . . 7 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
78	77	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( z e. { x e. NN | x || ( N / k ) } |-> ( ( N / k ) / z ) ) ` m ) = ( ( N / k ) / m ) )
79	17	fsumdvdsdiaglem 24191	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) ) )
80	59	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( v e. { x e. NN | x || N } /\ k e. { x e. NN | x || ( N / v ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
81	79, 80	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( k e. { x e. NN | x || N } /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC ) )
82	81	impl 632	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / v ) / j ]_ A e. CC )
83	62, 70, 74, 78, 82	fsumf1o 13866	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A )
84		ovex 6336	. . . . . . . 8 |- ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) e. _V )
86		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N e. CC )
87		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
88	86, 87	jca 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
89	17, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
90	89	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N e. CC /\ N =/= 0 ) )
91	90	simpld 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> N e. CC )
92		elrabi 3181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. { x e. NN | x || N } -> k e. NN )
93	92	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> k e. NN )
94	93	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> k e. NN )
95		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k e. CC )
96		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
97	95, 96	jca 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
98	94, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k e. CC /\ k =/= 0 ) )
99		elrabi 3181	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } -> m e. NN )
100	99	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> m e. NN )
101		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m e. CC )
102		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. NN -> m =/= 0 )
103	101, 102	jca 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
104	100, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
105		divdiv1 10340	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. CC /\ ( k e. CC /\ k =/= 0 ) /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
106	91, 98, 104, 105	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( N / k ) / m ) = ( N / ( k x. m ) ) )
107	106	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) )
108		nnmulcl 10654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. NN /\ m e. NN ) -> ( k x. m ) e. NN )
109	93, 99, 108	syl2an 485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( k x. m ) e. NN )
110		nncn 10639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) e. CC )
111		nnne0 10664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( k x. m ) =/= 0 )
112	110, 111	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k x. m ) e. NN -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
113	109, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) )
114		ddcan 10343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. CC /\ N =/= 0 ) /\ ( ( k x. m ) e. CC /\ ( k x. m ) =/= 0 ) ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
115	90, 113, 114	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( N / ( k x. m ) ) ) = ( k x. m ) )
116	107, 115	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( N / ( ( N / k ) / m ) ) = ( k x. m ) )
117	116	eqeq2d 2481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> ( j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) <-> j = ( k x. m ) ) )
118	117	biimpa 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> j = ( k x. m ) )
119		fsumdvdscom.2	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k x. m ) -> A = B )
120	118, 119	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) /\ j = ( N / ( ( N / k ) / m ) ) ) -> A = B )
121	85, 120	csbied 3376	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) /\ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } ) -> [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = B )
122	121	sumeq2dv 13846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / ( ( N / k ) / m ) ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
123	83, 122	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { x e. NN | x || N } ) -> sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
124	123	sumeq2dv 13846	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ v e. { x e. NN | x || ( N / k ) } [_ ( N / v ) / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
125	50, 60, 124	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ph -> sum_ u e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || u } [_ u / j ]_ A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )
126	10, 125	syl5eq 2517	1 |- ( ph -> sum_ j e. { x e. NN | x || N } sum_ k e. { x e. NN | x || j } A = sum_ k e. { x e. NN | x || N } sum_ m e. { x e. NN | x || ( N / k ) } B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031   [_csb 3349   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   / cdiv 10291   NNcn 10631   ...cfz 11810   sum_csu 13829   || cdvds 14382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383

This theorem is referenced by:  logsqvma  24459