MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdivc Structured version   Unicode version

Theorem fsumdivc 13564
Description: A finite sum divided by a constant. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsummulc2.1  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
fsummulc2.2  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
fsummulc2.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
fsumdivc.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
fsumdivc  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Distinct variable groups:    A, k    C, k    ph, k
Allowed substitution hint:    B( k)

Proof of Theorem fsumdivc
StepHypRef Expression
1 fsummulc2.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 fsummulc2.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3 fsumdivc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
42, 3reccld 10313 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  C
)  e.  CC )
5 fsummulc2.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
61, 4, 5fsummulc1 13563 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) )  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
71, 5fsumcl 13518 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  e.  CC )
87, 2, 3divrecd 10323 . 2  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  =  ( sum_ k  e.  A  B  x.  ( 1  /  C ) ) )
92adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  e.  CC )
103adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  C  =/=  0 )
115, 9, 10divrecd 10323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  /  C )  =  ( B  x.  (
1  /  C ) ) )
1211sumeq2dv 13488 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
)  =  sum_ k  e.  A  ( B  x.  ( 1  /  C
) ) )
136, 8, 123eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  A  B  /  C )  = 
sum_ k  e.  A  ( B  /  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662  (class class class)co 6284   Fincfn 7516   CCcc 9490   0cc0 9492   1c1 9493    x. cmul 9497    / cdiv 10206   sum_csu 13471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472
This theorem is referenced by:  efaddlem  13690  fsumdvds  13888  ovolscalem1  21687  plyeq0lem  22370  aareccl  22484  birthdaylem3  23039  logexprlim  23256  logfacrlim2  23257  dchrvmasumlem1  23436  dchrisum0lem1  23457  dchrisum0  23461  vmalogdivsum2  23479  selberglem2  23487  selberg4lem1  23501  selberg4r  23511  pntrlog2bndlem5  23522  pntrlog2bndlem6  23524  pntlemo  23548  axsegconlem9  23932  signsplypnf  28175  dirkertrigeqlem2  31427  fourierdlem83  31518
  Copyright terms: Public domain W3C validator