Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvdscom Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fsumdvdscom 24193
 Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 24192. Note that depends on both and . (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1
fsumdvdscom.2
fsumdvdscom.3
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2612 . . 3
2 nfcv 2612 . . . 4
3 nfcsb1v 3365 . . . 4
42, 3nfsum 13834 . . 3
5 breq2 4399 . . . . 5
65rabbidv 3022 . . . 4
7 csbeq1a 3358 . . . . 5
87adantr 472 . . . 4
96, 8sumeq12dv 13849 . . 3
101, 4, 9cbvsumi 13840 . 2
11 breq2 4399 . . . . . 6
1211rabbidv 3022 . . . . 5
13 csbeq1 3352 . . . . . 6
1413adantr 472 . . . . 5
1512, 14sumeq12dv 13849 . . . 4
16 fzfid 12224 . . . . 5
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6
18 sgmss 24112 . . . . . 6
1917, 18syl 17 . . . . 5
20 ssfi 7810 . . . . 5
2116, 19, 20syl2anc 673 . . . 4
22 eqid 2471 . . . . . 6
23 eqid 2471 . . . . . 6
2422, 23dvdsflip 24190 . . . . 5
2517, 24syl 17 . . . 4
26 oveq2 6316 . . . . . 6
27 ovex 6336 . . . . . 6
2826, 23, 27fvmpt3i 5968 . . . . 5
2928adantl 473 . . . 4
30 fzfid 12224 . . . . . 6
31 ssrab2 3500 . . . . . . . 8
32 simpr 468 . . . . . . . 8
3331, 32sseldi 3416 . . . . . . 7
34 sgmss 24112 . . . . . . 7
3533, 34syl 17 . . . . . 6
36 ssfi 7810 . . . . . 6
3730, 35, 36syl2anc 673 . . . . 5
38 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9
3938ralrimivva 2814 . . . . . . . 8
40 nfv 1769 . . . . . . . . 9
413nfel1 2626 . . . . . . . . . 10
422, 41nfral 2789 . . . . . . . . 9
437eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10
446, 43raleqbidv 2987 . . . . . . . . 9
4540, 42, 44cbvral 3001 . . . . . . . 8
4639, 45sylib 201 . . . . . . 7
4746r19.21bi 2776 . . . . . 6
4847r19.21bi 2776 . . . . 5
4937, 48fsumcl 13876 . . . 4
5015, 21, 25, 29, 49fsumf1o 13866 . . 3
51 dvdsdivcl 24189 . . . . . . . 8
5217, 51sylan 479 . . . . . . 7
5346adantr 472 . . . . . . 7
5413eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
5512, 54raleqbidv 2987 . . . . . . . 8
5655rspcv 3132 . . . . . . 7
5752, 53, 56sylc 61 . . . . . 6
5857r19.21bi 2776 . . . . 5
5958anasss 659 . . . 4
6017, 59fsumdvdsdiag 24192 . . 3
61 oveq2 6316 . . . . . . 7
6261csbeq1d 3356 . . . . . 6
63 fzfid 12224 . . . . . . 7
64 dvdsdivcl 24189 . . . . . . . . . 10
6531, 64sseldi 3416 . . . . . . . . 9
6617, 65sylan 479 . . . . . . . 8
67 sgmss 24112 . . . . . . . 8
6866, 67syl 17 . . . . . . 7
69 ssfi 7810 . . . . . . 7
7063, 68, 69syl2anc 673 . . . . . 6
71 eqid 2471 . . . . . . . 8
72 eqid 2471 . . . . . . . 8
7371, 72dvdsflip 24190 . . . . . . 7
7466, 73syl 17 . . . . . 6
75 oveq2 6316 . . . . . . . 8
76 ovex 6336 . . . . . . . 8
7775, 72, 76fvmpt3i 5968 . . . . . . 7
7877adantl 473 . . . . . 6
7917fsumdvdsdiaglem 24191 . . . . . . . 8
8059ex 441 . . . . . . . 8
8179, 80syld 44 . . . . . . 7
8281impl 632 . . . . . 6
8362, 70, 74, 78, 82fsumf1o 13866 . . . . 5
84 ovex 6336 . . . . . . . 8
8584a1i 11 . . . . . . 7
86 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
87 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8886, 87jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8917, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
9190simpld 466 . . . . . . . . . . . . 13
92 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
95 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
96 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
9795, 96jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
9894, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
99 elrabi 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
101 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . . 15
102 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . . 15
103101, 102jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
104100, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
105 divdiv1 10340 . . . . . . . . . . . . 13
10691, 98, 104, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
107106oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
108 nnmulcl 10654 . . . . . . . . . . . . . 14
10993, 99, 108syl2an 485 . . . . . . . . . . . . 13
110 nncn 10639 . . . . . . . . . . . . . 14
111 nnne0 10664 . . . . . . . . . . . . . 14
112110, 111jca 541 . . . . . . . . . . . . 13
113109, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12
114 ddcan 10343 . . . . . . . . . . . 12
11590, 113, 114syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
116107, 115eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
117116eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9
118117biimpa 492 . . . . . . . 8
119 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8
120118, 119syl 17 . . . . . . 7
12185, 120csbied 3376 . . . . . 6
122121sumeq2dv 13846 . . . . 5
12383, 122eqtrd 2505 . . . 4
124123sumeq2dv 13846 . . 3
12550, 60, 1243eqtrd 2509 . 2
12610, 125syl5eq 2517 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  cvv 3031  csb 3349   wss 3390   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf1o 5588  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562   cdiv 10291  cn 10631  cfz 11810  csu 13829   cdvds 14382 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383 This theorem is referenced by:  logsqvma  24459
 Copyright terms: Public domain W3C validator