MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdivc Structured version   Unicode version

Theorem fsumdivc 13238
Description: A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumdivc.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fsumdivc  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumdivc
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3 fsumdivc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
42, 3reccld 10090 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
5 fsummulc2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
61, 4, 5fsummulc1 13237 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) )  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
71, 5fsumcl 13196 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
87, 2, 3divrecd 10100 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) ) )
92adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
115, 9, 10divrecd 10100 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
1211sumeq2dv 13166 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
136, 8, 123eqtr4d 2477 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1757    =/= wne 2598  (class class class)co 6082   Fincfn 7300   CCcc 9270   0cc0 9272   1c1 9273    x. cmul 9277    / cdiv 9983   sum_csu 13149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-oadd 6914  df-er 7091  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-n0 10570  df-z 10637  df-uz 10852  df-rp 10982  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-seq 11793  df-exp 11852  df-hash 12090  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-clim 12952  df-sum 13150
This theorem is referenced by:  efaddlem  13363  fsumdvds  13561  ovolscalem1  20840  plyeq0lem  21565  aareccl  21679  birthdaylem3  22234  logexprlim  22451  logfacrlim2  22452  dchrvmasumlem1  22631  dchrisum0lem1  22652  dchrisum0  22656  vmalogdivsum2  22674  selberglem2  22682  selberg4lem1  22696  selberg4r  22706  pntrlog2bndlem5  22717  pntrlog2bndlem6  22719  pntlemo  22743  axsegconlem9  22996  signsplypnf  26801
  Copyright terms: Public domain W3C validator