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Theorem fsumdvdscom 23189
Description: A double commutation of divisor sums based on fsumdvdsdiag 23188. Note that  A depends on both  j and  k. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvdscom.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
fsumdvdscom.2  |-  ( j  =  ( k  x.  m )  ->  A  =  B )
fsumdvdscom.3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } ) )  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
fsumdvdscom  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
Distinct variable groups:    A, m    B, j    j, k, m, x, N    ph, j, k, m
Allowed substitution hints:    ph( x)    A( x, j, k)    B( x, k, m)

Proof of Theorem fsumdvdscom
Dummy variables  u  v  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2629 . . 3  |-  F/_ u sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A
2 nfcv 2629 . . . 4  |-  F/_ j { x  e.  NN  |  x  ||  u }
3 nfcsb1v 3451 . . . 4  |-  F/_ j [_ u  /  j ]_ A
42, 3nfsum 13472 . . 3  |-  F/_ j sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A
5 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( j  =  u  ->  (
x  ||  j  <->  x  ||  u
) )
65rabbidv 3105 . . . 4  |-  ( j  =  u  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  j }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } )
7 csbeq1a 3444 . . . . 5  |-  ( j  =  u  ->  A  =  [_ u  /  j ]_ A )
87adantr 465 . . . 4  |-  ( ( j  =  u  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } )  ->  A  =  [_ u  /  j ]_ A )
96, 8sumeq12dv 13487 . . 3  |-  ( j  =  u  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A )
101, 4, 9cbvsumi 13478 . 2  |-  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A
11 breq2 4451 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  (
x  ||  u  <->  x  ||  ( N  /  v ) ) )
1211rabbidv 3105 . . . . 5  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } )
13 csbeq1 3438 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  [_ u  /  j ]_ A  =  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A )
1413adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( u  =  ( N  /  v )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } )  ->  [_ u  /  j ]_ A  =  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A )
1512, 14sumeq12dv 13487 . . . 4  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A )
16 fzfid 12047 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  e.  Fin )
17 fsumdvdscom.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
18 sgmss 23108 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N ) )
1917, 18syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )
20 ssfi 7737 . . . . 5  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  ( 1 ... N
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
2116, 19, 20syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  e.  Fin )
22 eqid 2467 . . . . . 6  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z
) )
2422, 23dvdsflip 23186 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
2517, 24syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  N } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
26 oveq2 6290 . . . . . 6  |-  ( z  =  v  ->  ( N  /  z )  =  ( N  /  v
) )
27 ovex 6307 . . . . . 6  |-  ( N  /  z )  e. 
_V
2826, 23, 27fvmpt3i 5952 . . . . 5  |-  ( v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 v )  =  ( N  /  v
) )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  |->  ( N  /  z ) ) `
 v )  =  ( N  /  v
) )
30 fzfid 12047 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... u )  e.  Fin )
31 ssrab2 3585 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  C_  NN
32 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
3331, 32sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  u  e.  NN )
34 sgmss 23108 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u ) )
3533, 34syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u ) )
36 ssfi 7737 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... u
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  C_  ( 1 ... u
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  e.  Fin )
3730, 35, 36syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  u }  e.  Fin )
38 fsumdvdscom.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } ) )  ->  A  e.  CC )
3938ralrimivva 2885 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC )
40 nfv 1683 . . . . . . . . 9  |-  F/ u A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC
413nfel1 2645 . . . . . . . . . 10  |-  F/ j
[_ u  /  j ]_ A  e.  CC
422, 41nfral 2850 . . . . . . . . 9  |-  F/ j A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC
437eleq1d 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  u  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
446, 43raleqbidv 3072 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  u  ->  ( A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC  <->  A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
4540, 42, 44cbvral 3084 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  j } A  e.  CC  <->  A. u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
4639, 45sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
4746r19.21bi 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
4847r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } )  ->  [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
4937, 48fsumcl 13514 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC )
5015, 21, 25, 29, 49fsumf1o 13504 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A )
51 dvdsdivcl 23185 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  v )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
5217, 51sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
v )  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } )
5346adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. u  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC )
5413eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  ( [_ u  /  j ]_ A  e.  CC  <->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
5512, 54raleqbidv 3072 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( N  / 
v )  ->  ( A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  / 
j ]_ A  e.  CC  <->  A. k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  e.  CC ) )
5655rspcv 3210 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  v )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  ( A. u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } A. k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  e.  CC  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
5752, 53, 56sylc 60 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  A. k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
5857r19.21bi 2833 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
v ) } )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
5958anasss 647 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } ) )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
6017, 59fsumdvdsdiag 23188 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A )
61 oveq2 6290 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( N  /  k )  /  m )  ->  ( N  /  v )  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )
6261csbeq1d 3442 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( N  /  k )  /  m )  ->  [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  [_ ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  /  j ]_ A )
63 fzfid 12047 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( 1 ... ( N  /  k
) )  e.  Fin )
64 dvdsdivcl 23185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }
)
6531, 64sseldi 3502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  /  k )  e.  NN )
6617, 65sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( N  / 
k )  e.  NN )
67 sgmss 23108 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
k ) ) )
6866, 67syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  C_  (
1 ... ( N  / 
k ) ) )
69 ssfi 7737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... ( N  /  k ) )  e.  Fin  /\  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }  C_  ( 1 ... ( N  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  e.  Fin )
7063, 68, 69syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  e.  Fin )
71 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }
72 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) )  =  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } 
|->  ( ( N  / 
k )  /  z
) )
7371, 72dvdsflip 23186 . . . . . . 7  |-  ( ( N  /  k )  e.  NN  ->  (
z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) ) : { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )
7466, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  ( z  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } 
|->  ( ( N  / 
k )  /  z
) ) : {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } -1-1-onto-> { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )
75 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  m  ->  (
( N  /  k
)  /  z )  =  ( ( N  /  k )  /  m ) )
76 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  /  k )  /  z )  e. 
_V
7775, 72, 76fvmpt3i 5952 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  ->  (
( z  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) }  |->  ( ( N  /  k
)  /  z ) ) `  m )  =  ( ( N  /  k )  /  m ) )
7877adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( z  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  |->  ( ( N  /  k )  /  z ) ) `
 m )  =  ( ( N  / 
k )  /  m
) )
7917fsumdvdsdiaglem 23187 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  -> 
( v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } ) ) )
8059ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( v  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  v
) } )  ->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
8179, 80syld 44 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( k  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  N }  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } )  ->  [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  e.  CC )
)
8281impl 620 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  [_ ( N  / 
v )  /  j ]_ A  e.  CC )
8362, 70, 74, 78, 82fsumf1o 13504 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) }
[_ ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  /  j ]_ A )
84 ovex 6307 . . . . . . . 8  |-  ( N  /  ( ( N  /  k )  /  m ) )  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  e.  _V )
86 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
87 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
8886, 87jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
8917, 88syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
9089ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 ) )
9190simpld 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  N  e.  CC )
92 elrabi 3258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }  ->  k  e.  NN )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  k  e.  NN )
9493adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  k  e.  NN )
95 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  CC )
96 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  k  =/=  0 )
9795, 96jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
9894, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 ) )
99 elrabi 3258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) }  ->  m  e.  NN )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  m  e.  NN )
101 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
102 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  NN  ->  m  =/=  0 )
103101, 102jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
104100, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
105 divdiv1 10251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  CC  /\  ( k  e.  CC  /\  k  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( N  / 
k )  /  m
)  =  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )
10691, 98, 104, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( N  /  k )  /  m )  =  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )
107106oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  =  ( N  /  ( N  /  ( k  x.  m ) ) ) )
108 nnmulcl 10555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( k  x.  m
)  e.  NN )
10993, 99, 108syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( k  x.  m )  e.  NN )
110 nncn 10540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
k  x.  m )  e.  CC )
111 nnne0 10564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
k  x.  m )  =/=  0 )
112110, 111jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  x.  m )  e.  NN  ->  (
( k  x.  m
)  e.  CC  /\  ( k  x.  m
)  =/=  0 ) )
113109, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( ( k  x.  m )  e.  CC  /\  ( k  x.  m )  =/=  0 ) )
114 ddcan 10254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0 )  /\  ( ( k  x.  m )  e.  CC  /\  ( k  x.  m )  =/=  0 ) )  -> 
( N  /  ( N  /  ( k  x.  m ) ) )  =  ( k  x.  m ) )
11590, 113, 114syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( N  /  (
k  x.  m ) ) )  =  ( k  x.  m ) )
116107, 115eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  =  ( k  x.  m ) )
117116eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  ( j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  <->  j  =  ( k  x.  m ) ) )
118117biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )  /\  j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )  ->  j  =  ( k  x.  m ) )
119 fsumdvdscom.2 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  x.  m )  ->  A  =  B )
120118, 119syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } )  /\  j  =  ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) ) )  ->  A  =  B )
12185, 120csbied 3462 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N }
)  /\  m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } )  ->  [_ ( N  / 
( ( N  / 
k )  /  m
) )  /  j ]_ A  =  B
)
122121sumeq2dv 13484 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  (
( N  /  k
)  /  m ) )  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } B )
12383, 122eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } )  ->  sum_ v  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } [_ ( N  /  v
)  /  j ]_ A  =  sum_ m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k ) } B )
124123sumeq2dv 13484 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ v  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } [_ ( N  /  v )  / 
j ]_ A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
12550, 60, 1243eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ u  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  u } [_ u  /  j ]_ A  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( N  /  k
) } B )
12610, 125syl5eq 2520 1  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  j } A  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  N } sum_ m  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( N  / 
k ) } B
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   [_csb 3435    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    x. cmul 9493    / cdiv 10202   NNcn 10532   ...cfz 11668   sum_csu 13467    || cdivides 13843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-dvds 13844
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